Страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.20 Найдите минимальный отрезок $ [a; b] $ с целочисленными конца-

ми, которому принадлежат все члены последовательности:

a) $ a_n = 7 - \frac{1}{n} $;

б) $ b_n = 2 + \frac{1}{2^n} $;

в) $ p_n = \frac{2n + 1}{2n - 1} $;

г) $ q_n = \frac{2n - 1}{2n + 1} $.

а) Для последовательности $a_n = 7 - \frac{1}{n}$ необходимо найти её точную нижнюю (инфимум) и точную верхнюю (супремум) грани. Исследуем последовательность на монотонность. Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n = (7 - \frac{1}{n+1}) - (7 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$. Так как $n \ge 1$, эта разность всегда положительна, следовательно, последовательность $a_n$ является строго возрастающей. Её наименьшее значение (инфимум) равно первому члену: $\inf(a_n) = a_1 = 7 - \frac{1}{1} = 6$. Супремум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\sup(a_n) = \lim_{n \to \infty} (7 - \frac{1}{n}) = 7$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $[6, 7)$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами, который содержит все члены последовательности, определяется как $[ \lfloor\inf(a_n)\rfloor, \lceil\sup(a_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor 6 \rfloor = 6$ и $b = \lceil 7 \rceil = 7$. Ответ: $[6, 7]$.

б) Для последовательности $b_n = 2 + \frac{1}{2^n}$ исследуем ее поведение. С ростом натурального числа $n$, значение $2^n$ увеличивается, следовательно, дробь $\frac{1}{2^n}$ уменьшается. Это означает, что последовательность $b_n$ является строго убывающей. Её наибольшее значение (супремум) равно первому члену: $\sup(b_n) = b_1 = 2 + \frac{1}{2^1} = 2.5$. Инфимум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\inf(b_n) = \lim_{n \to \infty} (2 + \frac{1}{2^n}) = 2$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $(2, 2.5]$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами определяется как $[ \lfloor\inf(b_n)\rfloor, \lceil\sup(b_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor 2 \rfloor = 2$ и $b = \lceil 2.5 \rceil = 3$. Ответ: $[2, 3]$.

в) Для последовательности $p_n = \frac{2n+1}{2n-1}$ преобразуем её, выделив целую часть: $p_n = \frac{2n-1+2}{2n-1} = 1 + \frac{2}{2n-1}$. С ростом $n$, знаменатель $2n-1$ увеличивается, значит дробь $\frac{2}{2n-1}$ уменьшается. Следовательно, последовательность $p_n$ является строго убывающей. Её наибольшее значение (супремум) равно первому члену: $\sup(p_n) = p_1 = 1 + \frac{2}{2(1)-1} = 1 + 2 = 3$. Инфимум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\inf(p_n) = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{2n-1}) = 1$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $(1, 3]$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами определяется как $[ \lfloor\inf(p_n)\rfloor, \lceil\sup(p_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor 1 \rfloor = 1$ и $b = \lceil 3 \rceil = 3$. Ответ: $[1, 3]$.

г) Для последовательности $q_n = \frac{2n-1}{2n+1}$ преобразуем её, выделив целую часть: $q_n = \frac{2n+1-2}{2n+1} = 1 - \frac{2}{2n+1}$. С ростом $n$, знаменатель $2n+1$ увеличивается, значит дробь $\frac{2}{2n+1}$ уменьшается. Так как мы вычитаем положительное убывающее число из 1, последовательность $q_n$ является строго возрастающей. Её наименьшее значение (инфимум) равно первому члену: $\inf(q_n) = q_1 = 1 - \frac{2}{2(1)+1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Супремум последовательности равен её пределу при $n \to \infty$: $\sup(q_n) = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2}{2n+1}) = 1$. Таким образом, все члены последовательности находятся в полуинтервале $[\frac{1}{3}, 1)$. Минимальный отрезок $[a, b]$ с целочисленными концами определяется как $[ \lfloor\inf(q_n)\rfloor, \lceil\sup(q_n)\rceil ]$. В данном случае $a = \lfloor \frac{1}{3} \rfloor = 0$ и $b = \lceil 1 \rceil = 1$. Ответ: $[0, 1]$.

