Страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.30 а) $\sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $\sin x + \sqrt{3} \cos x;$

В) $\sin x - \cos x;$

Г) $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x.$

а) Для преобразования выражения вида $a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Общая формула преобразования: $a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos \alpha = \frac{a}{R}$, $\sin \alpha = \frac{b}{R}$.
В выражении $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ имеем $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Вынесем 2 за скобки:$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.
Теперь нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\cos \alpha$ будет равен коэффициенту при $\sin x$, а $\sin \alpha$ — коэффициенту при $\cos x$ (если бы мы преобразовывали к $R\cos(x-\alpha)$, то было бы наоборот). Чтобы получить формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, нам нужно, чтобы коэффициент при $\sin x$ был косинусом, а при $\cos x$ — синусом. Поменяем их местами для наглядности:$2 \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в выражение:$2 (\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6})$.
Сворачиваем по формуле синуса суммы:$2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

б) Преобразуем выражение $\sin x + \sqrt{3} \cos x$.
Здесь $a = 1$ и $b = \sqrt{3}$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Вынесем 2 за скобки:$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right) = 2 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем в выражение:$2 (\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3})$.
По формуле синуса суммы $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$ получаем:$2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

в) Преобразуем выражение $\sin x - \cos x$.
Здесь $a = 1$ и $b = -1$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем в выражение:$\sqrt{2} (\sin x \cos(-\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
По формуле синуса суммы получаем:$\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.

г) Преобразуем выражение $2 \sin x - \sqrt{12} \cos x$.
Сначала упростим коэффициент $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Выражение принимает вид: $2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x$.
Здесь $a = 2$ и $b = -2\sqrt{3}$.
Найдем $R$:$R = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
Вынесем 4 за скобки:$2 \sin x - 2\sqrt{3} \cos x = 4 \left( \frac{2}{4} \sin x - \frac{2\sqrt{3}}{4} \cos x \right) = 4 \left( \sin x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right)$.
Найдем угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ и $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим условиям удовлетворяет угол $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.
Подставляем в выражение:$4 (\sin x \cos(-\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(-\frac{\pi}{3}))$.
По формуле синуса суммы получаем:$4 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $4 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

22.35 Существуют ли значения $x$, при которых выполняется равенство:

a) $sin 5x + cos 5x = 1,5;$

б) $3 sin 2x - 4 cos 2x = \sqrt{26};$

в) $sin 7x - \sqrt{3} cos 7x = \frac{\pi}{2};$

г) $5 sin x + 12 cos x = \sqrt{170}?$

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойством тригонометрического выражения вида $a \sin(kx) + b \cos(kx)$. Область значений такого выражения представляет собой отрезок $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Уравнение $a \sin(kx) + b \cos(kx) = C$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение $C$ принадлежит этому отрезку, то есть выполняется неравенство $|C| \le \sqrt{a^2+b^2}$.

а) Рассмотрим равенство $\sin 5x + \cos 5x = 1,5$.

В данном случае коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Найдем максимальное значение, которое может принимать левая часть уравнения:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, область значений выражения $\sin 5x + \cos 5x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли число $1,5$ этому отрезку. Сравним $1,5$ и $\sqrt{2}$. Для этого возведем оба числа в квадрат:

$(1,5)^2 = 2,25$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $2,25 > 2$, то $1,5 > \sqrt{2}$. Это означает, что значение $1,5$ находится вне области значений левой части уравнения.

Ответ: не существуют.

б) Рассмотрим равенство $3 \sin 2x - 4 \cos 2x = \sqrt{26}$.

Здесь коэффициенты $a=3$ и $b=-4$. Найдем область значений левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Область значений выражения $3 \sin 2x - 4 \cos 2x$ — это отрезок $[-5, 5]$.

Сравним значение из правой части, $\sqrt{26}$, с числом $5$. Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{26})^2 = 26$

$5^2 = 25$

Так как $26 > 25$, то $\sqrt{26} > 5$. Значение $\sqrt{26}$ не принадлежит отрезку $[-5, 5]$.

