Номер 3, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §10. ч. 1 - номер 3, страница 75.

3. Объясните, почему для функции $y = \sin x$ на любом числовом промежутке длиной 7 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$.

Рассмотрим функцию $y = \sin x$. Область значений этой функции — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что наибольшее значение ($y_{наиб}$), которое может принимать функция, равно 1, а наименьшее ($y_{наим}$) — равно -1.

Функция $y = \sin x$ является периодической. Её основной период равен $T = 2\pi$. Это значит, что график функции повторяется через каждый интервал длиной $2\pi$.

Вычислим приближенное значение периода: $\pi \approx 3.14159$, следовательно, $2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318...$

Длина числового промежутка, указанного в условии задачи, равна 7. Сравнивая длину промежутка с периодом функции, получаем: $7 > 2\pi$, так как $7 > 6.28318...$.

Любой числовой промежуток, длина которого больше или равна периоду функции, обязательно содержит в себе по меньшей мере один полный период. Пусть наш промежуток имеет вид $[a, a+7]$. Так как его длина $7$ больше периода $2\pi$, то он гарантированно содержит промежуток вида $[x_0, x_0+2\pi]$ для некоторого $x_0$.

В течение одного полного периода функция синус принимает все свои возможные значения из отрезка $[-1, 1]$. В частности, она достигает своего максимального значения, равного 1 (в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число), и своего минимального значения, равного -1 (в точках вида $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число).

Поскольку любой промежуток длиной 7 содержит в себе как минимум один полный период, на этом промежутке обязательно найдутся точки, в которых функция $y = \sin x$ примет значения 1 и -1. Следовательно, для любого такого промежутка $y_{наиб} = 1$ и $y_{наим} = -1$.

Ответ: Период функции $y = \sin x$ равен $2\pi \approx 6.28$. Длина рассматриваемого числового промежутка равна 7. Поскольку длина промежутка $7$ больше периода $2\pi$, любой такой промежуток содержит по крайней мере один полный период функции синус. В течение одного полного периода функция принимает все значения из своей области значений, включая максимальное значение 1 и минимальное значение -1. Следовательно, на любом числовом промежутке длиной 7 $y_{наим} = -1$ и $y_{наиб} = 1$.