Номер 8, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §11. ч. 1 - номер 8, страница 79.
№8 (с. 79)
Условие. №8 (с. 79)
скриншот условия

8. Можно ли утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$?
Решение 6. №8 (с. 79)
Для того чтобы определить, является ли функция $y = \cos x$ монотонной на отрезке $[-1; 1]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Функция называется монотонной на некотором промежутке, если на всем этом промежутке она только возрастает или только убывает (включая случаи нестрогого возрастания/убывания).
Для анализа монотонности функции найдем ее производную:
$y' = (\cos x)' = -\sin x$
Знак производной указывает на характер монотонности функции: если $y' > 0$, функция возрастает, а если $y' < 0$, функция убывает. Рассмотрим знак производной $y' = -\sin x$ на отрезке $[-1; 1]$ (здесь и далее углы измеряются в радианах).
1. На интервале $[-1; 0)$:
Для $x \in [-1; 0)$, значение $\sin x$ отрицательно ($\sin x < 0$).
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ положительна ($y' > 0$).
Это означает, что на отрезке $[-1; 0]$ функция $y = \cos x$ возрастает.
2. В точке $x = 0$:
Производная $y' = -\sin(0) = 0$. Эта точка является точкой экстремума (максимума).
3. На интервале $(0; 1]$:
Для $x \in (0; 1]$ (поскольку $1 < \pi \approx 3.14159$), значение $\sin x$ положительно ($\sin x > 0$).
Следовательно, производная $y' = -\sin x$ отрицательна ($y' < 0$).
Это означает, что на отрезке $[0; 1]$ функция $y = \cos x$ убывает.
Таким образом, на отрезке $[-1; 1]$ функция $y = \cos x$ сначала возрастает (на промежутке $[-1; 0]$), а затем убывает (на промежутке $[0; 1]$). Поскольку функция не является ни только возрастающей, ни только убывающей на всем отрезке $[-1; 1]$, она не является монотонной на этом отрезке.
Это можно также увидеть, сравнив значения функции в трех точках: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
$y(-1) = \cos(-1) = \cos(1) \approx 0.54$
$y(0) = \cos(0) = 1$
$y(1) = \cos(1) \approx 0.54$
Так как $y(-1) < y(0)$ и $y(0) > y(1)$, условие монотонности не выполняется.
Ответ: нет, утверждать, что функция $y = \cos x$ монотонна на отрезке $[-1; 1]$, нельзя.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 79 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №8 (с. 79), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.