Ответ: не существуют.

в) Рассмотрим равенство $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x = \frac{\pi}{2}$.

В этом уравнении коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$. Найдем область значений левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, область значений выражения $\sin 7x - \sqrt{3} \cos 7x$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Теперь проверим, принадлежит ли значение $\frac{\pi}{2}$ этому отрезку. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159...$

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$.

Поскольку $-2 \le 1,57 \le 2$, значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[-2, 2]$. Следовательно, уравнение имеет решение.

Ответ: существуют.

г) Рассмотрим равенство $5 \sin x + 12 \cos x = \sqrt{170}$.

Здесь коэффициенты $a=5$ и $b=12$. Найдем область значений левой части:

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Область значений выражения $5 \sin x + 12 \cos x$ — это отрезок $[-13, 13]$.

Сравним значение из правой части, $\sqrt{170}$, с числом $13$. Возведем оба числа в квадрат:

$(\sqrt{170})^2 = 170$

$13^2 = 169$

Так как $170 > 169$, то $\sqrt{170} > 13$. Значение $\sqrt{170}$ не принадлежит отрезку $[-13, 13]$.

Ответ: не существуют.

22.31 а) $3 \sin x + 4 \cos x$;

б) $5 \cos x - 12 \sin x$;

в) $7 \sin x - 24 \cos x$;

г) $8 \cos x + 15 \sin x$.

а) $3 \sin x + 4 \cos x$

Для нахождения множества значений выражения вида $a \sin x + b \cos x$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Преобразуем выражение, вынеся за скобки множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. В данном случае $a = 3$, $b = 4$.

Вычислим $R$: $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Вынесем 5 за скобки: $3 \sin x + 4 \cos x = 5 \left(\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x\right)$.

Так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$, то существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. Подставив эти значения, получим: $5(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$, получаем: $5 \sin(x + \alpha)$.

Поскольку множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$, то множество значений исходного выражения — это отрезок $[-5, 5]$. Наибольшее значение выражения равно 5, а наименьшее равно -5.

Ответ: Наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно -5.

б) $5 \cos x - 12 \sin x$

Применим тот же метод. Перепишем выражение в виде $-12 \sin x + 5 \cos x$. Здесь $a = -12$, $b = 5$.

Найдем множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Вынесем 13 за скобки: $-12 \sin x + 5 \cos x = 13 \left(-\frac{12}{13} \sin x + \frac{5}{13} \cos x\right)$.

Пусть существует угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$ и $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. Тогда выражение в скобках можно записать как $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$.

Это соответствует формуле синуса суммы $\sin(x + \alpha)$. Таким образом, исходное выражение равно $13 \sin(x + \alpha)$.

Так как $-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$, то множество значений выражения $13 \sin(x + \alpha)$ есть отрезок $[-13, 13]$. Наибольшее значение выражения равно 13, а наименьшее равно -13.

Ответ: Наибольшее значение равно 13, наименьшее значение равно -13.

в) $7 \sin x - 24 \cos x$

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение имеет вид $a \sin x + b \cos x$, где $a = 7$ и $b = -24$.

Вычислим коэффициент $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.

Преобразуем выражение: $7 \sin x - 24 \cos x = 25 \left(\frac{7}{25} \sin x - \frac{24}{25} \cos x\right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$, такой, что $\cos \alpha = \frac{7}{25}$ и $\sin \alpha = -\frac{24}{25}$. Такой угол существует, так как $(\frac{7}{25})^2 + (-\frac{24}{25})^2 = 1$.

Тогда выражение в скобках преобразуется к виду $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$, что по формуле синуса суммы равно $\sin(x + \alpha)$.

Таким образом, исходное выражение равно $25 \sin(x + \alpha)$. Поскольку функция $\sin(x + \alpha)$ принимает значения на отрезке $[-1, 1]$, то выражение $25 \sin(x + \alpha)$ принимает значения на отрезке $[-25, 25]$. Наибольшее значение выражения равно 25, а наименьшее равно -25.

