Страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.19 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей заданными свойствами:

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3$;

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$;

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ и $f(-1)$ не существует;

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$.

а)

Условие $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ означает, что при приближении значения аргумента $x$ к 2 (как слева, так и справа), значение функции $f(x)$ стремится к 3. На графике это означает, что кривая функции подходит к точке с координатами $(2, 3)$.

Условие $f(2) = 3$ означает, что значение функции в самой точке $x=2$ равно 3. То есть, точка $(2, 3)$ принадлежит графику функции.

Совпадение предела функции в точке и значения функции в этой точке ($\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$) является определением непрерывности функции в точке $a$. Таким образом, нам нужно построить эскиз графика любой функции, которая непрерывна в точке $x=2$ и проходит через точку $(2, 3)$.

Простейшим примером такой функции является постоянная функция $f(x) = 3$. Ее график — это прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0, 3)$. Другим примером может быть линейная функция $f(x) = x+1$.

Эскиз графика для $f(x)=3$ — это горизонтальная прямая $y=3$. В точке $x=2$ график проходит через точку $(2, 3)$ без каких-либо разрывов или "дырок".

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 3$. Ее график — это горизонтальная прямая $y=3$, которая непрерывна во всех точках, в том числе и в точке $x=2$, где $f(2)=3$.

б)

Условие $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ означает, что при приближении $x$ к -6, значение функции $f(x)$ стремится к 4. Значение функции в самой точке $x=-6$ не задано, поэтому на графике в точке $(-6, 4)$ может быть разрыв (так называемая "выколотая" точка).

Условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что при $x$, стремящемся к минус бесконечности, значение функции стремится к нулю. Графически это означает, что прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

В качестве примера можно рассмотреть функцию, которая удовлетворяет обоим условиям, например, показательную функцию вида $f(x) = 4e^{x+6}$. Проверим условия:
$\lim_{x \to -6} 4e^{x+6} = 4e^{-6+6} = 4e^0 = 4 \cdot 1 = 4$.
$\lim_{x \to -\infty} 4e^{x+6} = 4 \cdot \lim_{x \to -\infty} e^{x+6} = 4 \cdot 0 = 0$.

Эскиз графика: кривая, которая слева (при $x \to -\infty$) приближается к оси абсцисс, а при $x=-6$ подходит к значению $y=4$. В точке $(-6, 4)$ можно изобразить "выколотую" точку (незакрашенный кружок), чтобы подчеркнуть, что значение функции в этой точке не определено условием.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 4e^{x+6}$. Ее график при $x \to -\infty$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ и стремится к точке $(-6, 4)$ при $x \to -6$.

в)

Условие $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ означает, что когда $x$ стремится к -1, значения $f(x)$ стремятся к 4.

Условие "$f(-1)$ не существует" означает, что функция не определена в точке $x=-1$.

Эти два условия вместе описывают так называемый устранимый разрыв в точке $x=-1$. График функции подходит к точке $(-1, 4)$ с обеих сторон, но в самой этой точке имеется "дырка" или "выколотая" точка.

Примером такой функции может служить рациональная функция, у которой и числитель, и знаменатель обращаются в ноль при $x=-1$. Например, $f(x) = \frac{4(x+1)}{x+1}$. Эта функция равна 4 при всех $x \neq -1$ и не определена при $x=-1$.
Другой, менее тривиальный пример — линейная функция с выколотой точкой: $f(x) = -x+3$ при $x \neq -1$. Проверим: $\lim_{x \to -1} (-x+3) = -(-1)+3 = 4$. При этом $f(-1)$ не определена по построению.

Эскиз графика: прямая линия $y = -x+3$, у которой в точке $(-1, 4)$ нарисован незакрашенный кружок ("выколотая" точка).

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = -x+3$ с областью определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Ее график — это прямая линия с "выколотой" точкой в $(-1, 4)$.

г)

Условие $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ означает, что при приближении $x$ к 3, значение функции $f(x)$ стремится к -1. В точке $(3, -1)$ на графике может быть как сама точка, так и разрыв.

Условие $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$ означает, что при $x$, стремящемся к плюс бесконечности, значение функции стремится к -5. Это означает, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.

