Номер 1, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §8. ч. 1 - номер 1, страница 67.

1. С помощью рисунков 32 и 33 на с. 34 вычислите $ \sin 45^\circ $, $ \cos 120^\circ $, $ \operatorname{tg} 225^\circ $, $ \operatorname{ctg} 300^\circ $.

Для вычисления значений тригонометрических функций воспользуемся тригонометрической (единичной) окружностью. Это окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат. Для любого угла $\alpha$ точка $P(x, y)$ на окружности, соответствующая этому углу, имеет координаты $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$. Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение синуса к косинусу: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, а котангенс — как отношение косинуса к синусу: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

sin 45°

Угол $\alpha = 45°$ находится в первой четверти. Точка $P$, соответствующая этому углу на единичной окружности, лежит на прямой $y=x$. Координаты $(x, y)$ этой точки удовлетворяют уравнению окружности $x^2 + y^2 = 1$.

Подставив $y=x$ в уравнение, получим: $x^2 + x^2 = 1$, что равносильно $2x^2 = 1$, откуда $x^2 = \frac{1}{2}$. Так как точка находится в первой четверти, ее координаты положительны: $x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $y = x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Синус угла равен ординате (координате $y$) этой точки. Таким образом, $\sin 45° = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos 120°

Угол $\alpha = 120°$ находится во второй четверти. Найдем соответствующую точку $P(x, y)$ на единичной окружности. Смежный угол (угол приведения к первой четверти) равен $180° - 120° = 60°$.

Значения для угла $60°$: $\cos 60° = \frac{1}{2}$ и $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Во второй четверти косинус (координата $x$) отрицателен, а синус (координата $y$) положителен.

Следовательно, координаты точки $P$ для угла $120°$ равны $x = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$ и $y = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Косинус угла равен абсциссе (координате $x$) этой точки.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

tg 225°

Угол $\alpha = 225°$ находится в третьей четверти. Угол приведения равен $225° - 180° = 45°$.

В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны. Поэтому $\sin 225° = -\sin 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 225° = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тангенс вычисляется по формуле $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Подставим найденные значения: $\tg 225° = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Ответ: $1$

ctg 300°

Угол $\alpha = 300°$ находится в четвертой четверти. Угол приведения равен $360° - 300° = 60°$.

В четвертой четверти косинус (координата $x$) положителен, а синус (координата $y$) отрицателен. Значит, $\cos 300° = \cos 60° = \frac{1}{2}$ и $\sin 300° = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Котангенс вычисляется по формуле $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Подставим найденные значения: $\ctg 300° = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\ctg 300° = -\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$