Номер 5, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §12. ч. 1 - номер 5, страница 81.

5. Можно ли утверждать, что $8\pi$ — период функции $y = \sin x$, а $-162\pi$ — период функции $y = \cos x$?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся определением периодической функции и ее свойствами.

Число $T \ne 0$ называется периодом функции $y=f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Наименьший положительный период функции называется ее основным периодом. Если $T_0$ — основной период функции, то любое число вида $n \cdot T_0$, где $n$ — любое целое ненулевое число ($n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$), также является ее периодом.

Для функции $y = \sin x$ основной период равен $T_0 = 2\pi$. Проверим, является ли $8\pi$ периодом этой функции. Для этого нужно найти такое целое число $n$, что $8\pi = n \cdot T_0$.

$8\pi = n \cdot 2\pi$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получаем:

$n = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Так как $n=4$ — это целое ненулевое число, то $8\pi$ является периодом функции $y = \sin x$.

Проверка по определению:

$\sin(x + 8\pi) = \sin(x + 4 \cdot 2\pi) = \sin x$

Равенство выполняется для всех $x$, значит, утверждение верно.

Ответ: Да, можно утверждать, что $8\pi$ является периодом функции $y = \sin x$.

a

Теперь рассмотрим функцию $y = \cos x$. Ее основной период также равен $T_0 = 2\pi$. Проверим, является ли $-162\pi$ периодом этой функции. Найдем такое целое число $n$, что $-162\pi = n \cdot T_0$.

$-162\pi = n \cdot 2\pi$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получаем:

$n = \frac{-162\pi}{2\pi} = -81$

Так как $n=-81$ — это целое ненулевое число, то $-162\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.

Проверка по определению:

$\cos(x - 162\pi) = \cos(x + (-81) \cdot 2\pi) = \cos x$

Равенство выполняется для всех $x$, значит, утверждение верно.

Ответ: Да, можно утверждать, что $-162\pi$ является периодом функции $y = \cos x$.