Номер 4, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §10 - номер 4, страница 76.

Условие.

4. Можно ли утверждать, что функция $y = \sin x$ ограничена снизу?

ограничена сверху?

Решение 6.

Да, можно утверждать, что функция $y = \sin x$ ограничена и снизу, и сверху. Рассмотрим каждый случай подробно.

ограничена снизу?

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \ge m$.
Область значений тригонометрической функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение $\sin x$ всегда находится в пределах от $-1$ до $1$ включительно.
Следовательно, для любого $x$ всегда выполняется неравенство:
$\sin x \ge -1$
Это означает, что существует число $m = -1$, которое является нижней границей для значений функции. Таким образом, функция $y = \sin x$ ограничена снизу.
Ответ: Да, функция $y = \sin x$ ограничена снизу, так как для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\sin x \ge -1$.

ограничена сверху?

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \le M$.
Исходя из той же области значений $[-1, 1]$ для функции $y = \sin x$, для любого действительного числа $x$ также всегда выполняется неравенство:
$\sin x \le 1$
Это означает, что существует число $M = 1$, которое является верхней границей для значений функции. Таким образом, функция $y = \sin x$ ограничена сверху.
Ответ: Да, функция $y = \sin x$ ограничена сверху, так как для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\sin x \le 1$.