Страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.8 Функция $y = f(x)$ задана своим графиком. Определите значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$, если график функции изображён:

а) на рис. 35;

б) на рис. 36;

в) на рис. 37;

г) на рис. 38.

Puc. 35

Puc. 36

Puc. 37

Puc. 38

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла $\alpha$, который образует касательная к графику функции в этой точке с положительным направлением оси абсцисс. Формула: $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

а) на рис. 35;

В точке $x_1$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_1 = 60^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_1) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

В точке $x_2$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_2 = 45^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_2) = \tan(45^\circ) = 1$.

Ответ: $f'(x_1) = \sqrt{3}$, $f'(x_2) = 1$.

б) на рис. 36;

В точке $x_1$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_1 = 30^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_1) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Точка $x_2$ является точкой локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, поэтому угол ее наклона к оси $x$ равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $f'(x_2) = 0$.

в) на рис. 37;

Точка $x_1$ является точкой локального минимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, поэтому угол ее наклона к оси $x$ равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

В точке $x_2$ касательная образует с положительным направлением оси $x$ угол $\alpha_2 = 150^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке:

$f'(x_2) = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) на рис. 38;

Точка $x_1$ является точкой локального максимума. Касательная в этой точке горизонтальна, угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной:

$f'(x_1) = \tan(0^\circ) = 0$.

Точка $x_2$ является точкой локального минимума. Касательная в этой точке также горизонтальна, угол наклона равен $0^\circ$. Следовательно, значение производной:

$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_1) = 0$, $f'(x_2) = 0$.

1. Из истории развития тригонометрии.

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольников. Ее история насчитывает тысячелетия и тесно переплетена с развитием астрономии, навигации и геодезии.

Зарождение в Древнем мире

Истоки тригонометрии можно проследить до древних цивилизаций, где она возникала из практических задач.В Древнем Вавилоне (около 1900–1600 гг. до н.э.) для астрономических и строительных нужд использовались таблицы с пифагоровыми тройками. Знаменитая глиняная табличка Плимптон 322 является свидетельством этих ранних вычислений, которые можно считать прообразом тригонометрических таблиц.В Древнем Египте при строительстве пирамид применялось понятие «секед» — величина, соответствующая котангенсу угла наклона грани. Это был один из первых примеров применения тригонометрических концепций на практике.

Античная Греция: систематизация знаний

Систематическое развитие тригонометрии началось в эллинистической Греции. Греческие математики строили свою теорию не на синусах и косинусах, а на понятии «хорда». Хорда, стягивающая дугу с центральным углом $\alpha$ в окружности радиуса $R$, связана с современным синусом через формулу: $chord(\alpha) = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.

• Гиппарх Никейский (II в. до н.э.), которого часто называют «отцом тригонометрии», составил первые известные таблицы хорд. Эти таблицы позволяли ему решать задачи сферической тригонометрии для нужд астрономии, например, вычислять размеры и расстояния до Солнца и Луны.
• Клавдий Птолемей (II в. н.э.) в своем монументальном труде «Альмагест» продолжил и расширил работу Гиппарха. Он представил более точные и подробные таблицы хорд, а также вывел геометрические теоремы, эквивалентные современным формулам для синуса и косинуса суммы и разности углов.

Вклад Индии и стран исламского мира

Индийские математики совершили важный концептуальный шаг, перейдя от использования хорд к синусам (точнее, к половине хорды при удвоенном угле).

• В V-VI веках индийский математик и астроном Ариабхата в своем трактате «Ариабхатия» ввел понятие «джива» (или «ардха-джива»), что является аналогом современного синуса, и составил первые таблицы синусов.
• В Средние века ученые исламского мира перевели, изучили и значительно обогатили труды греческих и индийских математиков. Ал-Баттани (IX-X вв.) ввел понятия котангенса и секанса. Абу-ль-Вафа аль-Бузджани (X в.) ввел тангенс, косеканс и построил для них таблицы, а также вывел формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
• Ключевой фигурой стал Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.). В своем «Трактате о полном четырехстороннике» он впервые рассмотрел тригонометрию как самостоятельную математическую науку, отдельную от астрономии. Он сформулировал и доказал теорему синусов для плоских треугольников в ее современном виде: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Тригонометрия в Европе и ее современный вид

Знания по тригонометрии начали проникать в Европу в XII-XIII веках через переводы с арабского языка. Ее дальнейшее развитие привело к созданию современного математического аппарата.

• Немецкий математик Региомонтан (Иоганн Мюллер, XV в.) в своем труде «О треугольниках всякого рода» систематизировал знания по тригонометрии и способствовал ее популяризации в Европе как отдельной дисциплины.
• Франсуа Виет (XVI в.) установил прочную связь между тригонометрией и алгеброй, в частности, выведя формулы для синусов и косинусов кратных углов.
• Решающий вклад в формирование современной тригонометрии внес Леонард Эйлер (XVIII в.). Он ввел стандартные обозначения ($\sin, \cos, \tan, \cot, \sec, \csc$), начал рассматривать тригонометрические функции как функции числового аргумента, а не просто как отношения сторон в треугольнике. Его величайшим достижением стала формула Эйлера $e^{ix} = \cos x + i \sin x$, которая элегантно связала тригонометрические функции с показательной функцией и комплексными числами. Эта формула стала мощнейшим инструментом для вывода тригонометрических тождеств и анализа периодических процессов.

