Номер 4, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §11. ч. 1 - номер 4, страница 79.
№4 (с. 79)
Условие. №4 (с. 79)
скриншот условия

4. Верно ли, что для функции $y = \cos x$ на любом числовом промежутке длиной 5 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$? Если да, то объясните почему. Если нет, то приведите пример.
Решение 6. №4 (с. 79)
Утверждение неверно.
Функция $y=\cos x$ является периодической с периодом $T=2\pi$. Свои экстремальные значения, $y_{наиб}=1$ и $y_{наим}=-1$, она принимает в следующих точках:
- $y=1$ при $x=2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $0, 2\pi, 4\pi, \ldots$).
- $y=-1$ при $x=\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $\pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$).
Расстояние между двумя соседними точками максимума (например, между $x=0$ и $x=2\pi$) равно $2\pi$. Аналогично, расстояние между двумя соседними точками минимума (например, между $x=\pi$ и $x=3\pi$) также равно $2\pi$.
Оценим значение $2\pi$: $2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318$.
Поскольку длина промежутка, на котором ищутся экстремумы, равна 5, а расстояние между двумя последовательными максимумами (или минимумами) равно $2\pi \approx 6.28$, что больше 5, то можно подобрать такой промежуток длиной 5, который не будет содержать ни одной точки максимума или ни одной точки минимума.
Пример:
Рассмотрим числовой промежуток $[0.5, 5.5]$. Его длина равна $5.5 - 0.5 = 5$.
Проверим, достигаются ли на этом промежутке значения $1$ и $-1$.
- Наибольшее значение: Точки, в которых $\cos x = 1$, имеют вид $x=2\pi k$. При $k=0$, $x=0$, что не принадлежит промежутку $[0.5, 5.5]$. При $k=1$, $x=2\pi \approx 6.28$, что также не принадлежит этому промежутку. Другие значения $k$ дают точки, еще более удаленные от нашего промежутка. Следовательно, на промежутке $[0.5, 5.5]$ функция $y=\cos x$ не достигает значения $1$. Наибольшее значение на этом отрезке равно $\cos(0.5) < 1$.
- Наименьшее значение: Точки, в которых $\cos x = -1$, имеют вид $x=\pi + 2\pi k$. При $k=0$, получаем $x=\pi \approx 3.14$. Так как $0.5 < \pi < 5.5$, эта точка принадлежит нашему промежутку. Следовательно, $y_{наим}=-1$ на данном промежутке достигается.
Таким образом, мы нашли промежуток длиной 5, на котором $y_{наим}=-1$, но $y_{наиб} < 1$. Это опровергает исходное утверждение.
Ответ: Нет, неверно. Например, для промежутка $[0.5, 5.5]$ длиной 5 наименьшее значение функции $y=\cos x$ равно $-1$ (достигается в точке $x=\pi$), а наибольшее значение $\cos(0.5) < 1$, так как ни одна точка вида $x=2\pi k$ не попадает в этот промежуток.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 79 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 79), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.