Страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.3 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей указанным свойством:

а) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$;

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$;

б) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$;

г) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$.

a) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ означает, что при неограниченном увеличении аргумента $x$, значения функции $f(x)$ стремятся к числу 5. Геометрически это означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

В качестве примера такой функции можно взять $f(x) = 5 + \frac{1}{x}$. Найдем ее предел при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (5 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} 5 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 5 + 0 = 5$.

График этой функции представляет собой гиперболу $y = 1/x$, смещенную на 5 единиц вверх. При $x \to \infty$, ветвь гиперболы приближается к прямой $y=5$ сверху. Можно выбрать и другую функцию, например, $f(x) = 5 - e^{-x}$, график которой будет приближаться к асимптоте $y=5$ снизу.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при $x \to \infty$ (то есть, при движении вправо по оси абсцисс) неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=5$. Кривая может приближаться к этой прямой сверху, снизу или колеблясь вокруг нее.

б) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$ означает, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

Примером такой функции может служить $f(x) = -2 + \frac{1}{x^2}$. Проверим предел:

$\lim_{x \to \infty} (-2 + \frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} (-2) + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = -2 + 0 = -2$.

График этой функции при $x \to \infty$ будет приближаться к прямой $y=-2$ сверху, так как слагаемое $\frac{1}{x^2}$ всегда положительно и стремится к нулю.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при движении вправо по оси $Ox$ неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=-2$.

в) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$ означает, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

Рассмотрим функцию $f(x) = -5 - \frac{1}{x}$. Ее предел при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (-5 - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} (-5) - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = -5 - 0 = -5$.

Так как при больших положительных $x$ слагаемое $-\frac{1}{x}$ является малым отрицательным числом, график функции будет приближаться к асимптоте $y=-5$ снизу.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при $x \to \infty$ асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=-5$.

г) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$ при $x \to \infty$.

Простейшими примерами таких функций являются $f(x) = \frac{1}{x}$ или $f(x) = e^{-x}$. Для первой функции:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.

График функции $f(x) = \frac{1}{x}$ — это гипербола. В первой четверти, при $x \to \infty$, ее ветвь приближается к оси $Ox$ сверху. График функции $f(x) = e^{-x}$ также приближается к оси $Ox$ сверху при $x \to \infty$.

Ответ: Эскиз графика представляет собой кривую, которая при $x \to \infty$ неограниченно приближается к оси абсцисс ($y=0$).

26.4 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей указанными свойствами:

a) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$ и $f(x) > 0$ на $(-\infty, +\infty)$;

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ и $f(x) < 0$ на $(-\infty, +\infty)$.

а)

Нам нужно построить эскиз графика функции $y=f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$
2. $f(x) > 0$ на интервале $(-\infty, +\infty)$

Разберем эти условия.

Первое условие $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой для графика функции $y=f(x)$, когда $x$ стремится к плюс бесконечности. Это значит, что при увеличении $x$ график функции будет все ближе и ближе подходить к прямой $y=5$.

Второе условие $f(x) > 0$ на $(-\infty, +\infty)$ означает, что весь график функции должен быть расположен выше оси абсцисс ($Ox$).

Таким образом, эскиз графика должен представлять собой кривую, которая полностью лежит в верхней полуплоскости (над осью $Ox$) и при движении вправо по оси $x$ неограниченно приближается к горизонтальной линии $y=5$. Приближение к асимптоте может происходить как сверху, так и снизу, главное, чтобы график не пересекал ось $Ox$.

В качестве примера функции, обладающей такими свойствами, можно рассмотреть $f(x) = 5 + e^{-x}$.

• Проверим предел: $\lim_{x \to +\infty} (5 + e^{-x}) = 5 + 0 = 5$.
• Проверим знак: поскольку $e^{-x}$ всегда больше нуля для любого действительного $x$, то $f(x) = 5 + e^{-x}$ всегда будет больше 5, а значит, и больше 0.

График этой функции при $x \to -\infty$ уходит в $+\infty$, пересекает ось $Oy$ в точке $(0, 6)$ и при $x \to +\infty$ приближается к асимптоте $y=5$ сверху.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, полностью расположенную над осью $Ox$. При $x \to +\infty$ эта кривая асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=5$. Пример такого графика — кривая, которая слева направо убывает из $+\infty$ и приближается к линии $y=5$.