Ответ:
История развития тригонометрии — это процесс эволюции от практических методов измерения к фундаментальной математической теории. Ключевые этапы включают:

1. Древний мир (Вавилон, Египет): Зарождение в виде практических приемов для астрономии и строительства.
2. Античная Греция (Гиппарх, Птолемей): Систематизация знаний на основе понятия «хорда» для астрономических вычислений.
3. Индия (Ариабхата): Переход от хорд к современному понятию синуса и создание первых таблиц синусов.
4. Исламский мир (Ал-Баттани, Абу-ль-Вафа, Ат-Туси): Введение всех шести тригонометрических функций, доказательство теоремы синусов и выделение тригонометрии в самостоятельную дисциплину.
5. Европа (Региомонтан, Виет, Эйлер): Систематизация знаний, установление связи с алгеброй и, наконец, создание современного аналитического аппарата тригонометрии Леонардом Эйлером, включая стандартные обозначения и знаменитую формулу $e^{ix} = \cos x + i \sin x$, которая определила ее современный вид и применение.

2. Замечательное число $\pi$.

Число $\pi$ (пи) — это одна из самых известных и важных математических констант. Оно представляет собой фундаментальное соотношение в геометрии, но его применение выходит далеко за ее пределы, затрагивая множество областей науки и техники.

Определение и значение

Число $\pi$ определяется как отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$. Это соотношение является постоянным для любой окружности, независимо от её размера. Математически это выражается формулой:

$\pi = \frac{C}{d}$

Поскольку диаметр равен двум радиусам ($d = 2r$), формулу для длины окружности часто записывают как $C = 2\pi r$.

Число $\pi$ является иррациональным, что означает, что его десятичное представление бесконечно и непериодично. Его значение с точностью до пяти знаков после запятой равно 3,14159. Для большинства практических расчетов достаточно использовать приближенные значения, такие как 3,14 или дробь $\frac{22}{7}$.

Ответ: Число $\pi$ — это константа, равная отношению длины окружности к её диаметру, приблизительно равная 3,14159.

Свойства числа π

Число $\pi$ обладает уникальными математическими свойствами:

• Иррациональность: $\pi$ нельзя представить в виде простой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа. Это было доказано в 1761 году Иоганном Ламбертом.
• Трансцендентность: $\pi$ не является корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. Это более сильное свойство, чем иррациональность, и оно было доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом. Следствием трансцендентности $\pi$ является невозможность решения классической античной задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки.

Ответ: $\pi$ — иррациональное и трансцендентное число.

История вычисления

Попытки определить точное значение $\pi$ предпринимались с древнейших времен.

• Древний Вавилон и Египет: Уже в древности математики понимали, что отношение длины окружности к диаметру постоянно. Вавилоняне использовали приближение $\pi \approx 3.125$, а египтяне — $\pi \approx (\frac{16}{9})^2 \approx 3.16$.
• Архимед (III век до н.э.): Великий греческий математик Архимед впервые применил строгий математический метод для оценки $\pi$. Он вписывал и описывал вокруг окружности правильные многоугольники и, увеличивая число их сторон, получал всё более точные оценки. Он показал, что $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$.
• Новое время: С развитием математического анализа в XVII-XVIII веках были открыты формулы, выражающие $\pi$ через бесконечные ряды и произведения. Например, ряд Лейбница: $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$
• Компьютерная эра: С появлением компьютеров вычисление знаков $\pi$ стало своего рода соревнованием. На сегодняшний день известны десятки триллионов знаков после запятой. Эти вычисления используются для тестирования производительности суперкомпьютеров и алгоритмов.

Ответ: Значение числа $\pi$ уточнялось на протяжении тысячелетий, начиная с грубых оценок в древности, через геометрический метод Архимеда, к использованию бесконечных рядов и современных компьютерных вычислений.

Применение в науке и технике

Число $\pi$ встречается в огромном количестве формул в различных областях знаний.

• Геометрия:
  • Длина окружности: $C = 2\pi r$
  • Площадь круга: $S = \pi r^2$
  • Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
  • Площадь поверхности сферы: $A = 4\pi r^2$
• Физика и инженерия: $\pi$ появляется в уравнениях, описывающих колебания (период маятника $T \approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$), волны, электромагнетизм, общую теорию относительности (уравнения Эйнштейна) и квантовую механику (принцип неопределенности Гейзенберга).
• Теория вероятностей и статистика: Например, в формуле плотности нормального распределения, которое описывает множество случайных явлений: $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$.
• Математический анализ: Число $\pi$ связывает, на первый взгляд, не связанные между собой константы в знаменитом тождестве Эйлера: $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Ответ: Число $\pi$ является фундаментальным для геометрии, а также широко применяется в физике, инженерии, статистике и многих других научных дисциплинах для описания периодических процессов, сферических объектов и статистических распределений.

3. Занимательные задачи о часах с одной и двумя стрелками.