24.25 a) $y_n = (-2)^n$;

В) $y_n = n^3 - 5$;

б) $y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$;

Г) $y_n = \sqrt{n+8}$.

а) Последовательность задана формулой $y_n = (-2)^n$. Это геометрическая прогрессия, знаменатель которой $q = -2$. Поскольку $|q| = |-2| = 2 > 1$, последовательность является расходящейся. Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы это продемонстрировать:
$y_1 = (-2)^1 = -2$
$y_2 = (-2)^2 = 4$
$y_3 = (-2)^3 = -8$
$y_4 = (-2)^4 = 16$
Члены последовательности неограниченно возрастают по модулю и чередуются по знаку, поэтому последовательность не стремится к какому-либо конечному числу. Предел $\lim_{n \to \infty} (-2)^n$ не существует.
Ответ: последовательность расходится.

б) Последовательность задана формулой $y_n = \cos\frac{\pi}{n+5}$. Чтобы найти предел этой последовательности при $n \to \infty$, сначала рассмотрим предел аргумента косинуса: $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n+5}$. Когда $n$ стремится к бесконечности ($n \to \infty$), знаменатель $n+5$ также стремится к бесконечности ($n+5 \to \infty$). Следовательно, дробь стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n+5} = 0$. Функция косинуса $f(x) = \cos x$ является непрерывной на всей числовой оси, поэтому можно внести знак предела под знак функции: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{\pi}{n+5}\right) = \cos\left(\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n+5}\right) = \cos(0)$. Поскольку $\cos(0) = 1$, предел последовательности существует и равен 1.
Ответ: последовательность сходится, ее предел равен 1.

в) Последовательность задана формулой $y_n = n^3 - 5$. Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} (n^3 - 5)$. Когда $n$ неограниченно возрастает, член $n^3$ также неограниченно возрастает. Вычитание константы 5 не влияет на стремление последовательности к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} n^3 = \infty$. Следовательно, $\lim_{n \to \infty} (n^3 - 5) = \infty$. Поскольку предел не является конечным числом, последовательность расходится (стремится к $+\infty$).
Ответ: последовательность расходится.

г) Последовательность задана формулой $y_n = \sqrt{n+8}$. Найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n+8}$. Рассмотрим выражение под корнем: $n+8$. Когда $n \to \infty$, то и $n+8 \to \infty$. Функция квадратного корня $f(x) = \sqrt{x}$ является непрерывной для $x \ge 0$ и возрастающей. Когда ее аргумент стремится к бесконечности, значение функции также стремится к бесконечности. $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+8} = \infty$. Так как предел не является конечным числом, последовательность расходится (стремится к $+\infty$).
Ответ: последовательность расходится.

24.21 Какие из заданных последовательностей ограничены снизу?

a) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

б) -1, 2, -3, 4, -5, ...

в) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$

г) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, ...

а) Последовательность $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ задается формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$, где $n$ — натуральное число. Поскольку $n \ge 1$, все члены последовательности $a_n$ являются положительными, то есть для любого $n$ выполняется неравенство $a_n > 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0.
Ответ: последовательность ограничена снизу.

б) Последовательность $-1, 2, -3, 4, -5, \ldots$ задается формулой общего члена $a_n = (-1)^n \cdot n$. Рассмотрим подпоследовательность ее членов с нечетными номерами: $a_1 = -1, a_3 = -3, a_5 = -5, \ldots, a_{2k-1} = -(2k-1)$. Эта подпоследовательность стремится к $-\infty$, то есть ее члены неограниченно убывают. Это означает, что для любого, сколь угодно малого числа $M$, можно найти такой член последовательности $a_n$, который будет меньше $M$. Следовательно, не существует числа, которое было бы меньше или равно всем членам последовательности.
Ответ: последовательность не ограничена снизу.

в) Последовательность $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$ задается формулой общего члена $a_n = \frac{n}{n+1}$. Так как $n$ — натуральное число, числитель $n$ и знаменатель $n+1$ всегда положительны, а значит, и все члены последовательности $a_n$ положительны. Эта последовательность является возрастающей, так как разность между последующим и предыдущим членами положительна: $a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$. Поскольку последовательность возрастает, ее наименьшим членом является первый член, $a_1 = \frac{1}{2}$. Таким образом, все члены последовательности удовлетворяют условию $a_n \ge \frac{1}{2}$, то есть последовательность ограничена снизу.
Ответ: последовательность ограничена снизу.

