Страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.35 Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ равен $k$, если:

a) $f(x) = \sqrt{x} - x$, $k = 1$;

б) $f(x) = \sin x \cos x$, $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$, $k = 4$;

г) $f(x) = \cos^2 x$, $k = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в некоторой точке равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке. Таким образом, чтобы найти абсциссы $x$ искомых точек, необходимо решить уравнение $f'(x) = k$ для каждого случая.

а) $f(x) = \sqrt{x} - x$, $k = 1$

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} - x)' = (\sqrt{x})' - (x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Область определения производной: $x > 0$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=1$ и решим уравнение:

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 1$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2$

$1 = 4\sqrt{x}$

$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$

Значение $x = \frac{1}{16}$ входит в область определения производной.

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.

б) $f(x) = \sin x \cos x$, $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

1. Упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$f(x) = \frac{1}{2} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{2}\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.

3. Приравняем производную к заданному значению $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и решим уравнение:

$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в) $f(x) = \sqrt{x} + 3x$, $k = 4$

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x} + 3x)' = (\sqrt{x})' + (3x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3$.

Область определения производной: $x > 0$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=4$ и решим уравнение:

$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 = 4$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$1 = 2\sqrt{x}$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Значение $x = \frac{1}{4}$ входит в область определения производной.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

г) $f(x) = \cos^2 x$, $k = \frac{1}{2}$

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

$f'(x) = -\sin(2x)$.

2. Приравняем производную к заданному значению $k=\frac{1}{2}$ и решим уравнение:

$-\sin(2x) = \frac{1}{2}$

$\sin(2x) = -\frac{1}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$2x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

28.39 a) $g(x) = \cos^2 x - \sin^2 x;$

б) $g(x) = \sin^2 x.$

а)

Для нахождения первообразной функции $g(x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ необходимо найти ее интеграл. Сначала упростим выражение, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла:

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

Таким образом, исходная функция $g(x)$ эквивалентна функции:

$g(x) = \cos(2x)$

Теперь найдем первообразную $G(x)$ для этой функции. Первообразная для функции $\cos(kx)$ находится по формуле $\int \cos(kx) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

В нашем случае коэффициент $k = 2$, поэтому первообразная будет равна:

$G(x) = \int \cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $G(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

б)

Чтобы найти первообразную для функции $g(x) = \sin^2 x$, необходимо преобразовать это выражение, используя формулу понижения степени. Эта формула выводится из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$:

$2\sin^2 x = 1 - \cos(2x)$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Теперь мы можем найти первообразную $G(x)$ для преобразованной функции:

$G(x) = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)\right) \,dx$

Интегрируем по частям, используя правило интегрирования суммы/разности функций:

$G(x) = \int \frac{1}{2} \,dx - \int \frac{1}{2}\cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\int \,dx - \frac{1}{2}\int \cos(2x) \,dx$

Находим каждый интеграл по отдельности:

$\int \,dx = x$

$\int \cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$

Подставляем найденные интегралы обратно в выражение для $G(x)$ и добавляем произвольную постоянную $C$:

$G(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

Ответ: $G(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

28.43 При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x)$:

а) $g(x) = x^3 - 3x^2$, $h(x) = 1,5x^2 - 9;$

б) $g(x) = \sin \left( 3x - \frac{\pi}{6} \right)$, $h(x) = 6x - 12;$

в) $g(x) = \operatorname{tg} x$, $h(x) = 4x - 81;$

г) $g(x) = \cos \left( \frac{\pi}{4} - 2x \right)$, $h(x) = 3 - \sqrt{2x}?$

а) $g(x) = x^3 - 3x^2, h(x) = 1,5x^2 - 9$

Скорость изменения функции в точке равна значению ее производной в этой точке. Таким образом, задача сводится к решению неравенства $g'(x) > h'(x)$.

