Страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.10 Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (см. рис. 39). Сравните значения производной в указанных точках:

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$;

б) $f'(-4)$ и $f'(2);$

в) $f'(-9)$ и $f'(0);$

г) $f'(-1)$ и $f'(5).$

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

Из этого следует:

• Если функция возрастает на некотором интервале, то её производная на этом интервале положительна ($f'(x) > 0$), так как касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ox.
• Если функция убывает, то её производная отрицательна ($f'(x) < 0$), так как касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ox.
• В точках экстремума (максимума или минимума), где касательная горизонтальна, производная равна нулю.
• Чем «круче» вверх идет график функции, тем больше значение производной.
• Чем «круче» вниз идет график функции, тем меньше (т.е. более отрицательно) значение производной.

Проанализируем график функции $y = f(x)$ из рис. 39. Мы видим, что функция имеет точку максимума при $x \approx -8$ и точку минимума при $x \approx 3$. Следовательно:

• Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -8)$ и $(3; \infty)$.
• Функция убывает на промежутке $(-8; 3)$.

Теперь сравним значения производной в указанных точках.

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$

Точки $x = -7$ и $x = -2$ принадлежат интервалу убывания функции $(-8; 3)$. Следовательно, производные в этих точках отрицательны: $f'(-7) < 0$ и $f'(-2) < 0$.

Чтобы сравнить два отрицательных числа, оценим крутизну графика. В точке $x = -7$, которая находится близко к точке максимума $x = -8$, график убывает достаточно полого. Касательная в этой точке имеет небольшой отрицательный наклон, то есть значение производной близко к нулю.

В точке $x = -2$ график убывает заметно круче, чем в точке $x = -7$. Это означает, что наклон касательной в точке $x = -2$ является более отрицательным числом, чем наклон в точке $x = -7$.

Таким образом, $f'(-2)$ меньше, чем $f'(-7)$.

Ответ: $f'(-7) > f'(-2)$.

б) $f'(-4)$ и $f'(2)$

Точки $x = -4$ и $x = 2$ также принадлежат интервалу убывания функции $(-8; 3)$, поэтому обе производные отрицательны: $f'(-4) < 0$ и $f'(2) < 0$.

Сравним крутизну убывания. Точка $x = 2$ находится близко к точке минимума $x = 3$. В этой области график становится более пологим, готовясь к смене направления. Следовательно, наклон касательной в точке $x=2$ отрицателен, но близок к нулю.

В точке $x = -4$ график убывает значительно круче, чем в точке $x = 2$. Значит, значение производной в точке $x = -4$ является более отрицательным числом.

Следовательно, $f'(-4)$ меньше, чем $f'(2)$.

Ответ: $f'(-4) < f'(2)$.

в) $f'(-9)$ и $f'(0)$

Точка $x = -9$ принадлежит интервалу возрастания функции $(-\infty; -8)$. Значит, производная в этой точке положительна: $f'(-9) > 0$.

Точка $x = 0$ принадлежит интервалу убывания функции $(-8; 3)$. Значит, производная в этой точке отрицательна: $f'(0) < 0$.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $f'(-9) > f'(0)$.

Ответ: $f'(-9) > f'(0)$.

г) $f'(-1)$ и $f'(5)$

Точка $x = -1$ принадлежит интервалу убывания функции $(-8; 3)$. Следовательно, производная в этой точке отрицательна: $f'(-1) < 0$.

Точка $x = 5$ принадлежит интервалу возрастания функции $(3; \infty)$. Следовательно, производная в этой точке положительна: $f'(5) > 0$.

Положительное число всегда больше отрицательного.

Таким образом, $f'(-1) < f'(5)$.

Ответ: $f'(-1) < f'(5)$.

27.11 Функция $y = \varphi(x)$ задана своим графиком (рис. 40). Укажите несколько значений аргумента, для которых:

а) $\varphi'(x) > 0$;

б) $\varphi'(x) < 0$ и $x > 0$;

в) $\varphi'(x) < 0$;

г) $\varphi'(x) > 0$ и $x < 0$.

Рис. 40

а) $φ'(x) > 0$
Геометрический смысл производной заключается в том, что если производная функции в точке положительна ($φ'(x) > 0$), то функция в этой точке возрастает. На графике мы ищем промежутки, где функция "идет вверх" при движении слева направо. Такими промежутками являются $(-8; -4)$ и $(1; 3)$. Мы можем выбрать любое значение аргумента $x$ из этих интервалов.
Ответ: например, $x = -7$, $x = -5$, $x = 2$.

