Номер 27.1, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.1, страница 94.

27.1 Закон движения точки по прямой задается формулой $s(t) = 2t + 1$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 2$ с до момента:

a) $t_2 = 3$ с;

б) $t_2 = 2,5$ с;

в) $t_2 = 2,1$ с;

г) $t_2 = 2,05$ с.

Средняя скорость движения точки ($v_{ср}$) на интервале времени от $t_1$ до $t_2$ определяется как отношение изменения положения ($\Delta s$) к изменению времени ($\Delta t$). Формула для вычисления средней скорости:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Закон движения точки задан формулой $s(t) = 2t + 1$. Начальный момент времени $t_1 = 2$ с. Вычислим положение точки в этот момент:

$s(t_1) = s(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ м.

Теперь последовательно найдем среднюю скорость для каждого из указанных промежутков.

а) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 3$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 3$ с:$s(t_2) = s(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(3) - s(2) = 7 - 5 = 2$ м.$\Delta t = 3 - 2 = 1$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{2}{1} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

б) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 2,5$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 2,5$ с:$s(t_2) = s(2,5) = 2 \cdot 2,5 + 1 = 5 + 1 = 6$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(2,5) - s(2) = 6 - 5 = 1$ м.$\Delta t = 2,5 - 2 = 0,5$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{1}{0,5} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

в) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 2,1$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 2,1$ с:$s(t_2) = s(2,1) = 2 \cdot 2,1 + 1 = 4,2 + 1 = 5,2$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(2,1) - s(2) = 5,2 - 5 = 0,2$ м.$\Delta t = 2,1 - 2 = 0,1$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,2}{0,1} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

г) Найдем среднюю скорость с момента $t_1 = 2$ с до момента $t_2 = 2,05$ с.

1. Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 2,05$ с:$s(t_2) = s(2,05) = 2 \cdot 2,05 + 1 = 4,1 + 1 = 5,1$ м.
2. Найдем изменение положения $\Delta s$ и времени $\Delta t$:$\Delta s = s(2,05) - s(2) = 5,1 - 5 = 0,1$ м.$\Delta t = 2,05 - 2 = 0,05$ с.
3. Вычислим среднюю скорость:$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,1}{0,05} = 2$ м/с.
Ответ: 2 м/с.

Можно заметить, что во всех случаях средняя скорость одинакова. Это связано с тем, что закон движения $s(t) = 2t + 1$ описывает равномерное прямолинейное движение (является линейной функцией). При таком движении скорость постоянна. Мгновенная скорость $v(t)$, равная производной функции положения по времени, составляет $v(t) = s'(t) = (2t+1)' = 2$ м/с. Для равномерного движения средняя скорость на любом промежутке времени равна мгновенной скорости.