Подберем функцию, удовлетворяющую этим свойствам. Хорошим кандидатом является дробно-рациональная функция вида $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$.
Из условия $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -5$ следует, что отношение старших коэффициентов $\frac{a}{c} = -5$. Возьмем $a=-5, c=1$. Функция принимает вид $f(x) = \frac{-5x+b}{x+d}$.
Из условия $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ (предполагая для простоты, что функция непрерывна в этой точке), получаем: $\frac{-5(3)+b}{3+d} = -1 \implies \frac{-15+b}{3+d} = -1 \implies -15+b = -3-d \implies b+d=12$.
Мы можем выбрать любые значения $b$ и $d$, удовлетворяющие этому уравнению, при условии что знаменатель не равен нулю в точке $x=3$ (т.е. $3+d \neq 0$). Пусть $d=1$, тогда $b=11$.
Получаем функцию: $f(x) = \frac{-5x+11}{x+1}$.

Эскиз графика: кривая, которая при $x \to +\infty$ приближается к горизонтальной прямой $y=-5$. При $x=3$ кривая проходит через точку $(3, -1)$.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{-5x+11}{x+1}$. Ее график имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$ при $x \to +\infty$ и проходит через точку $(3, -1)$.

Вычислите:

26.20 a) $\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 5);$

В) $\lim_{x \to -1} (x^2 + 6x - 8);$

б) $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x + 3}{4x + 2};$

Г) $\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x - 14}{21x + 2}.$

а)

Чтобы вычислить предел $\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 5)$, мы имеем дело с многочленом. Многочлены являются непрерывными функциями на всей числовой прямой. Это означает, что предел функции при $x$, стремящемся к некоторому числу, равен значению функции в этой точке. Поэтому мы можем просто подставить $x=1$ в выражение:

$\lim_{x \to 1} (x^2 - 3x + 5) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$.

Ответ: $3$

б)

Для вычисления предела $\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2}$ мы имеем дело с рациональной функцией. Рациональные функции непрерывны во всех точках, где их знаменатель не равен нулю. Сначала проверим значение знаменателя в точке $x = \frac{1}{2}$:

$4x + 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 2 + 2 = 4$.

Поскольку знаменатель не равен нулю ($4 \neq 0$), функция непрерывна в этой точке. Следовательно, мы можем найти предел путем прямой подстановки значения $x = \frac{1}{2}$ в функцию:

$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3}{4 \cdot \frac{1}{2} + 2} = \frac{1+3}{2+2} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: $1$

в)

Для вычисления предела $\lim_{x \to -1} (x^2 + 6x - 8)$ мы снова имеем дело с многочленом. Как и в пункте а), функция непрерывна, и мы можем найти предел прямой подстановкой $x=-1$ в выражение:

$\lim_{x \to -1} (x^2 + 6x - 8) = (-1)^2 + 6(-1) - 8 = 1 - 6 - 8 = -13$.

Ответ: $-13$

г)

Для вычисления предела $\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2}$ мы имеем дело с рациональной функцией. Проверим значение знаменателя в точке $x = -\frac{1}{3}$:

$21x + 2 = 21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2 = -7 + 2 = -5$.

Знаменатель не равен нулю ($-5 \neq 0$), поэтому функция непрерывна в этой точке. Мы можем найти предел путем прямой подстановки:

$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2} = \frac{7 \cdot (-\frac{1}{3}) - 14}{21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2} = \frac{-\frac{7}{3} - 14}{-5} = \frac{-\frac{7}{3} - \frac{42}{3}}{-5} = \frac{-\frac{49}{3}}{-5} = \frac{49}{15}$.

Ответ: $\frac{49}{15}$

26.21 a) $ \lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}; $

б) $ \lim_{x \to 1} \frac{3+4x}{2x^2+6x-3}; $

В) $ \lim_{x \to 6} \sqrt{x+3}; $

Г) $ \lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}. $

а)

Для нахождения предела $\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}$, мы можем использовать свойство непрерывности функции. Функция $f(x) = \sqrt{x+4}$ является элементарной и определена в точке $x=5$, а также в её окрестности, так как подкоренное выражение $x+4$ при $x \to 5$ положительно. Следовательно, функция непрерывна в этой точке.

По определению непрерывности, предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Поэтому мы можем просто подставить значение $x=5$ в выражение:

$\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $3$.

б)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to 1} \frac{3+4x}{2x^2+6x-3}$.

