Номер 3, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §12. ч. 1 - номер 3, страница 81.

3. Сколько периодов имеет периодическая функция?

По определению, функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое ненулевое число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Число $T$ при этом называется периодом функции.

Допустим, мы нашли один такой период $T \neq 0$. Рассмотрим, являются ли другие числа также периодами.

Проверим число $2T$. Для этого подставим его в определение:

$f(x + 2T) = f((x+T) + T)$

Так как $T$ является периодом, то $f((x+T) + T) = f(x+T)$. А поскольку $f(x+T) = f(x)$, то мы получаем:

$f(x + 2T) = f(x)$

Это означает, что $2T$ также является периодом функции $f(x)$.

Рассуждая аналогично, можно доказать методом математической индукции, что любое число вида $nT$, где $n$ — натуральное число, будет являться периодом функции.

Теперь проверим отрицательные кратные периоды. Например, $-T$. Возьмем исходное равенство $f(x) = f(x+T)$ и заменим в нем $x$ на $x-T$:

$f(x-T) = f((x-T) + T) = f(x)$

Следовательно, $-T$ также является периодом. Объединяя результаты, мы можем утверждать, что если $T$ — период функции, то и любое число вида $k \cdot T$, где $k$ — любое целое число, не равное нулю ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$), также является ее периодом.

Так как множество целых чисел бесконечно, то для любой периодической функции существует бесконечное множество периодов.

Например, для функции $f(x) = \cos(x)$ наименьший положительный период равен $T = 2\pi$. Однако числа $4\pi$, $6\pi$, а также $-2\pi$, $-4\pi$ и т.д. (то есть все числа вида $2\pi k$ при $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$) тоже являются ее периодами.

Наименьший положительный период функции, если он существует, называется основным периодом. Но вопрос стоит об общем количестве периодов, а не только об основном.

Ответ: Бесконечно много.