г) Последовательность $5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, \ldots$ является арифметической прогрессией. Ее первый член $a_1=5$, а разность $d = 4 - 5 = -1$. Общий член последовательности можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)(-1) = 5 - n + 1 = 6-n$. С увеличением номера $n$ члены последовательности $a_n = 6-n$ неограниченно убывают, стремясь к $-\infty$. Поэтому не существует такого числа $M$, что $a_n \geq M$ для всех $n$.
Ответ: последовательность не ограничена снизу.

24.22 Какие из заданных последовательностей ограничены сверху?

а) $-3, -2, -1, 0, 1, ...$;

б) $1, -1, 1, -2, 1, -3, ...$;

в) $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, ...$;

г) $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$

Чтобы определить, ограничена ли последовательность сверху, нужно выяснить, существует ли такое число $M$, что все члены последовательности меньше или равны этому числу ($a_n \le M$ для всех $n$).

а) Последовательность $-3, -2, -1, 0, 1, ...$ является арифметической прогрессией, общий член которой можно записать как $a_n = n-4$ (при $n \ge 1$). С увеличением номера $n$ значение члена $a_n$ неограниченно возрастает. Для любого, даже самого большого числа $M$, всегда можно найти такой номер $n$ (например, $n > M+4$), что $a_n > M$. Следовательно, эта последовательность не ограничена сверху.
Ответ: не ограничена сверху.

б) В последовательности $1, -1, 1, -2, 1, -3, ...$ члены с нечетными номерами равны 1, а члены с четными номерами — это отрицательные числа $-1, -2, -3, ...$. Любой член этой последовательности либо равен 1, либо меньше 1. Таким образом, для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n \le 1$. Это означает, что последовательность ограничена сверху числом 1.
Ответ: ограничена сверху.

в) Последовательность $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, ...$ имеет общий член $a_n = \frac{1}{n+1}$ (при $n \ge 1$). Это убывающая последовательность, так как с ростом $n$ знаменатель дроби увеличивается, а сама дробь уменьшается. Наибольшим членом является первый: $a_1 = \frac{1}{2}$. Все остальные члены последовательности меньше $\frac{1}{2}$. Следовательно, для всех членов выполняется неравенство $a_n \le \frac{1}{2}$. Последовательность ограничена сверху.
Ответ: ограничена сверху.

г) Последовательность $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, ...$ имеет общий член $a_n = \frac{n}{n+1}$ (при $n \ge 1$). Его можно представить в виде $a_n = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$. Так как при любом натуральном $n$ дробь $\frac{1}{n+1}$ положительна, то значение $a_n$ всегда меньше 1. Таким образом, для всех членов последовательности выполняется неравенство $a_n < 1$. Последовательность ограничена сверху, например, числом 1.
Ответ: ограничена сверху.

24.23 Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?

а) $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n+1}, \dots$

б) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \dots, \frac{2n-1}{2n}, \dots$

в) $5, -5, 5, -5, \dots, (-1)^{n-1} \cdot 5, \dots$

г) $-2, 3, -4, 5, \dots, (-1)^n (n+1), \dots$

а) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = \frac{1}{n+1}$. Члены последовательности: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, знаменатель $n+1 \ge 2$. Из этого следует, что для любого члена последовательности выполняется двойное неравенство: $0 < x_n = \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{2}$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом 0 и сверху числом $\frac{1}{2}$. По определению, если последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.
Ответ: последовательность является ограниченной.

б) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = \frac{2n-1}{2n}$. Члены последовательности: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \ldots$. Преобразуем формулу общего члена: $x_n = \frac{2n}{2n} - \frac{1}{2n} = 1 - \frac{1}{2n}$. Поскольку $n \ge 1$, то $2n \ge 2$, и $0 < \frac{1}{2n} \le \frac{1}{2}$. Тогда для $x_n$ получаем: $1 - \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2n} < 1$, что равносильно $\frac{1}{2} \le x_n < 1$. Все члены последовательности находятся в промежутке $[\frac{1}{2}, 1)$. Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $\frac{1}{2}$ и сверху числом 1.
Ответ: последовательность является ограниченной.

в) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = (-1)^{n-1} \cdot 5$. Члены последовательности: $5, -5, 5, -5, \ldots$. Эта последовательность принимает только два значения: 5 (при нечетных $n$) и -5 (при четных $n$). Множество значений последовательности состоит из двух элементов: $\{-5, 5\}$. Для любого члена последовательности $x_n$ выполняется неравенство $-5 \le x_n \le 5$. Это означает, что последовательность ограничена снизу числом -5 и сверху числом 5. Также можно сказать, что $|x_n| = 5$ для всех $n$, что удовлетворяет определению ограниченной последовательности (существует $M=5$ такое, что $|x_n| \le M$).
Ответ: последовательность является ограниченной.

г) Рассмотрим последовательность с общим членом $x_n = (-1)^n (n+1)$. Члены последовательности: $-2, 3, -4, 5, -6, \ldots$. Найдем модуль общего члена последовательности: $|x_n| = |(-1)^n (n+1)| = |(-1)^n| \cdot |n+1| = 1 \cdot (n+1) = n+1$ (поскольку $n \ge 1$, то $n+1 > 0$). При неограниченном возрастании номера $n$, значение $|x_n| = n+1$ также неограниченно возрастает ($\lim_{n \to \infty} |x_n| = \infty$). Это означает, что не существует такого числа $M > 0$, чтобы для всех $n$ выполнялось неравенство $|x_n| \le M$. Например, для любого заданного числа $M$ можно взять натуральное число $n > M-1$, и тогда $|x_n| = n+1 > M$. Поскольку модуль членов последовательности не ограничен сверху, последовательность является неограниченной.
Ответ: последовательность не является ограниченной.

Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными. Укажите характер монотонности:

24.24 а) $y_n = 2n - 1;$

б) $y_n = -5^{-n};$

в) $y_n = n^2 + 8;$

г) $y_n = \frac{2}{3n + 1};$

Для выяснения, являются ли последовательности монотонными, и для определения характера их монотонности, мы исследуем знак разности между $(n+1)$-м и $n$-м членами, то есть $y_{n+1} - y_n$. Если эта разность положительна для всех натуральных $n$, последовательность возрастает. Если отрицательна — убывает. Все приведенные последовательности являются монотонными.

a) $y_n = 2n - 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (2n + 1) - (2n - 1) = 2$.

Так как разность $y_{n+1} - y_n = 2 > 0$ для любого натурального $n$, то каждый следующий член последовательности больше предыдущего. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

б) $y_n = -5^{-n}$

Перепишем формулу в виде $y_n = -\frac{1}{5^n}$. Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = -5^{-(n+1)} = -\frac{1}{5^{n+1}}$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \left(-\frac{1}{5^{n+1}}\right) - \left(-\frac{1}{5^n}\right) = \frac{1}{5^n} - \frac{1}{5^{n+1}} = \frac{5 - 1}{5^{n+1}} = \frac{4}{5^{n+1}}$.

Так как $n$ — натуральное число, знаменатель $5^{n+1}$ всегда положителен. Значит, разность $y_{n+1} - y_n = \frac{4}{5^{n+1}} > 0$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

в) $y_n = n^2 + 8$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = (n+1)^2 + 8 = n^2 + 2n + 1 + 8 = n^2 + 2n + 9$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (n^2 + 2n + 9) - (n^2 + 8) = 2n + 1$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), выражение $2n + 1$ всегда положительно. Значит, разность $y_{n+1} - y_n > 0$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

г) $y_n = \frac{2}{3n + 1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = \frac{2}{3(n+1) + 1} = \frac{2}{3n + 4}$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \frac{2}{3n + 4} - \frac{2}{3n + 1} = \frac{2(3n + 1) - 2(3n + 4)}{(3n + 4)(3n + 1)} = \frac{6n + 2 - 6n - 8}{(3n + 4)(3n + 1)} = \frac{-6}{(3n + 4)(3n + 1)}$.

Так как $n$ — натуральное число, выражения в знаменателе $(3n + 4)$ и $(3n + 1)$ всегда положительны, а значит, и их произведение положительно. Числитель дроби равен $-6$, то есть отрицателен. Таким образом, вся дробь отрицательна: $y_{n+1} - y_n < 0$. Следовательно, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго убывающей).