б) $φ'(x) < 0$ и $x > 0$
Это двойное условие. Во-первых, производная должна быть отрицательной ($φ'(x) < 0$), что означает, что функция убывает. Во-вторых, аргумент должен быть положительным ($x > 0$). Сначала найдем все промежутки убывания функции: это $(-∞; -8)$, $(-4; 1)$ и $(3; +∞)$. Теперь из этих промежутков выберем те, где $x > 0$. Это будут части исходных промежутков: $(0; 1)$ и $(3; +∞)$. Выберем несколько значений аргумента из полученных интервалов.
Ответ: например, $x = 0.5$, $x = 4$, $x = 5$.

в) $φ'(x) < 0$
Условие $φ'(x) < 0$ означает, что функция $y = φ(x)$ убывает. На графике мы ищем промежутки, где функция "идет вниз" при движении слева направо. Такими промежутками являются $(-∞; -8)$, $(-4; 1)$ и $(3; +∞)$. Выберем по одному значению из каждого видимого на графике промежутка убывания.
Ответ: например, $x = -9$, $x = 0$, $x = 4$.

г) $φ'(x) > 0$ и $x < 0$
Это также двойное условие. Функция должна возрастать ($φ'(x) > 0$), и при этом аргумент должен быть отрицательным ($x < 0$). Промежутки возрастания функции: $(-8; -4)$ и $(1; 3)$. Теперь выберем из них тот, где все значения $x$ отрицательны. Условию $x < 0$ удовлетворяет только промежуток $(-8; -4)$. Выберем несколько значений аргумента из этого интервала.
Ответ: например, $x = -7$, $x = -6$, $x = -5$.

27.9 Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рис. 39). Укажите любые два значения аргумента $x_1$ и $x_2$, при которых:

а) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) > 0;$

б) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) > 0;$

в) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) < 0;$

г) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) < 0.$

Рис. 39

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Знак производной функции $f'(x)$ в некоторой точке связан с поведением самой функции $f(x)$ в этой точке:

• Если производная положительна, $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ возрастает.
• Если производная отрицательна, $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ убывает.

Анализируя предоставленный график функции $y = f(x)$, мы можем определить интервалы возрастания и убывания:

1. Функция возрастает (график идет вверх) на интервале $x \in (-3, 3)$. На этом интервале $f'(x) > 0$.
2. Функция убывает (график идет вниз) на интервалах $x \in (-\infty, -3)$ и $x \in (3, \infty)$. На этих интервалах $f'(x) < 0$.
3. В точках $x=-3$ и $x=3$ находятся точки экстремума (минимум и максимум), где касательная к графику горизонтальна, а производная равна нулю: $f'(-3)=0$ и $f'(3)=0$.

Основываясь на этом анализе, подберем требуемые значения $x_1$ и $x_2$.

а) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) > 0$

Требуется найти два значения аргумента, для которых производная положительна. Это соответствует интервалу возрастания функции, то есть $x \in (-3, 3)$. Мы можем выбрать любые два различных числа из этого интервала.
Например, возьмем $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Оба значения лежат в интервале $(-3, 3)$, следовательно, $f'(-1) > 0$ и $f'(1) > 0$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.

б) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) > 0$

Нужно найти одно значение $x_1$, где производная отрицательна (функция убывает), и одно значение $x_2$, где производная положительна (функция возрастает).
Выберем $x_1$ из одного из интервалов убывания, например, из $(-\infty, -3)$. Пусть $x_1 = -4$. Тогда $f'(-4) < 0$.
Выберем $x_2$ из интервала возрастания $(-3, 3)$. Пусть $x_2 = 2$. Тогда $f'(2) > 0$.
Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 2$.

в) $f'(x_1) < 0; f'(x_2) < 0$

Требуется найти два значения аргумента, для которых производная отрицательна. Это соответствует интервалам убывания функции: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. Можно выбрать два значения из одного интервала убывания или по одному из каждого.
Возьмем по одному значению из каждого интервала. Пусть $x_1 = -5$ (из $(-\infty, -3)$) и $x_2 = 5$ (из $(3, \infty)$). В обеих этих точках производная будет отрицательной.
Ответ: $x_1 = -5, x_2 = 5$.

г) $f'(x_1) > 0; f'(x_2) < 0$

Нужно найти одно значение $x_1$, где производная положительна (функция возрастает), и одно значение $x_2$, где производная отрицательна (функция убывает).
Выберем $x_1$ из интервала возрастания $(-3, 3)$. Пусть $x_1 = 0$. Тогда $f'(0) > 0$.
Выберем $x_2$ из одного из интервалов убывания, например, из $(3, \infty)$. Пусть $x_2 = 4$. Тогда $f'(4) < 0$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 4$.