Функция $f(x) = \frac{3+4x}{2x^2+6x-3}$ является рациональной. Предел рациональной функции в точке, где знаменатель не обращается в ноль, можно найти прямой подстановкой.

Проверим значение знаменателя в точке $x=1$:

$2(1)^2 + 6(1) - 3 = 2 \cdot 1 + 6 - 3 = 2 + 6 - 3 = 5$.

Поскольку знаменатель не равен нулю ($5 \neq 0$), мы можем найти предел, подставив $x=1$ в числитель и знаменатель:

$\lim_{x \to 1} \frac{3+4x}{2x^2+6x-3} = \frac{3+4(1)}{2(1)^2+6(1)-3} = \frac{3+4}{2+6-3} = \frac{7}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.

в)

Для нахождения предела $\lim_{x \to 6} \sqrt{x+3}$ воспользуемся тем, что функция $f(x) = \sqrt{x+3}$ непрерывна в точке $x=6$, так как подкоренное выражение $x+3$ в этой точке положительно ($6+3=9 > 0$).

Предел непрерывной функции в точке равен её значению в этой точке. Подставим $x=6$ в выражение:

$\lim_{x \to 6} \sqrt{x+3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $3$.

г)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$.

Данная функция является рациональной. Сначала проверим, не обращается ли знаменатель в ноль в точке $x=-1$.

Подставим $x=-1$ в знаменатель:

$3(-1)^2 - 2(-1) + 4 = 3 \cdot 1 - (-2) + 4 = 3 + 2 + 4 = 9$.

Так как знаменатель не равен нулю ($9 \neq 0$), функция непрерывна в точке $x=-1$. Следовательно, для нахождения предела можно применить прямую подстановку.

Подставим $x=-1$ в числитель и знаменатель дроби:

$\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4} = \frac{5-2(-1)}{3(-1)^2-2(-1)+4} = \frac{5+2}{3+2+4} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

26.18 На рисунке 31 изображён график функции $y=f(x)$.

Найдите:

a) $\lim_{x \to -\infty} f(x);$

б) $\lim_{x \to 0} f(x);$

в) $\lim_{x \to 3} f(x);$

г) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Рис. 31

а) Для нахождения предела $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ необходимо посмотреть на поведение графика функции, когда значение $x$ стремится к минус бесконечности, то есть уходит далеко влево по оси абсцисс. Из рисунка видно, что при движении влево по оси $x$ график функции неограниченно уходит вниз. Это означает, что значения функции $f(x)$ становятся всё меньше и меньше, стремясь к минус бесконечности.

Ответ: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

б) Для нахождения предела $\lim_{x \to 0} f(x)$ нужно определить, к какому значению стремится $f(x)$, когда $x$ приближается к 0. На графике мы видим, что при $x=0$ (на оси ординат) график функции проходит через точку, ордината которой равна 4. В этой точке функция непрерывна, поэтому предел равен значению функции в этой точке.

Ответ: $\lim_{x \to 0} f(x) = 4$.

в) Для нахождения предела $\lim_{x \to 3} f(x)$ нужно исследовать поведение функции в окрестности точки $x=3$. Предел существует, если левосторонний и правосторонний пределы существуют и равны.
При приближении $x$ к 3 слева (то есть $x \to 3^-$) значения функции $f(x)$ стремятся к 9. На графике это показано кривой, которая подходит к "выколотой" точке $(3, 9)$.
При приближении $x$ к 3 справа (то есть $x \to 3^+$) значения функции $f(x)$ также стремятся к 9.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы равны ($\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = 9$), то и сам предел в точке $x=3$ существует и равен 9. Следует заметить, что значение функции в самой точке $x=3$ равно 4, что показано закрашенной точкой $(3, 4)$, но это не влияет на значение предела, который описывает поведение функции вблизи точки.

Ответ: $\lim_{x \to 3} f(x) = 9$.

г) Для нахождения предела $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ необходимо посмотреть на поведение графика функции, когда значение $x$ стремится к плюс бесконечности, то есть уходит далеко вправо по оси абсцисс. На графике видно, что при увеличении $x$ кривая $y=f(x)$ приближается к горизонтальной пунктирной линии. Эта линия является горизонтальной асимптотой для графика функции. Ордината этой асимптоты равна 4. Таким образом, значения функции стремятся к 4.

Ответ: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$.