Страница 95, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.6 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s = s(t)$, где $t$ — время, $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени $t$, если:

а) $s(t) = t^2 + 3;$

б) $s(t) = t^2 - t;$

в) $s(t) = t^2 + 4;$

г) $s(t) = t^2 - 2t.$

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ является производной от функции отклонения (координаты) $s(t)$ по времени $t$. Это один из основных физических смыслов производной. Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, необходимо найти производную функции $s(t)$ по переменной $t$.

Формула для нахождения скорости: $v(t) = s'(t)$.

Для решения задачи будем использовать следующие правила дифференцирования:

• Производная степенной функции: $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$
• Производная константы: $(C)' = 0$
• Производная суммы/разности функций: $(f(t) \pm g(t))' = f'(t) \pm g'(t)$
• Производная функции, умноженной на константу: $(k \cdot f(t))' = k \cdot f'(t)$

Применим эти правила к каждому из случаев.

а) Дана функция движения $s(t) = t^2 + 3$.

Находим производную этой функции по времени $t$, чтобы найти мгновенную скорость $v(t)$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 + 3)' = (t^2)' + (3)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от константы $3$ равна $0$.

$v(t) = 2t + 0 = 2t$

Ответ: $v(t) = 2t$.

б) Дана функция движения $s(t) = t^2 - t$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 - t)' = (t^2)' - (t)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от $t$ равна $1$.

$v(t) = 2t - 1$

Ответ: $v(t) = 2t - 1$.

в) Дана функция движения $s(t) = t^2 + 4$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 + 4)' = (t^2)' + (4)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от константы $4$ равна $0$.

$v(t) = 2t + 0 = 2t$

Ответ: $v(t) = 2t$.

г) Дана функция движения $s(t) = t^2 - 2t$.

Находим производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 - 2t)' = (t^2)' - (2t)'$

Производная от $t^2$ равна $2t$. Производная от $2t$ равна $2 \cdot (t)' = 2 \cdot 1 = 2$.

$v(t) = 2t - 2$

Ответ: $v(t) = 2t - 2$.

27.3 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s = s(t)$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени $t$, если:

а) $s(t) = 4t + 1$;

б) $s(t) = 6t - 2$;

в) $s(t) = 3t + 2$;

г) $s(t) = 5t - 1$.

Мгновенная скорость движения точки $v(t)$ — это производная от функции, описывающей закон движения (отклонение) $s(t)$, по времени $t$. Это является физическим смыслом производной. Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, нужно найти производную $v(t) = s'(t)$.

Для решения задачи будем использовать основные правила дифференцирования:
1. Производная суммы/разности: $(f(t) \pm g(t))' = f'(t) \pm g'(t)$.
2. Производная произведения константы на функцию: $(C \cdot f(t))' = C \cdot f'(t)$.
3. Производная независимой переменной: $(t)' = 1$.
4. Производная константы: $(C)' = 0$.

а) Дан закон движения $s(t) = 4t + 1$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (4t + 1)' = (4t)' + (1)' = 4 \cdot 1 + 0 = 4$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 4 м/с.
Ответ: 4 м/с.

б) Дан закон движения $s(t) = 6t - 2$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (6t - 2)' = (6t)' - (2)' = 6 \cdot 1 - 0 = 6$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 6 м/с.
Ответ: 6 м/с.

в) Дан закон движения $s(t) = 3t + 2$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (3t + 2)' = (3t)' + (2)' = 3 \cdot 1 + 0 = 3$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 3 м/с.
Ответ: 3 м/с.

г) Дан закон движения $s(t) = 5t - 1$.
Находим производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (5t - 1)' = (5t)' - (1)' = 5 \cdot 1 - 0 = 5$.
Мгновенная скорость постоянна и равна 5 м/с.
Ответ: 5 м/с.

27.7 На рисунке 34 изображён график движения туриста от базы и обратно. С какой скоростью он шёл первые 2 часа? Последующие 2 часа? На какое максимальное расстояние удалился турист от базы? С какой скоростью он шёл назад? Через сколько времени вернулся на базу? Сколько времени отдыхал в пути?

$s$ (км)

$t$ (ч)

Рис. 34

С какой скоростью он шёл первые 2 часа?

Чтобы найти скорость туриста в первые 2 часа, нужно посмотреть на изменение расстояния за этот промежуток времени. График показывает, что в начале пути ($t=0$ ч) расстояние от базы ($s$) равно 0 км. Через 2 часа ($t=2$ ч) расстояние составило 8 км. Скорость – это отношение пройденного расстояния ко времени.
Пройденное расстояние: $\Delta s = 8 \text{ км} - 0 \text{ км} = 8 \text{ км}$.
Затраченное время: $\Delta t = 2 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$.
Скорость: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.

Ответ: 4 км/ч.

Последующие 2 часа?

Речь идет об интервале времени с 2-го по 4-й час. В момент времени $t=2$ ч турист был на расстоянии 8 км от базы. В момент $t=4$ ч он находился на расстоянии 14 км.
Пройденное расстояние за этот период: $\Delta s = 14 \text{ км} - 8 \text{ км} = 6 \text{ км}$.
Затраченное время: $\Delta t = 4 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$.
Скорость: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{6 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 3 \text{ км/ч}$.

Ответ: 3 км/ч.

На какое максимальное расстояние удалился турист от базы?

Максимальное расстояние от базы соответствует самой высокой точке на графике по оси $s$ (расстояние). Из графика видно, что максимальное значение расстояния составляет 14 км. Это расстояние поддерживалось в течение некоторого времени.

Ответ: 14 км.

С какой скоростью он шёл назад?

