Номер 7, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §11 - номер 7, страница 79.

Условие.

7. Каков характер монотонности функции $y = \cos x$ на отрезках $[0; 1]$, $[2; 3]$, $[5; 6]$?

Решение 6.

Для определения характера монотонности функции $y = \cos x$ на заданных отрезках необходимо исследовать знак ее производной. Производная данной функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Характер монотонности функции зависит от знака производной: если $y'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает; если $y'(x) < 0$, то функция убывает.

Знак производной $y' = -\sin x$ противоположен знаку функции $\sin x$. Известно, что $\sin x > 0$ при $x \in (0; \pi)$ и $\sin x < 0$ при $x \in (\pi; 2\pi)$. Для анализа будем использовать приближенные значения: $\pi \approx 3,14$ и $2\pi \approx 6,28$.

[0; 1]

Рассмотрим отрезок $[0; 1]$. Так как $0 < 1 < \pi \approx 3,14$, то весь отрезок $[0; 1]$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале $\sin x > 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x$ будет отрицательной для всех $x \in (0; 1)$. Таким образом, функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0; 1]$.

Ответ: на отрезке $[0; 1]$ функция убывает.

[2; 3]

Рассмотрим отрезок $[2; 3]$. Так как $0 < 2 < 3 < \pi \approx 3,14$, то весь отрезок $[2; 3]$ также принадлежит интервалу $(0; \pi)$. На этом интервале $\sin x > 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x$ отрицательна на интервале $(2; 3)$. Это означает, что функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[2; 3]$.

Ответ: на отрезке $[2; 3]$ функция убывает.

[5; 6]

Рассмотрим отрезок $[5; 6]$. Так как $\pi \approx 3,14 < 5 < 6 < 2\pi \approx 6,28$, то весь отрезок $[5; 6]$ принадлежит интервалу $(\pi; 2\pi)$. На этом интервале $\sin x < 0$. Следовательно, производная $y' = -\sin x = -(\text{отрицательное число})$ будет положительной на интервале $(5; 6)$. Это означает, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[5; 6]$.

Ответ: на отрезке $[5; 6]$ функция возрастает.