Номер 3, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §11. ч. 1 - номер 3, страница 79.

3. Объясните, почему для функции $y = \cos x$ на любом числовом промежутке длиной 10 справедливы соотношения $y_{\text{наим}} = -1, y_{\text{наиб}} = 1$.

Рассмотрим свойства функции $y = \cos x$.

1. Периодичность. Функция $y = \cos x$ является периодической. Её основной (наименьший положительный) период равен $T = 2\pi$. Это означает, что значения функции повторяются через каждый интервал длиной $2\pi$.

2. Область значений. Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, глобальное наибольшее значение функции равно 1, а глобальное наименьшее — -1.

3. Точки экстремумов.

• Наибольшее значение $y=1$ функция достигает в точках $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
• Наименьшее значение $y=-1$ функция достигает в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 10. Его можно представить в виде отрезка $[a, a+10]$ для некоторого действительного числа $a$.

Ключевым для решения является сравнение длины этого промежутка с периодом функции. Длина промежутка равна 10. Период функции $T = 2\pi$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $T = 2\pi \approx 6.28318$.

Поскольку $10 > 2\pi$ (так как $10 > 6.28318$), длина заданного промежутка больше, чем длина одного полного периода функции $y = \cos x$.

На любом отрезке, длина которого равна периоду (например, на отрезке $[0, 2\pi]$), функция косинуса принимает все свои значения от -1 до 1. Так как наш промежуток длиной 10 длиннее, чем $2\pi$, он гарантированно содержит в себе хотя бы один полный цикл изменения функции. Это означает, что на любом таком промежутке функция $\cos x$ обязательно достигнет как своего наибольшего значения, равного 1, так и своего наименьшего значения, равного -1.

Формальное доказательство:

• Расстояние между двумя соседними точками, где $\cos x = 1$ (например, $2\pi k$ и $2\pi(k+1)$), равно $2\pi$. Так как длина промежутка $10 > 2\pi$, в него обязательно попадёт хотя бы одна такая точка.
• Аналогично, расстояние между двумя соседними точками, где $\cos x = -1$ (например, $\pi + 2\pi k$ и $\pi + 2\pi(k+1)$), также равно $2\pi$. Так как $10 > 2\pi$, в промежуток обязательно попадёт и хотя бы одна точка минимума.

Следовательно, на любом числовом промежутке длиной 10 наибольшее значение функции $y=\cos x$ будет равно 1, а наименьшее — -1.

Ответ: Период функции $y = \cos x$ равен $2\pi \approx 6.28$. Любой числовой промежуток длиной 10 длиннее, чем один полный период функции ($10 > 2\pi$). Следовательно, на любом таком промежутке функция $y = \cos x$ успевает принять все свои возможные значения из отрезка $[-1, 1]$, включая наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ и наименьшее значение $y_{наим} = -1$.