Сначала найдем производные заданных функций:

$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$

$h'(x) = (1,5x^2 - 9)' = 2 \cdot 1,5x = 3x$

Теперь составим и решим неравенство:

$g'(x) > h'(x)$

$3x^2 - 6x > 3x$

$3x^2 - 9x > 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$3x(x - 3) > 0$

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $3x(x - 3) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 - 9x$ направлены вверх, и, следовательно, выражение $3x^2 - 9x$ положительно при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

б) $g(x) = \sin(3x - \frac{\pi}{6}), h(x) = 6x - 12$

Найдем производные функций $g(x)$ и $h(x)$:

$g'(x) = (\sin(3x - \frac{\pi}{6}))' = \cos(3x - \frac{\pi}{6}) \cdot (3x - \frac{\pi}{6})' = 3\cos(3x - \frac{\pi}{6})$

$h'(x) = (6x - 12)' = 6$

Решим неравенство $g'(x) > h'(x)$:

$3\cos(3x - \frac{\pi}{6}) > 6$

Разделим обе части на 3:

$\cos(3x - \frac{\pi}{6}) > 2$

Область значений функции косинус есть отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого аргумента $\alpha$ выполняется неравенство $\cos \alpha \le 1$. Следовательно, неравенство $\cos(3x - \frac{\pi}{6}) > 2$ не может быть верным ни при каком значении $x$.

Ответ: решений нет.

в) $g(x) = \operatorname{tg}x, h(x) = 4x - 81$

Найдем производные функций. Область определения функции $g(x) = \operatorname{tg}x$ и ее производной $g'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$g'(x) = (\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$

$h'(x) = (4x - 81)' = 4$

Решим неравенство $g'(x) > h'(x)$ с учетом области определения:

$\frac{1}{\cos^2x} > 4$

Так как $\cos^2x > 0$ на области определения, мы можем умножить обе части на $\cos^2x$, не меняя знака неравенства, но удобнее преобразовать его следующим образом:

$1 > 4\cos^2x$

$\cos^2x < \frac{1}{4}$

Извлекая корень из обеих частей, получаем:

$|\cos x| < \frac{1}{2}$

Это двойное неравенство равносильно системе $-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства на единичной окружности являются дуги, для которых абсцисса точки находится между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

Это соответствует интервалам $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нужно учесть область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Точки вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$ всегда находятся внутри найденных интервалов (например, при $k=0$ интервал $(\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3})$ содержит точку $\frac{\pi}{2}$). Поскольку в этих точках производная $g'(x)$ не существует, их необходимо исключить из решения.

Таким образом, окончательное решение представляет собой объединение интервалов:

$(\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $g(x) = \cos(\frac{\pi}{4} - 2x), h(x) = 3 - \sqrt{2}x$

Найдем производные функций $g(x)$ и $h(x)$:

$g'(x) = (\cos(\frac{\pi}{4} - 2x))' = -\sin(\frac{\pi}{4} - 2x) \cdot (\frac{\pi}{4} - 2x)' = -\sin(\frac{\pi}{4} - 2x) \cdot (-2) = 2\sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$

$h'(x) = (3 - \sqrt{2}x)' = -\sqrt{2}$

Решим неравенство $g'(x) > h'(x)$:

$2\sin(\frac{\pi}{4} - 2x) > -\sqrt{2}$

$\sin(\frac{\pi}{4} - 2x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену $t = \frac{\pi}{4} - 2x$. Неравенство примет вид $\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал для $t$:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = \frac{\pi}{4} - 2x$:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{\pi}{4} - 2x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < -2x < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < -2x < \pi + 2\pi k$

Разделим все части на $-2$, не забыв поменять знаки неравенства на противоположные:

$\frac{\pi + 2\pi k}{-2} < x < \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{-2}$

$-\frac{\pi}{2} - \pi k < x < \frac{\pi}{4} - \pi k$

Так как $k$ — любое целое число, то $-k$ также пробегает все множество целых чисел. Для более стандартной записи заменим $-k$ на $n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Решите неравенство $f'(x) < 0$, если:

28.36 a) $f(x) = x^3 - x^4$;

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$.

а) $f(x) = x^3 - x^4$

Для решения неравенства $f'(x) < 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$f'(x) = (x^3 - x^4)' = (x^3)' - (x^4)' = 3x^2 - 4x^3$.

Теперь решим неравенство $3x^2 - 4x^3 < 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(3 - 4x) < 0$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения $x$, данное неравенство будет выполняться только в том случае, если $x^2 \ne 0$ и второй множитель отрицателен.