Ответ: Наибольшее значение равно 25, наименьшее значение равно -25.

г) $8 \cos x + 15 \sin x$

Перепишем выражение в виде $15 \sin x + 8 \cos x$. Здесь $a = 15$, $b = 8$.

Вычислим $R = \sqrt{a^2 + b^2}$: $R = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Вынесем 17 за скобки: $15 \sin x + 8 \cos x = 17 \left(\frac{15}{17} \sin x + \frac{8}{17} \cos x\right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$, такой что $\cos \alpha = \frac{15}{17}$ и $\sin \alpha = \frac{8}{17}$. Тогда выражение в скобках станет $\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$.

Используя формулу синуса суммы, получим $\sin(x + \alpha)$. Следовательно, исходное выражение равно $17 \sin(x + \alpha)$.

Поскольку $-1 \le \sin(x + \alpha) \le 1$, то множество значений выражения $17 \sin(x + \alpha)$ есть отрезок $[-17, 17]$. Наибольшее значение выражения равно 17, а наименьшее равно -17.

Ответ: Наибольшее значение равно 17, наименьшее значение равно -17.

22.36 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{2} (\sin x + \cos x);$

б) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x;$

в) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x;$

г) $y = \sin x - \cos x.$

Для построения графиков данных функций преобразуем их к виду $y = A \sin(x \pm \phi)$ или $y = A \cos(x \pm \phi)$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Общая формула преобразования выражения $a \sin x + b \cos x$ выглядит так:
$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)$.
Далее, в зависимости от значений $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, выражение в скобках сворачивается в синус или косинус суммы/разности.

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{2} (\sin x + \cos x)$.
Преобразуем выражение в скобках: $\sin x + \cos x$. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=1$.
Находим множитель $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:
$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
Подставляем это выражение обратно в исходную функцию:
$y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в 2 раза (амплитуда становится равной 2).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$ влево.
Ответ: $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$.
Здесь коэффициенты $a=\sqrt{3}$, $b=1$.
Находим амплитуду $A = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Выносим 2 за скобки: $y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то, используя формулу синуса суммы, получаем:
$y = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в 2 раза (амплитуда становится равной 2).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ влево.
Ответ: $y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$.
Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-\sqrt{3}$.
Находим амплитуду $A = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Выносим 2 за скобки: $y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то, используя формулу синуса разности $\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получаем:
$y = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{3} - \cos x \sin\frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в 2 раза (амплитуда становится равной 2).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$ вправо.
Ответ: $y = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sin x - \cos x$.
Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-1$.
Находим амплитуду $A = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
Выносим $\sqrt{2}$ за скобки: $y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то, используя формулу синуса разности, получаем:
$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.
График данной функции — это синусоида, которую можно получить из графика $y = \sin x$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси OX в $\sqrt{2}$ раз (амплитуда становится равной $\sqrt{2}$).
2. Сдвиг вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$ вправо.
Ответ: $y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.

22.32 Решите уравнение:

a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$;

б) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$;

в) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$;

г) $\sin x - \cos x = 1$.

а) Данное уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$ является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = \frac{1}{2}$

Применив формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получим:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения имеют вид:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из первого случая получаем: $x = 2\pi k$.

Из второго случая получаем: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{4\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ разделим обе его части на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1$

Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$, уравнение можно переписать в виде:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = 1$

Используя формулу синуса суммы, получаем:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

в) Для решения уравнения $\sin x - \sqrt{3} \cos x = \sqrt{3}$ разделим обе его части на $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$:

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставим эти значения:

$\cos(\frac{\pi}{3}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{3}) \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Применив формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получим:

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из первого случая: $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Из второго случая: $x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения уравнения $\sin x - \cos x = 1$ разделим обе его части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$, уравнение можно переписать в виде:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используя формулу синуса разности, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из первого случая: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Из второго случая: $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

22.33 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x;$

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x;$

в) $y = \sin x - \cos x;$

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x.$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции вида $y = a \sin x + b \cos x$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод позволяет преобразовать выражение к виду $y = R \sin(x + \alpha)$ или $y = R \cos(x - \alpha)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Так как область значений функции синус (или косинус) — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений исходной функции будет отрезком $[-R, R]$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $-R$, а наибольшее — $R$.

