Номер 5, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §11 - номер 5, страница 79.

Условие.

5. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ ограничена снизу?
ограничена сверху?

Решение 6.

Можно ли утверждать, что функция y = cos x ограничена снизу?

Да, такое утверждение верно. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции никогда не будет меньше -1. Таким образом, выполняется неравенство $\cos x \ge -1$. В качестве числа $m$, ограничивающего функцию снизу, можно взять -1.

Ответ: Да, можно утверждать, так как для любого $x$ выполняется неравенство $\cos x \ge -1$.

ограничена сверху?

Да, функция $y = \cos x$ также ограничена сверху. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$. Как уже было сказано, область значений функции $y = \cos x$ — это $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ значение функции никогда не превысит 1. Таким образом, выполняется неравенство $\cos x \le 1$. В качестве числа $M$, ограничивающего функцию сверху, можно взять 1.

Ответ: Да, можно утверждать, так как для любого $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.