Номер 6, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §7 - номер 6, страница 63.

Условие.

6. Известно, что $ \text{tg } t = a $, $ \pi < t < \frac{3\pi}{2} $; вычислите $ \sin t, \cos t $.

Решение 6.

По условию задачи, угол $t$ удовлетворяет неравенству $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $t$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти и синус, и косинус принимают отрицательные значения, то есть $\sin t < 0$ и $\cos t < 0$.

Для нахождения $\cos t$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$

Подставим в это тождество данное нам значение $\text{tg } t = a$: $1 + a^2 = \frac{1}{\cos^2 t}$

Из этого уравнения выразим $\cos^2 t$: $\cos^2 t = \frac{1}{1 + a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $\cos t$. Поскольку мы установили, что в третьей четверти косинус отрицателен, мы должны выбрать отрицательное значение корня: $\cos t = -\sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Теперь, зная $\cos t$ и $\text{tg } t$, мы можем найти $\sin t$ из определения тангенса: $\text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t}$

Отсюда следует, что: $\sin t = \text{tg } t \cdot \cos t$

Подставим известные нам выражения для $\text{tg } t$ и $\cos t$: $\sin t = a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Проверка знака: В третьей четверти тангенс положителен ($\text{tg } t > 0$), значит, $a > 0$. Следовательно, выражение $-\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ будет отрицательным, что соответствует знаку синуса в третьей четверти.

Ответ: $\sin t = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$, $\cos t = -\frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$.