Страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Определите, какой угол образует с осью $x$ касательная, проведённая к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

29.7 a) $f(x) = x^2$, $a = 0,5$;

б) $f(x) = -3x^3$, $a = \frac{1}{3}$;

в) $f(x) = 0,2x^5$, $a = -1$;

г) $f(x) = -0,25x^4$, $a = 0$.

Для определения угла, который образует с осью x касательная, проведённая к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, используется геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной $\alpha$ (который также является её угловым коэффициентом $k$) равен значению производной функции в точке касания:

$k = \tan(\alpha) = f'(a)$

Таким образом, для решения задачи необходимо последовательно для каждого случая:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Вычислить значение производной в точке $a$, то есть $f'(a)$.
3. Найти угол $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = f'(a)$.

а) Дана функция $f(x) = x^2$ и точка с абсциссой $a = 0,5$.

1. Находим производную функции, используя правило степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^2)' = 2x$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0,5$:

$f'(0,5) = 2 \cdot 0,5 = 1$

3. Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной. Находим угол $\alpha$:

$\tan(\alpha) = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

б) Дана функция $f(x) = -3x^3$ и точка с абсциссой $a = \frac{1}{3}$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-3x^3)' = -3 \cdot (x^3)' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{1}{3}$:

$f'(\frac{1}{3}) = -9 \cdot (\frac{1}{3})^2 = -9 \cdot \frac{1}{9} = -1$

3. Находим угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = -1$:

$\alpha = \arctan(-1) = 135^\circ$

Ответ: $135^\circ$.

в) Дана функция $f(x) = 0,2x^5$ и точка с абсциссой $a = -1$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,2x^5)' = 0,2 \cdot 5x^4 = x^4$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = -1$:

$f'(-1) = (-1)^4 = 1$

3. Находим угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = 1$:

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

г) Дана функция $f(x) = -0,25x^4$ и точка с абсциссой $a = 0$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (-0,25x^4)' = -0,25 \cdot 4x^3 = -x^3$

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(0) = -(0)^3 = 0$

3. Находим угол $\alpha$, зная, что $\tan(\alpha) = 0$:

$\alpha = \arctan(0) = 0^\circ$

Это означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна и параллельна оси x.

Ответ: $0^\circ$.

29.11 a) $f(x) = \sqrt{3} \cos \frac{x}{3}, a = \frac{3\pi}{2};$

б) $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x, a = -\frac{\pi}{2}.$

а) Для функции $f(x) = \sqrt{3}\cos\frac{x}{3}$ в точке $a = \frac{3\pi}{2}$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому будем использовать правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \sqrt{3}\cos u$, а внутренняя $h(x) = \frac{x}{3}$.

Производная внешней функции: $g'(u) = -\sqrt{3}\sin u$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -\sqrt{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = \frac{3\pi}{2}$.

$f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

3. Мы знаем, что значение $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

4. Подставляем это значение в наше выражение:

$f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ в точке $a = -\frac{\pi}{2}$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Это также сложная функция.

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' = \frac{1}{2}(\sin 2x)'$.

Используя правило дифференцирования сложной функции, где внешняя функция $\sin u$, а внутренняя $u=2x$, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = -\frac{\pi}{2}$.

$f'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos(-\pi)$.

3. Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\cos(-\pi) = \cos(\pi)$.

4. Мы знаем, что значение $\cos(\pi) = -1$.

Таким образом, $f'\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

Ответ: $-1$.

29.15 a) $f(x) = \cos\frac{x}{3}, a = 0;$б) $f(x) = \sin 2x, a = \frac{\pi}{4}.$

а)

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

По условию даны функция $f(x) = \cos\frac{x}{3}$ и точка $a = 0$.

1. Найдём значение функции в точке $a = 0$:
$f(0) = \cos\frac{0}{3} = \cos(0) = 1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\cos\frac{x}{3})' = -\sin(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})' = -\frac{1}{3}\sin\frac{x}{3}$.

3. Найдём значение производной в точке $a = 0$:
$f'(0) = -\frac{1}{3}\sin\frac{0}{3} = -\frac{1}{3}\sin(0) = -\frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot (x - 0)$
$y = 1$.

Ответ: $y=1$.

б)

Снова используем уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

По условию даны функция $f(x) = \sin 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{4}$.

1. Найдём значение функции в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$.

3. Найдём значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(\frac{\pi}{4})=1$ и $f'(\frac{\pi}{4})=0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot (x - \frac{\pi}{4})$
$y = 1$.

Ответ: $y=1$.

29.8 a) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 7, a = 1;$

б) $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x - 12, a = 0.$

а)

Дана функция $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 7$ и точка $a = 1$.

Задача состоит в нахождении значения производной функции $f(x)$ в точке $a$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правила дифференцирования. Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x - 7)'$

$f'(x) = (x^3)' - (3x^2)' + (2x)' - (7)'$

$f'(x) = 3x^2 - 3 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

Теперь вычислим значение производной в точке $a = 1$:

$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 \cdot 1 - 6 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$.

Ответ: $-1$

б)

Дана функция $f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x - 12$ и точка $a = 0$.