а) $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

В этой функции коэффициенты $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее значение равно $2$.

Для полноты решения преобразуем функцию:$y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:$y = 2 \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) \right) = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$.Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{6}) \le 1$, значения функции находятся в пределах от $-2$ до $2$.

Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

б) $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -\sqrt{3}$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее — $2$.

Преобразуем функцию:$y = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$y = 2 \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) \right) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$.Так как $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$, значения функции лежат в диапазоне от $-2$ до $2$.

Ответ: наименьшее значение: $-2$, наибольшее значение: $2$.

в) $y = \sin x - \cos x$

Здесь коэффициенты $a = 1$ и $b = -1$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-\sqrt{2}$, а наибольшее — $\sqrt{2}$.

Преобразуем функцию:$y = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, получаем:$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) \right) = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$.Поскольку $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$, значения функции находятся в пределах от $-\sqrt{2}$ до $\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение: $-\sqrt{2}$, наибольшее значение: $\sqrt{2}$.

г) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$

Здесь коэффициенты $a = \sqrt{6}$ и $b = -\sqrt{2}$.

Вычисляем амплитуду $R$:$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2\sqrt{2}$, а наибольшее — $2\sqrt{2}$.

Преобразуем функцию:$y = 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \cos x \right) = 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x \right)$.Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:$y = 2\sqrt{2} \left( \sin x \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) \right) = 2\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{6})$.Так как $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 1$, значения функции лежат в диапазоне от $-2\sqrt{2}$ до $2\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение: $-2\sqrt{2}$, наибольшее значение: $2\sqrt{2}$.

22.29 Найдите корни уравнения, принадлежащие интервалу (0; 2,5):

a) $\cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x;$

б) $\sin 2x + 5\sin 4x + \sin 6x = 0.$

а) Исходное уравнение: $\cos(6x) + \cos(8x) = \cos(10x) + \cos(12x)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к обеим частям уравнения.

Левая часть: $\cos(6x) + \cos(8x) = 2\cos\frac{6x+8x}{2}\cos\frac{8x-6x}{2} = 2\cos(7x)\cos(x)$.

Правая часть: $\cos(10x) + \cos(12x) = 2\cos\frac{10x+12x}{2}\cos\frac{12x-10x}{2} = 2\cos(11x)\cos(x)$.

Уравнение принимает вид: $2\cos(7x)\cos(x) = 2\cos(11x)\cos(x)$.

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель:

$2\cos(7x)\cos(x) - 2\cos(11x)\cos(x) = 0$

$2\cos(x)(\cos(7x) - \cos(11x)) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $\cos(x) = 0$

2) $\cos(7x) - \cos(11x) = 0$, или $\cos(7x) = \cos(11x)$.

Решим каждое уравнение.

1) Из $\cos(x) = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Уравнение $\cos(7x) = \cos(11x)$ равносильно совокупности:

$7x = \pm 11x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

$7x = 11x + 2\pi k \implies -4x = 2\pi k \implies x = -\frac{\pi k}{2}$. Поскольку $k$ - любое целое число, это эквивалентно $x = \frac{\pi k}{2}$.

$7x = -11x + 2\pi k \implies 18x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{9}$.

Заметим, что первая серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$).

Таким образом, все решения исходного уравнения задаются формулами: $x = \frac{\pi k}{2}$ и $x = \frac{\pi m}{9}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $(0; 2,5)$.

Для серии $x = \frac{\pi k}{2}$:

$0 < \frac{\pi k}{2} < 2,5 \implies 0 < \pi k < 5 \implies 0 < k < \frac{5}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14159$, то $0 < k < \frac{5}{3,14159} \approx 1,59$. Единственное целое значение $k$ в этом интервале – это $k=1$.

