Номер 4, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §7. ч. 1 - номер 4, страница 63.

4. Известно, что $\sin t = a$, $0 < t < \frac{\pi}{2}$; вычислите $\cos t$, $\operatorname{ctg} t$.

По условию задачи нам дано, что $sin\ t = a$ и угол $t$ находится в первой четверти, поскольку $0 < t < \frac{\pi}{2}$. В первой четверти значения всех тригонометрических функций положительны. Следовательно, $cos\ t > 0$ и $ctg\ t > 0$.

Также из условия $0 < t < \frac{\pi}{2}$ следует, что $0 < sin\ t < 1$, а значит $0 < a < 1$. Это гарантирует, что выражение под корнем при вычислении косинуса будет положительным.

cos t

Для нахождения $cos\ t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$sin^2 t + cos^2 t = 1$

Выразим из этого тождества $cos^2 t$:
$cos^2 t = 1 - sin^2 t$

Подставим известное значение $sin\ t = a$:
$cos^2 t = 1 - a^2$

Теперь извлечем квадратный корень. Поскольку угол $t$ находится в первой четверти, его косинус положителен, поэтому мы выбираем положительное значение корня:
$cos\ t = \sqrt{1 - a^2}$

Ответ: $cos\ t = \sqrt{1 - a^2}$

ctg t

Котангенс угла определяется по формуле как отношение косинуса к синусу:
$ctg\ t = \frac{cos\ t}{sin\ t}$

Подставим известные нам значения $sin\ t = a$ и $cos\ t = \sqrt{1 - a^2}$:
$ctg\ t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$

Ответ: $ctg\ t = \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}$