1. $x^2 \ne 0 \implies x \ne 0$.

2. $3 - 4x < 0$.

Решим второе неравенство:

$3 < 4x$

$x > \frac{3}{4}$.

Объединяя условия $x \ne 0$ и $x > \frac{3}{4}$, получаем, что решение неравенства — это все значения $x$, которые больше $\frac{3}{4}$. Этот интервал не включает 0.

Таким образом, решением является промежуток $(\frac{3}{4}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}, +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x$

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{3}x^3 + 6x)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 - \frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 6 = x^4 - 5x^2 + 6$.

Теперь нам нужно решить неравенство $x^4 - 5x^2 + 6 < 0$.

Это биквадратное неравенство. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y(t) = t^2 - 5t + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства для $t$ есть $2 < t < 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = x^2$:

$2 < x^2 < 3$.

Это двойное неравенство можно разбить на систему двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 > 2 \\ x^2 < 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 > 2$:

$x^2 - 2 > 0 \implies (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) > 0$.

Решением является $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

Решим второе неравенство $x^2 < 3$:

$x^2 - 3 < 0 \implies (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) < 0$.

Решением является $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств. На числовой оси это соответствует интервалам, где оба условия выполняются одновременно.

Пересекая множества $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$ и $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, получаем:

$x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})$.

28.40 Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1;$

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x;$

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19;$

г) $h(x) = \text{tg} x - 4x.$

Касательная к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ образует с положительным направлением оси $x$ острый угол, если тангенс этого угла положителен. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания, $k = \text{tg } \alpha = h'(x_0)$. Таким образом, для нахождения абсцисс точек, в которых касательная образует острый угол с положительным направлением оси $x$, необходимо решить неравенство $h'(x) > 0$.

а) $h(x) = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x$.

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 6x > 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$3x(x - 2) > 0$

Корни соответствующего уравнения $3x(x - 2) = 0$ — это $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = 3x^2 - 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.

$x < 0$ или $x > 2$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

б) $h(x) = 4\sqrt{x} - x$

1. Область определения функции задается условием $x \ge 0$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (4x^{1/2} - x)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1$.

Производная определена при $x > 0$.

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$ в области $x > 0$:

$\frac{2}{\sqrt{x}} - 1 > 0$

$\frac{2}{\sqrt{x}} > 1$

Так как $\sqrt{x} > 0$ для $x > 0$, умножим обе части на $\sqrt{x}$:

$2 > \sqrt{x}$

Поскольку обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$4 > x$

Совмещая с условием $x > 0$, получаем итоговый интервал $0 < x < 4$.

Ответ: $(0; 4)$.

в) $h(x) = x^3 - x^4 - 19$

1. Найдем производную функции:

$h'(x) = (x^3 - x^4 - 19)' = 3x^2 - 4x^3$.

2. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$3x^2 - 4x^3 > 0$

$x^2(3 - 4x) > 0$

Выражение $x^2$ положительно для всех $x \ne 0$ и равно нулю при $x=0$. Так как неравенство строгое, случай $x=0$ не является решением. Для $x \ne 0$ можно разделить обе части на $x^2$, не меняя знака неравенства:

$3 - 4x > 0$

$3 > 4x$

$x < \frac{3}{4}$

Учитывая условие $x \ne 0$, получаем решение.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; \frac{3}{4})$.

г) $h(x) = \text{tg } x - 4x$

1. Область определения функции: все действительные числа $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем производную функции:

$h'(x) = (\text{tg } x - 4x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 4$.

3. Решим неравенство $h'(x) > 0$:

$\frac{1}{\cos^2 x} - 4 > 0$

$\frac{1}{\cos^2 x} > 4$

Так как в области определения $\cos^2 x > 0$, можно перевернуть дробь, изменив знак неравенства:

$\cos^2 x < \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$|\cos x| < \frac{1}{2}$

Это эквивалентно двойному неравенству $-\frac{1}{2} < \cos x < \frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства являются интервалы $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо учесть область определения функции, исключив точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Для любого целого $k$ точка $\frac{\pi}{2} + \pi k$ находится внутри интервала $(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$. Поэтому каждый такой интервал нужно разбить на два, исключив эту точку.