Отсюда получаем корень $x = \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = \frac{\pi m}{9}$:

$0 < \frac{\pi m}{9} < 2,5 \implies 0 < \pi m < 22,5 \implies 0 < m < \frac{22,5}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14159$, то $0 < m < \frac{22,5}{3,14159} \approx 7,16$. Целые значения $m$ в этом интервале: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Отсюда получаем корни: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{3\pi}{9}=\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{6\pi}{9}=\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

Всего в заданном интервале 8 корней. Упорядочив их по возрастанию, получаем: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{9}, \frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{9}$.

б) Исходное уравнение: $\sin(2x) + 5\sin(4x) + \sin(6x) = 0$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin(2x) + \sin(6x)) + 5\sin(4x) = 0$

$2\sin\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + 5\sin(4x) = 0$

$2\sin(4x)\cos(2x) + 5\sin(4x) = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin(4x)$ за скобки:

$\sin(4x)(2\cos(2x) + 5) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $\sin(4x) = 0$

2) $2\cos(2x) + 5 = 0$.

Решим каждое уравнение.

1) Из $\sin(4x) = 0$ получаем $4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $x = \frac{\pi k}{4}$.

2) Из $2\cos(2x) + 5 = 0$ получаем $\cos(2x) = -2,5$.

Так как область значений функции косинус $[-1; 1]$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, все решения исходного уравнения задаются серией $x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $(0; 2,5)$.

$0 < \frac{\pi k}{4} < 2,5 \implies 0 < \pi k < 10 \implies 0 < k < \frac{10}{\pi}$.

Так как $\pi \approx 3,14159$, то $0 < k < \frac{10}{3,14159} \approx 3,18$. Целые значения $k$ в этом интервале: $1, 2, 3$.

При $k=1$, получаем корень $x = \frac{\pi}{4}$.

При $k=2$, получаем корень $x = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

При $k=3$, получаем корень $x = \frac{3\pi}{4}$.

Все три найденных корня принадлежат заданному интервалу.

Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}$.

22.34 Найдите область значений функции:

а) $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x;$

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x;$

в) $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2};$

г) $y = 8 \cos \frac{x}{3} - 15 \sin \frac{x}{3}.$

Для нахождения области значений функций вида $y = a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x)$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $y = R \sin(\omega x + \alpha)$ или $y = R \cos(\omega x - \beta)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Для этого выносим $R$ за скобки: $y = R \left( \frac{a}{R} \sin(\omega x) + \frac{b}{R} \cos(\omega x) \right)$. Так как $\left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 = 1$, существует такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = \frac{a}{R}$ и $\sin \alpha = \frac{b}{R}$. Используя формулу синуса суммы, получаем $y = R \sin(\omega x + \alpha)$. Поскольку область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений исходной функции $y$ будет отрезком $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$. Применим этот общий результат к каждой из задач.

а) Для функции $y = 3 \sin 2x - 4 \cos 2x$ имеем коэффициенты $a=3$ и $b=-4$. Максимальное и минимальное значения определяются амплитудой $R = \sqrt{a^2 + b^2}$. Вычислим $R$: $R = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-5, 5]$.

Ответ: $E(y) = [-5, 5]$.

б) Для функции $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x$, которую можно записать как $y = 12 \sin 3x + 5 \cos 3x$, коэффициенты равны $a=12$ и $b=5$. Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$. Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-13, 13]$.

Ответ: $E(y) = [-13, 13]$.

в) Для функции $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2}$ коэффициенты $a=7$ и $b=24$. Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$. Область значений данной функции — это отрезок $[-25, 25]$.

Ответ: $E(y) = [-25, 25]$.

г) Для функции $y = 8 \cos \frac{x}{3} - 15 \sin \frac{x}{3}$, которую можно записать как $y = -15 \sin \frac{x}{3} + 8 \cos \frac{x}{3}$, коэффициенты $a=-15$ и $b=8$. Вычислим амплитуду $R$: $R = \sqrt{(-15)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$. Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-17, 17]$.

Ответ: $E(y) = [-17, 17]$.

1. Найдите $y_{\text{наим}}$, $y_{\text{наиб}}$ для функции $y = \sin x$.

