Номер 7, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §7 - номер 7, страница 63.

Условие.

7. Известно, что $\text{ctg } t = a$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$; вычислите $\text{sin } t, \text{ cos } t$.

Решение 6.

Дано, что $ctg(t) = a$ и угол $t$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV (четвертой) координатной четверти.

В IV четверти значения синуса отрицательны ($sin(t) < 0$), а значения косинуса положительны ($cos(t) > 0$).

sin t

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим котангенс и синус: $1 + ctg^2(t) = \frac{1}{sin^2(t)}$

Подставим в это тождество известное значение $ctg(t) = a$: $1 + a^2 = \frac{1}{sin^2(t)}$

Выразим из полученного уравнения $sin^2(t)$: $sin^2(t) = \frac{1}{1 + a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень. Учитывая, что в IV четверти $sin(t) < 0$, мы выбираем отрицательное значение корня: $sin(t) = -\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Ответ: $sin(t) = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

cos t

Для нахождения косинуса воспользуемся определением котангенса: $ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$.

Отсюда выразим $cos(t)$: $cos(t) = ctg(t) \cdot sin(t)$

Подставим значение $ctg(t) = a$ и найденное ранее значение $sin(t) = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$: $cos(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Проверим правильность знака. В IV четверти $cos(t) > 0$ и $sin(t) < 0$, поэтому $ctg(t) = \frac{cos(t)}{sin(t)}$ должен быть отрицательным. Это означает, что параметр $a < 0$. Если $a$ — отрицательное число, то $-a$ — положительное. Знаменатель $\sqrt{1 + a^2}$ всегда положителен. Таким образом, выражение $-\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ положительно, что соответствует знаку косинуса в IV четверти.

Ответ: $cos(t) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$