Номер 8, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §11 - номер 8, страница 79.

Условие.

8. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$?

Решение 6.

Для того чтобы определить, является ли функция $y = \cos x$ монотонной на отрезке $[-1; 1]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Функция называется монотонной на некотором промежутке, если на всем этом промежутке она только возрастает или только убывает (включая случаи нестрогого возрастания/убывания).

Для анализа монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

Знак производной указывает на характер монотонности функции: если $y' > 0$, функция возрастает, а если $y' < 0$, функция убывает. Рассмотрим знак производной $y' = -\sin x$ на отрезке $[-1; 1]$ (здесь и далее углы измеряются в радианах).

1. На интервале $[-1; 0)$:
Для $x \in [-1; 0)$, значение $\sin x$ отрицательно ($\sin x < 0$).
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ положительна ($y' > 0$).
Это означает, что на отрезке $[-1; 0]$ функция $y = \cos x$ возрастает.

2. В точке $x = 0$:
Производная $y' = -\sin(0) = 0$. Эта точка является точкой экстремума (максимума).

3. На интервале $(0; 1]$:
Для $x \in (0; 1]$ (поскольку $1 < \pi \approx 3.14159$), значение $\sin x$ положительно ($\sin x > 0$).
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ отрицательна ($y' < 0$).
Это означает, что на отрезке $[0; 1]$ функция $y = \cos x$ убывает.

Таким образом, на отрезке $[-1; 1]$ функция $y = \cos x$ сначала возрастает (на промежутке $[-1; 0]$), а затем убывает (на промежутке $[0; 1]$). Поскольку функция не является ни только возрастающей, ни только убывающей на всем отрезке $[-1; 1]$, она не является монотонной на этом отрезке.

Это можно также увидеть, сравнив значения функции в трех точках: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
$y(-1) = \cos(-1) = \cos(1) \approx 0.54$
$y(0) = \cos(0) = 1$
$y(1) = \cos(1) \approx 0.54$
Так как $y(-1) < y(0)$ и $y(0) > y(1)$, условие монотонности не выполняется.

Ответ: нет, утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$, нельзя.