Номер 4, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §11 - номер 4, страница 79.

Условие.

4. Верно ли, что для функции $y = \cos x$ на любом числовом промежутке длиной 5 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 1$? Если да, то объясните почему. Если нет, то приведите пример.

Решение 6.

Утверждение неверно.

Функция $y=\cos x$ является периодической с периодом $T=2\pi$. Свои экстремальные значения, $y_{наиб}=1$ и $y_{наим}=-1$, она принимает в следующих точках:

• $y=1$ при $x=2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $0, 2\pi, 4\pi, \ldots$).
• $y=-1$ при $x=\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (например, $\pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$).

Расстояние между двумя соседними точками максимума (например, между $x=0$ и $x=2\pi$) равно $2\pi$. Аналогично, расстояние между двумя соседними точками минимума (например, между $x=\pi$ и $x=3\pi$) также равно $2\pi$.

Оценим значение $2\pi$: $2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318$.

Поскольку длина промежутка, на котором ищутся экстремумы, равна 5, а расстояние между двумя последовательными максимумами (или минимумами) равно $2\pi \approx 6.28$, что больше 5, то можно подобрать такой промежуток длиной 5, который не будет содержать ни одной точки максимума или ни одной точки минимума.

Пример:

Рассмотрим числовой промежуток $[0.5, 5.5]$. Его длина равна $5.5 - 0.5 = 5$.

Проверим, достигаются ли на этом промежутке значения $1$ и $-1$.

• Наибольшее значение: Точки, в которых $\cos x = 1$, имеют вид $x=2\pi k$. При $k=0$, $x=0$, что не принадлежит промежутку $[0.5, 5.5]$. При $k=1$, $x=2\pi \approx 6.28$, что также не принадлежит этому промежутку. Другие значения $k$ дают точки, еще более удаленные от нашего промежутка. Следовательно, на промежутке $[0.5, 5.5]$ функция $y=\cos x$ не достигает значения $1$. Наибольшее значение на этом отрезке равно $\cos(0.5) < 1$.
• Наименьшее значение: Точки, в которых $\cos x = -1$, имеют вид $x=\pi + 2\pi k$. При $k=0$, получаем $x=\pi \approx 3.14$. Так как $0.5 < \pi < 5.5$, эта точка принадлежит нашему промежутку. Следовательно, $y_{наим}=-1$ на данном промежутке достигается.

Таким образом, мы нашли промежуток длиной 5, на котором $y_{наим}=-1$, но $y_{наиб} < 1$. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: Нет, неверно. Например, для промежутка $[0.5, 5.5]$ длиной 5 наименьшее значение функции $y=\cos x$ равно $-1$ (достигается в точке $x=\pi$), а наибольшее значение $\cos(0.5) < 1$, так как ни одна точка вида $x=2\pi k$ не попадает в этот промежуток.