Ответ: $\left(\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

28.37 а) $f(x) = \sin 2x;$

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x.$

а) Чтобы найти все первообразные для функции $f(x) = \sin(2x)$, необходимо вычислить неопределенный интеграл $F(x) = \int \sin(2x) dx$.

Это интеграл от сложной функции. Для его вычисления воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную $t = 2x$.

Найдем дифференциал $dt$: $dt = d(2x) = (2x)' dx = 2 dx$.

Из этого соотношения выразим $dx$: $dx = \frac{dt}{2}$.

Теперь подставим $t$ и $dx$ в исходный интеграл:

$\int \sin(2x) dx = \int \sin(t) \frac{dt}{2}$

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int \sin(t) dt$

По таблице основных интегралов, первообразная для $\sin(t)$ равна $-\cos(t)$. Получаем:

$\frac{1}{2} (-\cos(t)) + C = -\frac{1}{2}\cos(t) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$, то есть $t=2x$:

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$.

б) Чтобы найти все первообразные для функции $f(x) = -4\cos x + 2x$, необходимо вычислить неопределенный интеграл $F(x) = \int (-4\cos x + 2x) dx$.

Воспользуемся свойствами интегралов: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

$\int (-4\cos x + 2x) dx = \int (-4\cos x) dx + \int 2x dx = -4\int \cos x dx + 2\int x dx$.

Теперь найдем каждый интеграл по отдельности, используя таблицу первообразных:

1. Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$.

2. Первообразная для степенной функции $x^1$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $n=1$, поэтому первообразная для $x$ есть $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Подставим найденные первообразные обратно в выражение и добавим одну общую постоянную интегрирования $C$:

$F(x) = -4(\sin x) + 2\left(\frac{x^2}{2}\right) + C = -4\sin x + x^2 + C$.

Для удобства записи поменяем слагаемые местами:

$F(x) = x^2 - 4\sin x + C$.

Ответ: $F(x) = x^2 - 4\sin x + C$.

28.41 Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = \phi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $\phi(x) = \sin x + 3;$

б) $\phi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x.$

Касательная к графику функции $y = \phi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $x$ в тех точках, в которых угловой коэффициент касательной $k$ отрицателен. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = \phi'(x_0)$. Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений $x$, для которых выполняется неравенство $\phi'(x) < 0$.

а) Дана функция $\phi(x) = \sin x + 3$.

1. Найдем производную функции:
$\phi'(x) = (\sin x + 3)' = \cos x$.

2. Решим неравенство $\phi'(x) < 0$:
$\cos x < 0$.

Неравенство выполняется, когда угол $x$ находится во второй или третьей координатной четверти. Общее решение неравенства имеет вид:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $\phi(x) = 0,2x^5 - 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$.

1. Преобразуем коэффициенты для удобства вычислений: $0,2 = \frac{1}{5}$ и $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$. Функция принимает вид:
$\phi(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x$.

2. Найдем производную функции:
$\phi'(x) = \left(\frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x\right)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 - \frac{10}{3} \cdot 3x^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$.

3. Решим неравенство $\phi'(x) < 0$:
$x^4 - 10x^2 + 9 < 0$.

Это биквадратное неравенство. Выполним замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 - 10t + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$. Неравенство можно записать в виде $(t-1)(t-9) < 0$. Решением этого неравенства является интервал $1 < t < 9$.

4. Вернемся к переменной $x$:
$1 < x^2 < 9$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 9 \end{cases}$.

Решение первого неравенства $x^2 > 1$ (или $x^2 - 1 > 0$) есть $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.

Решение второго неравенства $x^2 < 9$ (или $x^2 - 9 < 0$) есть $x \in (-3; 3)$.

Искомые значения $x$ являются пересечением этих двух множеств:
$x \in ((- \infty; -1) \cup (1; \infty)) \cap (-3; 3) = (-3; -1) \cup (1; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.

28.38 Решите неравенство $g'(x) > 0$, если:

a) $g(x) = x^3 + x^4;$

б) $g(x) = \frac{4}{2 - 5x}$.

а) Дана функция $g(x) = x^3 + x^4$.

