Номер 26.33, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§26. Предел функции. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 26.33, страница 94.

26.33 Для функции $y = f(x)$ найдите $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = ax^2$;

б) $f(x) = \frac{1}{x}$.

Приращение функции $\Delta f$ (или $\Delta y$) по определению — это разность между значением функции в новой точке $x + \Delta x$ и её значением в первоначальной точке $x$. Формула для нахождения приращения функции выглядит так:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$.

Найдем приращение для каждой из указанных функций.

а)

Для функции $f(x) = ax^2$.

1. Находим значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2$.

2. Подставляем $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$ в формулу приращения:

$\Delta f = a(x + \Delta x)^2 - ax^2$.

3. Раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$\Delta f = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - ax^2$.

4. Умножаем выражение в скобках на $a$:

$\Delta f = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 - ax^2$.

5. Упрощаем выражение, сокращая $ax^2$ и $-ax^2$:

$\Delta f = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$.

6. Можно вынести общий множитель $a\Delta x$ за скобки для более компактного вида:

$\Delta f = a\Delta x(2x + \Delta x)$.

Ответ: $\Delta f = a\Delta x(2x + \Delta x)$.

б)

Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$.

1. Находим значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = \frac{1}{x + \Delta x}$.

2. Подставляем $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$ в формулу приращения:

$\Delta f = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$.

3. Приводим дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$:

$\Delta f = \frac{x}{x(x + \Delta x)} - \frac{x + \Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

4. Выполняем вычитание дробей:

$\Delta f = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}$.

5. Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$\Delta f = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

Ответ: $\Delta f = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.