Номер 4, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §12 - номер 4, страница 81.

Условие.

4. Верно ли, что если функция $y = f(x)$ имеет период $T$, то периодом является:

а) число $2T$;

б) число $-17T$;

в) число $0,5T$?

Решение 6.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $y=f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$.

Из этого определения следует важное свойство: если $T$ - период функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ - целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является периодом этой функции.

а) число 2T

Проверим, является ли число $2T$ периодом функции $f(x)$, то есть выполняется ли равенство $f(x+2T)=f(x)$.

Используя свойство периодичности функции $f(x+T)=f(x)$, мы можем записать:

$f(x+2T) = f((x+T)+T)$

Обозначим $z = x+T$. Тогда выражение примет вид $f(z+T)$. Поскольку $T$ является периодом, то $f(z+T)=f(z)$.

Теперь подставим обратно $z=x+T$, получим $f(z) = f(x+T)$.

И снова, по определению периода, $f(x+T)=f(x)$.

Таким образом, мы получили цепочку равенств: $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$.

Следовательно, число $2T$ также является периодом функции $f(x)$. Это соответствует общему свойству при $n=2$.

Ответ: да, верно.

б) число -17T

Данный случай также подпадает под общее свойство, упомянутое выше, при $n=-17$. Число $-17$ является целым и не равным нулю.

Докажем это утверждение более подробно. Сначала покажем, что если $T$ - период, то и $-T$ является периодом. Для этого нужно проверить равенство $f(x-T)=f(x)$.

$f(x) = f(x+T)$. Заменим в этом равенстве $x$ на $x-T$: $f(x-T) = f((x-T)+T) = f(x)$. Равенство выполняется, значит $-T$ тоже является периодом.

Теперь, зная, что $-T$ является периодом, мы можем применить рассуждение из пункта а) 17 раз:

$f(x-17T) = f(x + 17 \cdot (-T)) = f(x + 16 \cdot (-T)) = \dots = f(x + (-T)) = f(x)$.

Следовательно, число $-17T$ также является периодом функции $f(x)$.

Ответ: да, верно.

в) число 0,5T

Это утверждение в общем случае неверно. Если $T$ является периодом, не обязательно, что его часть, например $0,5T$, также будет периодом. Утверждение было бы верным, если бы $T$ не было наименьшим положительным периодом, а было кратно ему (например, $T = 2T_0$, где $T_0$ - наименьший период), но вопрос ставится для общего случая.

Чтобы доказать неверность утверждения, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos(x)$. Ее наименьший положительный период равен $T=2\pi$.

Проверим, является ли число $0,5T = 0,5 \cdot 2\pi = \pi$ периодом этой функции.

Для этого нужно проверить, выполняется ли равенство $f(x+ \pi) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то есть $\cos(x+\pi) = \cos(x)$.

Используя формулу приведения, получаем: $\cos(x+\pi) = -\cos(x)$.

Равенство $-\cos(x) = \cos(x)$ выполняется только если $\cos(x)=0$. Для всех остальных значений $x$ равенство неверно. Например, при $x=0$, $\cos(0+\pi) = \cos(\pi) = -1$, а $\cos(0) = 1$. Так как $-1 \neq 1$, то $\pi$ не является периодом функции $\cos(x)$.

Следовательно, утверждение о том, что $0,5T$ всегда является периодом, если $T$ - период, неверно.

Ответ: нет, неверно.