Для того чтобы найти наименьшее ($y_{наим}$) и наибольшее ($y_{наиб}$) значения функции $y = \sin x$, необходимо рассмотреть ее область значений.

Функция синуса является тригонометрической функцией, и ее область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения аргумента $x$ значение функции $\sin x$ всегда находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно. Данное свойство можно записать в виде двойного неравенства: $$-1 \le \sin x \le 1$$

$y_{наиб}$: Наибольшее значение функции равно верхнему пределу ее области значений. Таким образом, наибольшее значение функции $y=\sin x$ равно $1$. Это значение достигается, когда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

$y_{наим}$: Наименьшее значение функции равно нижнему пределу ее области значений. Таким образом, наименьшее значение функции $y=\sin x$ равно $-1$. Это значение достигается, когда $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

Ответ: $y_{наим} = -1, y_{наиб} = 1$.

2. Найдите $E(f)$ для функции $y = \sin x$.

Область значений функции, обозначаемая как $E(f)$, — это множество всех значений, которые может принимать функция. Для функции $y = \sin x$ необходимо найти это множество.

Функция синус, $y = \sin x$, по своему определению представляет собой ординату (координату $y$) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $x$.

Рассмотрим единичную окружность, радиус которой равен 1, а центр находится в начале координат. Максимальное значение, которое может принять ордината точки на этой окружности, равно 1 (в точке $(0, 1)$). Это соответствует $\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Минимальное значение ординаты на единичной окружности равно -1 (в точке $(0, -1)$). Это соответствует $\sin x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Так как функция $y = \sin x$ является непрерывной на всей своей области определения ($x \in \mathbb{R}$), она принимает все значения между своим минимумом (-1) и максимумом (1).

Следовательно, все значения функции $y = \sin x$ заключены в отрезке от -1 до 1. Это записывается в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$.

Таким образом, область значений функции $E(f)$ для $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

3. Объясните, почему для функции $y = \sin x$ на любом числовом промежутке длиной 7 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

Рассмотрим функцию $y = \sin x$. Область значений этой функции — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что наибольшее значение ($y_{наиб}$), которое может принимать функция, равно 1, а наименьшее ($y_{наим}$) — равно -1.

Функция $y = \sin x$ является периодической. Её основной период равен $T = 2\pi$. Это значит, что график функции повторяется через каждый интервал длиной $2\pi$.

Вычислим приближенное значение периода: $\pi \approx 3.14159$, следовательно, $2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318...$

Длина числового промежутка, указанного в условии задачи, равна 7. Сравнивая длину промежутка с периодом функции, получаем: $7 > 2\pi$, так как $7 > 6.28318...$.

Любой числовой промежуток, длина которого больше или равна периоду функции, обязательно содержит в себе по меньшей мере один полный период. Пусть наш промежуток имеет вид $[a, a+7]$. Так как его длина $7$ больше периода $2\pi$, то он гарантированно содержит промежуток вида $[x_0, x_0+2\pi]$ для некоторого $x_0$.

В течение одного полного периода функция синус принимает все свои возможные значения из отрезка $[-1, 1]$. В частности, она достигает своего максимального значения, равного 1 (в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число), и своего минимального значения, равного -1 (в точках вида $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число).

Поскольку любой промежуток длиной 7 содержит в себе как минимум один полный период, на этом промежутке обязательно найдутся точки, в которых функция $y = \sin x$ примет значения 1 и -1. Следовательно, для любого такого промежутка $y_{наиб} = 1$ и $y_{наим} = -1$.

Ответ: Период функции $y = \sin x$ равен $2\pi \approx 6.28$. Длина рассматриваемого числового промежутка равна 7. Поскольку длина промежутка $7$ больше периода $2\pi$, любой такой промежуток содержит по крайней мере один полный период функции синус. В течение одного полного периода функция принимает все значения из своей области значений, включая максимальное значение 1 и минимальное значение -1. Следовательно, на любом числовом промежутке длиной 7 $y_{наим} = -1$ и $y_{наиб} = 1$.