Движение назад — это участок графика, где расстояние до базы уменьшается. Это происходит с 7-го по 11-й час. В 7 часов турист находился на расстоянии 14 км от базы, а в 11 часов вернулся на базу ($s=0$ км).
Пройденное расстояние: $\Delta s = 14 \text{ км} - 0 \text{ км} = 14 \text{ км}$.
Затраченное время: $\Delta t = 11 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$.
Скорость на обратном пути: $v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{14 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 3,5 \text{ км/ч}$.

Ответ: 3,5 км/ч.

Через сколько времени вернулся на базу?

Возвращение на базу означает, что расстояние от неё стало равно нулю ($s=0$). По горизонтальной оси времени ($t$) видно, что это произошло через 11 часов после начала движения.

Ответ: через 11 часов.

Сколько времени отдыхал в пути?

Отдых на графике движения представлен горизонтальным участком, так как во время отдыха расстояние от базы не меняется. Такой участок на графике находится между 4-м и 7-м часами.
Продолжительность отдыха: $\Delta t = 7 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 3 \text{ ч}$.

Ответ: 3 часа.

27.4 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s(t) = t^2$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени $t$, если:

a) $t = 1 \text{ с}$;

б) $t = 2,1 \text{ с}$;

в) $t = 2 \text{ с}$;

г) $t = 3,5 \text{ с}$.

Указание: ускорение — это скорость изменения скорости.

Задан закон движения точки по прямой: $s(t) = t^2$, где $s$ — отклонение в метрах, а $t$ — время в секундах.

Чтобы найти скорость, нужно взять производную от функции отклонения по времени. Скорость $v(t)$ равна:
$v(t) = s'(t) = (t^2)' = 2t$.

Чтобы найти ускорение, нужно взять производную от функции скорости по времени. Ускорение $a(t)$ равно:
$a(t) = v'(t) = (2t)' = 2$.

Как видно из формулы, ускорение является постоянной величиной и не зависит от времени. Оно всегда равно 2 м/с².

а) Найдем скорость и ускорение в момент времени $t = 1$ с.
Скорость: $v(1) = 2 \cdot 1 = 2$ м/с.
Ускорение: $a(1) = 2$ м/с².
Ответ: скорость 2 м/с, ускорение 2 м/с².

б) Найдем скорость и ускорение в момент времени $t = 2,1$ с.
Скорость: $v(2,1) = 2 \cdot 2,1 = 4,2$ м/с.
Ускорение: $a(2,1) = 2$ м/с².
Ответ: скорость 4,2 м/с, ускорение 2 м/с².

в) Найдем скорость и ускорение в момент времени $t = 2$ с.
Скорость: $v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.
Ускорение: $a(2) = 2$ м/с².
Ответ: скорость 4 м/с, ускорение 2 м/с².

г) Найдем скорость и ускорение в момент времени $t = 3,5$ с.
Скорость: $v(3,5) = 2 \cdot 3,5 = 7$ м/с.
Ускорение: $a(3,5) = 2$ м/с².
Ответ: скорость 7 м/с, ускорение 2 м/с².

27.5 Закон движения точки по прямой задаётся формулой $s(t) = 2t^2 + t$, где $t$ — время (в секундах), $s(t)$ — отклонение точки в момент времени $t$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $t_1 = 0$ с до момента $t_2$, если:

а) $t_2 = 0,6$ с;

б) $t_2 = 0,2$ с;

в) $t_2 = 0,5$ с;

г) $t_2 = 0,1$ с.

Средняя скорость движения точки $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

По условию, закон движения точки задается формулой $s(t) = 2t^2 + t$, а начальный момент времени $t_1 = 0$ с.

Сначала найдем положение точки в начальный момент времени $t_1 = 0$ с:

$s(t_1) = s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0$ м.

Теперь, используя эти данные, решим задачу для каждого случая.

а) $t_2 = 0,6$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,6$ с:

$s(t_2) = s(0,6) = 2 \cdot (0,6)^2 + 0,6 = 2 \cdot 0,36 + 0,6 = 0,72 + 0,6 = 1,32$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,6$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,6) - s(0)}{0,6 - 0} = \frac{1,32 - 0}{0,6} = \frac{1,32}{0,6} = 2,2$ м/с.

Ответ: 2,2 м/с.

б) $t_2 = 0,2$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,2$ с:

$s(t_2) = s(0,2) = 2 \cdot (0,2)^2 + 0,2 = 2 \cdot 0,04 + 0,2 = 0,08 + 0,2 = 0,28$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,2$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,2) - s(0)}{0,2 - 0} = \frac{0,28 - 0}{0,2} = \frac{0,28}{0,2} = 1,4$ м/с.

Ответ: 1,4 м/с.

в) $t_2 = 0,5$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,5$ с:

$s(t_2) = s(0,5) = 2 \cdot (0,5)^2 + 0,5 = 2 \cdot 0,25 + 0,5 = 0,5 + 0,5 = 1$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,5$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,5) - s(0)}{0,5 - 0} = \frac{1 - 0}{0,5} = \frac{1}{0,5} = 2$ м/с.

Ответ: 2 м/с.

г) $t_2 = 0,1$ с

Найдем положение точки в момент времени $t_2 = 0,1$ с:

$s(t_2) = s(0,1) = 2 \cdot (0,1)^2 + 0,1 = 2 \cdot 0,01 + 0,1 = 0,02 + 0,1 = 0,12$ м.

Вычислим среднюю скорость на промежутке от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 0,1$ с:

$v_{ср} = \frac{s(0,1) - s(0)}{0,1 - 0} = \frac{0,12 - 0}{0,1} = \frac{0,12}{0,1} = 1,2$ м/с.

Ответ: 1,2 м/с.