Номер 1, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §12. ч. 1 - номер 1, страница 81.

1. Какую функцию называют периодической?

1. Функцию $y = f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство:

$f(x + T) = f(x)$

Это равенство означает, что значения функции повторяются через определённый интервал. Число $T$ называют периодом функции. Важно, что $T \ne 0$.

Если $T$ — период функции, то любое число вида $nT$, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$), также является её периодом. Например, $f(x+2T) = f((x+T)+T) = f(x+T) = f(x)$, и также $f(x-T) = f((x-T)+T) = f(x)$.

Наименьшее положительное число $T$, обладающее указанным свойством, называют главным (или основным) периодом функции.

Геометрически периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если построить график функции на любом промежутке длиной, равной главному периоду $T$ (например, на отрезке $[x_0, x_0 + T]$), то весь остальной график можно получить, параллельно перенося (сдвигая) этот фрагмент вдоль оси абсцисс ($Ox$) на расстояния $nT$ вправо и влево для всех целых $n$.

Классическими примерами периодических функций являются тригонометрические функции. Например, функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ имеют главный период $2\pi$, а функции $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ — главный период $\pi$. Ещё одним примером является функция дробной части числа $y = \{x\}$, её главный период равен $1$.

Ответ: Периодической называют функцию $f(x)$, для которой существует такое ненулевое число $T$ (называемое периодом), что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.