Номер 27.5, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§27. Определение производной. Глава 5. Производная. ч. 2 - номер 27.5, страница 95.

27.5 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s(t) = 2t^2 + t$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2$, если:

а) $t_2 = 0,6$ с;

б) $t_2 = 0,2$ с;

в) $t_2 = 0,5$ с;

г) $t_2 = 0,1$ с.

Средняя скорость движения точки $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

По условию, закон движения точки задается формулой $s(t) = 2t^2 + t$, а начальный момент времени $t_1 = 0$ с.

Сначала найдем положение точки в начальный момент времени $t_1 = 0$ с:

$s(t_1) = s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0$ м.

Теперь, используя эти данные, решим задачу для каждого случая.

а) $t_2 = 0,6$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,6$ с:

$s(t_2) = s(0,6) = 2 \cdot (0,6)^2 + 0,6 = 2 \cdot 0,36 + 0,6 = 0,72 + 0,6 = 1,32$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,6$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,6) - s(0)}{0,6 - 0} = \frac{1,32 - 0}{0,6} = \frac{1,32}{0,6} = 2,2$ м/с.

Ответ: 2,2 м/с.

б) $t_2 = 0,2$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,2$ с:

$s(t_2) = s(0,2) = 2 \cdot (0,2)^2 + 0,2 = 2 \cdot 0,04 + 0,2 = 0,08 + 0,2 = 0,28$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,2$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,2) - s(0)}{0,2 - 0} = \frac{0,28 - 0}{0,2} = \frac{0,28}{0,2} = 1,4$ м/с.

Ответ: 1,4 м/с.

в) $t_2 = 0,5$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,5$ с:

$s(t_2) = s(0,5) = 2 \cdot (0,5)^2 + 0,5 = 2 \cdot 0,25 + 0,5 = 0,5 + 0,5 = 1$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,5$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,5) - s(0)}{0,5 - 0} = \frac{1 - 0}{0,5} = \frac{1}{0,5} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

г) $t_2 = 0,1$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,1$ с:

$s(t_2) = s(0,1) = 2 \cdot (0,1)^2 + 0,1 = 2 \cdot 0,01 + 0,1 = 0,02 + 0,1 = 0,12$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,1$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,1) - s(0)}{0,1 - 0} = \frac{0,12 - 0}{0,1} = \frac{0,12}{0,1} = 1,2$ м/с.

Ответ: 1,2 м/с.