Номер 2, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §10 - номер 2, страница 75.

Условие.

2. Найдите $E(f)$ для функции $y = \sin x$.

Решение 6.

Область значений функции, обозначаемая как $E(f)$, — это множество всех значений, которые может принимать функция. Для функции $y = \sin x$ необходимо найти это множество.

Функция синус, $y = \sin x$, по своему определению представляет собой ординату (координату $y$) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $x$.

Рассмотрим единичную окружность, радиус которой равен 1, а центр находится в начале координат. Максимальное значение, которое может принять ордината точки на этой окружности, равно 1 (в точке $(0, 1)$). Это соответствует $\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Минимальное значение ординаты на единичной окружности равно -1 (в точке $(0, -1)$). Это соответствует $\sin x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.

Так как функция $y = \sin x$ является непрерывной на всей своей области определения ($x \in \mathbb{R}$), она принимает все значения между своим минимумом (-1) и максимумом (1).

Следовательно, все значения функции $y = \sin x$ заключены в отрезке от -1 до 1. Это записывается в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$.

Таким образом, область значений функции $E(f)$ для $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.