Номер 3, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §7 - номер 3, страница 63.

Условие.

3. Как, зная значение $sin t$, найти значение $ctg t$?

Решение 6.

Чтобы найти значение $ctg \, t$, зная значение $sin \, t$, необходимо использовать основные тригонометрические тождества. Существует два основных способа решения этой задачи.

Способ 1: Через нахождение косинуса

1. Найти $cos \, t$. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 t + cos^2 t = 1$.
Выразим из него $cos^2 t$:$cos^2 t = 1 - sin^2 t$.
Далее извлечем квадратный корень, чтобы найти $cos \, t$:$cos \, t = \pm\sqrt{1 - sin^2 t}$.

Знак перед корнем («+» или «−») не является произвольным. Он зависит от того, в какой координатной четверти находится угол $t$. Если угол $t$ находится в I или IV четверти, где косинус положителен ($cos \, t > 0$), выбирается знак «+». Если угол $t$ находится во II или III четверти, где косинус отрицателен ($cos \, t < 0$), выбирается знак «−». Поэтому для однозначного ответа необходима дополнительная информация об угле $t$.

2. Найти $ctg \, t$. По определению котангенса: $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$.
Подставив в эту формулу найденное выражение для $cos \, t$, получаем итоговую формулу:$ctg \, t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2 t}}{sin \, t}$.

Способ 2: Через тождество с котангенсом

1. Использовать тождество $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$.
Выразим из него $ctg^2 t$:$ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t} - 1 = \frac{1 - sin^2 t}{sin^2 t}$.

2. Найти $ctg \, t$. Извлекая квадратный корень, снова получаем два возможных значения:$ctg \, t = \pm\sqrt{\frac{1 - sin^2 t}{sin^2 t}} = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2 t}}{|sin \, t|}$.

Здесь выбор знака зависит от четверти, в которой находится угол $t$. Если угол $t$ лежит в I или III четверти, где котангенс положителен ($ctg \, t > 0$), выбирается знак «+». Если угол $t$ лежит во II или IV четверти, где котангенс отрицателен ($ctg \, t < 0$), выбирается знак «−».

Оба способа приводят к одинаковому результату и показывают, что для однозначного нахождения $ctg \, t$ по известному $sin \, t$ нужно знать знак котангенса (или косинуса), который определяется координатной четвертью угла $t$.

Ответ: Чтобы найти значение $ctg \, t$, зная $sin \, t$ и четверть, в которой находится угол $t$, нужно: 1) определить знак $cos \, t$ по четверти; 2) вычислить $cos \, t$ по формуле $cos \, t = \pm\sqrt{1 - sin^2 t}$; 3) вычислить котангенс по формуле $ctg \, t = \frac{cos \, t}{sin \, t}$. Общая формула: $ctg \, t = \frac{\pm\sqrt{1 - sin^2 t}}{sin \, t}$.