Для решения неравенства $g'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы:

$g'(x) = (x^3 + x^4)' = (x^3)' + (x^4)' = 3x^2 + 4x^3$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:

$4x^3 + 3x^2 > 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(4x + 3) > 0$

Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Так как неравенство строгое, то $x^2 \ne 0$, а значит $x \ne 0$. При $x \ne 0$ множитель $x^2$ всегда строго положителен.

Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, для выполнения неравенства второй множитель также должен быть положителен:

$4x + 3 > 0$

$4x > -3$

$x > -\frac{3}{4}$

Совмещая полученное условие $x > -\frac{3}{4}$ с требованием $x \ne 0$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{4}; 0) \cup (0; +\infty)$.

б) Дана функция $g(x) = \frac{4}{2 - 5x}$.

Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю: $2 - 5x \ne 0$, откуда $x \ne \frac{2}{5}$.

Для решения неравенства $g'(x) > 0$ сначала найдем производную функции $g(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 4$ и $v(x) = 2 - 5x$. Тогда их производные: $u'(x) = 0$ и $v'(x) = -5$.

$g'(x) = \frac{0 \cdot (2 - 5x) - 4 \cdot (-5)}{(2 - 5x)^2} = \frac{20}{(2 - 5x)^2}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:

$\frac{20}{(2 - 5x)^2} > 0$

Числитель дроби, $20$, является положительным числом. Знаменатель дроби, $(2 - 5x)^2$, является квадратом выражения, и он положителен для всех $x$ из области определения функции (то есть при $x \ne \frac{2}{5}$).

Отношение двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, неравенство выполняется для всех допустимых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

28.42 При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = f(x)$ равна скорости изменения функции $y = g(x)$:

a) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2, g(x) = 7,5x^2 - 16x;$

б) $f(x) = \sqrt{x}, g(x) = \frac{-1}{x}$?

а) Скорость изменения функции — это её производная. Найдём производные для заданных функций $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$ и $g(x) = 7,5x^2 - 16x$.

Производная функции $f(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции и суммы функций:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} = x^2 - 2x$.

Аналогично находим производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (7,5x^2 - 16x)' = 7,5 \cdot 2x^{2-1} - 16x^{1-1} = 15x - 16$.

Теперь приравняем скорости изменения (производные), чтобы найти искомые значения аргумента $x$:

$f'(x) = g'(x)$

$x^2 - 2x = 15x - 16$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 15x + 16 = 0$

$x^2 - 17x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 17$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 16$. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 16$.

Также можно решить через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-(-17) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_{2} = \frac{-(-17) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

Оба значения являются решениями.

Ответ: при $x=1$ и $x=16$.

б) Найдём значения аргумента, при которых скорость изменения функции $f(x) = \sqrt{x}$ равна скорости изменения функции $g(x) = \frac{-1}{x}$.

Сначала найдём производные обеих функций. Важно учесть области определения: для функции $f(x)$ область определения $x \geq 0$, а для её производной $f'(x)$ область определения $x > 0$. Для функции $g(x)$ и её производной $g'(x)$ область определения $x \neq 0$. Следовательно, общее множество, на котором мы ищем решение, это $x > 0$.

Представим функции в виде степеней для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{1/2}$ и $g(x) = -x^{-1}$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (-x^{-1})' = -(-1)x^{-1-1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Приравняем производные, чтобы найти $x$:

$f'(x) = g'(x)$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x^2}$

Поскольку $x > 0$, оба знаменателя не равны нулю, и мы можем применить основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$x^2 = 2\sqrt{x}$

Чтобы избавиться от иррациональности, возведём обе части уравнения в квадрат:

$(x^2)^2 = (2\sqrt{x})^2$

$x^4 = 4x$

Перенесём все члены в левую сторону и решим уравнение:

$x^4 - 4x = 0$

$x(x^3 - 4) = 0$

Это уравнение даёт два возможных решения: $x=0$ или $x^3 - 4 = 0$.

Первый корень $x=0$ не входит в область определения производной $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Решим второе уравнение:

$x^3 = 4$

$x = \sqrt[3]{4}$

Это значение удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является искомым решением.

Ответ: при $x=\sqrt[3]{4}$.