б)

Нам нужно построить эскиз графика функции $y=f(x)$, которая удовлетворяет двум условиям:

1. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$
2. $f(x) < 0$ на интервале $(-\infty, +\infty)$

Разберем эти условия.

Первое условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что прямая $y=0$ (то есть ось абсцисс $Ox$) является горизонтальной асимптотой для графика функции, когда $x$ стремится к минус бесконечности.

Второе условие $f(x) < 0$ на $(-\infty, +\infty)$ означает, что весь график функции должен быть расположен ниже оси абсцисс ($Ox$).

Совмещая оба условия, получаем, что график функции должен быть полностью в нижней полуплоскости и при $x \to -\infty$ приближаться к оси $Ox$ снизу.

В качестве примера функции, обладающей такими свойствами, можно рассмотреть $f(x) = -e^x$.

• Проверим предел: $\lim_{x \to -\infty} (-e^x) = -0 = 0$.
• Проверим знак: поскольку показательная функция $e^x$ всегда положительна ($e^x>0$), то функция $f(x) = -e^x$ всегда будет отрицательна ($f(x)<0$).

График этой функции при $x \to -\infty$ приближается к оси $Ox$ снизу, проходит через точку $(0, -1)$ и при $x \to +\infty$ уходит в $-\infty$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, полностью расположенную под осью $Ox$. При $x \to -\infty$ эта кривая асимптотически приближается к оси $Ox$ снизу. Пример такого графика — кривая, которая слева направо возрастает от значений, близких к нулю, проходит через отрицательную часть оси $Oy$ и далее может уходить в $-\infty$.

26.5 Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $y=h(x)$, обладающей указанными свойствами:

а) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ и функция возрастает;

б) $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу;

в) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает;

г) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена.

а) Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 4$ означает, что прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to +\infty$. Условие, что функция возрастает, означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $h(x_1) < h(x_2)$.

Чтобы удовлетворить обоим условиям, функция должна возрастать и при этом приближаться к своему пределу $y=4$. Это возможно только если она приближается к асимптоте снизу, то есть значения функции всегда остаются меньше 4.

Эскиз графика: кривая, которая монотонно поднимается слева направо. При $x \to +\infty$ (при движении вправо) кривая всё ближе и ближе подходит к горизонтальной прямой $y=4$, не пересекая её. Например, график может выходить из третьей или четвертой четверти, пересекать ось $y$ в любой точке ниже $y=4$ и далее стремиться к своей асимптоте.

Примером такой функции может служить $h(x) = 4 - e^{-x}$. Её производная $h'(x) = e^{-x}$ всегда положительна, значит, функция возрастает. Предел при $x \to +\infty$ равен $4 - 0 = 4$.

Ответ: Эскиз представляет собой возрастающую кривую, которая имеет горизонтальную асимптоту $y=4$ при $x \to +\infty$, приближаясь к ней снизу.

б) Условие $\lim_{x \to +\infty} h(x) = 1$ означает, что прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to +\infty$. Условие, что функция ограничена снизу, означает, что существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется $h(x) \ge M$. То есть, график функции целиком лежит выше некоторой горизонтальной прямой $y=M$.

Функция не обязана быть монотонной. Она может иметь локальные минимумы и максимумы. Главное, чтобы при $x \to +\infty$ её значения стремились к 1, и чтобы существовал глобальный минимум или нижняя грань значений.

Эскиз графика: при движении вправо ($x \to +\infty$) кривая приближается к прямой $y=1$. При этом на всей области определения график не опускается ниже некоторой горизонтальной прямой. Например, кривая может сначала убывать, достичь точки минимума, а затем возрастать, стремясь к асимптоте $y=1$ снизу. Другой вариант — кривая приближается к асимптоте $y=1$ сверху, всё время оставаясь выше неё (и, следовательно, выше любой прямой $y=M$ при $M \le 1$).

Примером такой функции является $h(x) = 1 + \frac{1}{x^2+1}$. Эта функция ограничена снизу числом 1 (её значения лежат в полуинтервале $(1, 2]$), и её предел при $x \to +\infty$ равен $1+0=1$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, которая при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к прямой $y=1$ и при этом целиком расположена выше некоторой горизонтальной прямой $y=M$.

в) Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$. Условие, что функция убывает, означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $h(x_1) > h(x_2)$.

Совмещение этих двух условий означает, что функция должна убывать, приближаясь к своему пределу $y=5$ при $x \to -\infty$. Это возможно, только если она приближается к асимптоте сверху, то есть значения функции при $x \to -\infty$ немного больше 5.

Эскиз графика: кривая, которая монотонно опускается слева направо. При $x \to -\infty$ (далеко слева) кривая очень близка к горизонтальной прямой $y=5$, находясь над ней. С увеличением $x$ (при движении вправо) кривая всё дальше уходит вниз от асимптоты.

Примером такой функции может служить $h(x) = 5 - e^x$. Её производная $h'(x) = -e^x$ всегда отрицательна, значит, функция убывает. Предел при $x \to -\infty$ равен $5 - 0 = 5$.

Ответ: Эскиз представляет собой убывающую кривую, которая имеет горизонтальную асимптоту $y=5$ при $x \to -\infty$, приближаясь к ней сверху.

г) Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ означает, что прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой графика как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$. Условие, что функция ограничена, означает, что существуют такие числа $M$ и $N$, что для любого $x$ выполняется $M \le h(x) \le N$. То есть, график функции целиком лежит внутри горизонтальной полосы между прямыми $y=M$ и $y=N$. Для непрерывной функции наличие конечных пределов на $\pm\infty$ уже гарантирует её ограниченность.

Эскиз графика: кривая, которая с обеих сторон (и слева, и справа) приближается к горизонтальной прямой $y=1$. В средней части график может вести себя по-разному: иметь один или несколько "холмов" (максимумов) или "впадин" (минимумов). Простой пример — "колоколообразная" кривая, симметричная относительно оси $y$. Она начинается слева вблизи прямой $y=1$, поднимается до максимума на оси $y$, а затем опускается, снова приближаясь к $y=1$ справа.

Примером такой функции является $h(x) = 1 + e^{-x^2}$. Её предел при $x \to \pm\infty$ равен $1+0=1$. Максимальное значение достигается при $x=0$ и равно $h(0)=2$. Минимальное значение (нижняя грань) — 1. Таким образом, функция ограничена: $1 < h(x) \le 2$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, расположенную в некоторой горизонтальной полосе, которая и на левом, и на правом "бесконечном" конце асимптотически приближается к прямой $y=1$.

26.2 Имеет ли функция $y = f(x)$ предел при $x \to +\infty$, при $x \to -\infty$ или при $x \to \infty$ и чему он равен, если:

а) прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4];

б) прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty);

в) прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3];

г) прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)?

а) Условие, что прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$, означает, что поведение функции при $x \to -\infty$ определяется этой асимптотой. По определению горизонтальной асимптоты, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to -\infty$ существует и равен 3:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$

Информации о поведении функции при $x \to +\infty$ не предоставлено, поэтому сделать вывод о существовании предела при $x \to +\infty$ или при $x \to \infty$ (для которого требуется существование и равенство пределов на $+\infty$ и $-\infty$) невозможно.

Ответ: функция имеет предел при $x \to -\infty$, равный 3.

б) Условие, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$, означает, что поведение функции при $x \to +\infty$ определяется этой асимптотой. По определению горизонтальной асимптоты, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ существует и равен -2:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$

Информации о поведении функции при $x \to -\infty$ не предоставлено, поэтому сделать вывод о существовании предела при $x \to -\infty$ или при $x \to \infty$ невозможно.

Ответ: функция имеет предел при $x \to +\infty$, равный -2.

в) Условие, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$, означает, что поведение функции при $x \to -\infty$ определяется этой асимптотой. По определению, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to -\infty$ существует и равен -5:

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -5$

Информации о поведении функции при $x \to +\infty$ недостаточно для определения предела при $x \to +\infty$ или при $x \to \infty$.

Ответ: функция имеет предел при $x \to -\infty$, равный -5.

г) Условие, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$, означает, что поведение функции при $x \to +\infty$ определяется этой асимптотой. По определению, это значит, что предел функции $f(x)$ при $x \to +\infty$ существует и равен 5:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5$

Информации о поведении функции при $x \to -\infty$ недостаточно для определения предела при $x \to -\infty$ или при $x \to \infty$.

Ответ: функция имеет предел при $x \to +\infty$, равный 5.