Аналогично предыдущему пункту, найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (-7x^3 + 10x^2 + x - 12)'$

$f'(x) = (-7x^3)' + (10x^2)' + (x)' - (12)'$

$f'(x) = -7 \cdot 3x^2 + 10 \cdot 2x + 1 - 0$

$f'(x) = -21x^2 + 20x + 1$

Теперь вычислим значение производной в точке $a = 0$:

$f'(0) = -21(0)^2 + 20(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, если:

29.12 а) $f(x) = x^2, a = 3;$

б) $f(x) = 2 - x - x^3, a = 0;$

в) $f(x) = x^3, a = 1;$

г) $f(x) = x^3 - 3x + 5, a = -1.$

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

а) $f(x) = x^2, a = 3$

1. Найдем значение функции в точке $a=3$:
$f(3) = 3^2 = 9$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^2)' = 2x$.

3. Найдем значение производной в точке $a=3$, которое является угловым коэффициентом касательной:
$f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

4. Подставим найденные значения $a=3$, $f(3)=9$ и $f'(3)=6$ в уравнение касательной:
$y = 9 + 6(x - 3)$
$y = 9 + 6x - 18$
$y = 6x - 9$.

Ответ: $y = 6x - 9$.

б) $f(x) = 2 - x - x^3, a = 0$

1. Найдем значение функции в точке $a=0$:
$f(0) = 2 - 0 - 0^3 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2 - x - x^3)' = -1 - 3x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $a=0$:
$f'(0) = -1 - 3 \cdot 0^2 = -1$.

4. Подставим найденные значения $a=0$, $f(0)=2$ и $f'(0)=-1$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-1)(x - 0)$
$y = 2 - x$.

Ответ: $y = -x + 2$.

в) $f(x) = x^3, a = 1$

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:
$f(1) = 1^3 = 1$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(1)=1$ и $f'(1)=3$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - 1)$
$y = 1 + 3x - 3$
$y = 3x - 2$.

Ответ: $y = 3x - 2$.

г) $f(x) = x^3 - 3x + 5, a = -1$

1. Найдем значение функции в точке $a=-1$:
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x + 5)' = 3x^2 - 3$.

3. Найдем значение производной в точке $a=-1$:
$f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.

4. Подставим найденные значения $a=-1$, $f(-1)=7$ и $f'(-1)=0$ в уравнение касательной:
$y = 7 + 0(x - (-1))$
$y = 7 + 0(x+1)$
$y = 7$.

Ответ: $y = 7$.

29.16 a) $f(x) = \cot 2x$, $a = \frac{\pi}{4}$;

б) $f(x) = 2\tan \frac{x}{3}$, $a = 0$.

а) Для функции $f(x) = \text{ctg}(2x)$ и точки $a = \frac{\pi}{4}$ необходимо найти значение производной $f'(a)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = \text{ctg}(u)$, а внутренняя функция $h(x) = 2x$.

Производная котангенса: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(2x)' = 2$.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = (\text{ctg}(2x))' = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)' = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sin^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)} = -\frac{2}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}$.

Так как $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, то $\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1^2 = 1$.

Следовательно, $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{1} = -2$.

Ответ: -2

б) Для функции $f(x) = 2\text{tg}\frac{x}{3}$ и точки $a = 0$ необходимо найти значение производной $f'(a)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому снова используем правило дифференцирования сложной функции.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = 2\text{tg}(u)$, а внутренняя функция $h(x) = \frac{x}{3}$.

Производная тангенса, умноженная на константу: $(2\text{tg}(u))' = 2 \cdot (\text{tg}(u))' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(u)} = \frac{2}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $\left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{3}$.

Тогда производная функции $f(x)$ будет:

$f'(x) = \left(2\text{tg}\frac{x}{3}\right)' = \frac{2}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \frac{2}{\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3\cos^2\left(\frac{x}{3}\right)}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $a = 0$:

$f'(0) = \frac{2}{3\cos^2\left(\frac{0}{3}\right)} = \frac{2}{3\cos^2(0)}$.

Так как $\cos(0) = 1$, то $\cos^2(0) = 1^2 = 1$.

Следовательно, $f'(0) = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

29.9 a) $f(x) = \frac{2x - 1}{3 - 2x}$, $a = \frac{1}{2}$;

б) $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$, $a = 1$.

а)

Для решения задачи необходимо найти такое значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x) = a$. Подставим в это равенство заданные функцию и значение.

Дано: $f(x) = \frac{2x - 1}{3 - 2x}$ и $a = \frac{1}{2}$.

Получаем уравнение:

$\frac{2x - 1}{3 - 2x} = \frac{1}{2}$

Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения является множество всех чисел, для которых знаменатель дроби не равен нулю:

$3 - 2x \neq 0$

$2x \neq 3$

$x \neq \frac{3}{2}$

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot (2x - 1) = 1 \cdot (3 - 2x)$

Раскроем скобки:

$4x - 2 = 3 - 2x$

Перенесем члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

$4x + 2x = 3 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$6x = 5$

Найдем $x$:

$x = \frac{5}{6}$

Полученное значение $x = \frac{5}{6}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \frac{3}{2}$), следовательно, является решением.

Ответ: $x = \frac{5}{6}$.

б)

Аналогично пункту а), найдем значение $x$, при котором $f(x) = a$.

Дано: $f(x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ и $a = 1$.

Составим уравнение:

$\frac{x - 1}{x - 2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x - 2)$, так как в ОДЗ он не равен нулю:

$x - 1 = 1 \cdot (x - 2)$

$x - 1 = x - 2$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$x - x = -2 + 1$

$0 = -1$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений ни при каком значении переменной.

Ответ: решений нет.

29.13 a) $f(x) = \frac{3x-2}{3-x}$, $a = 2$;

б) $f(x) = \frac{2x-5}{5-x}$, $a = 4$.

а)

По условию задачи, нам необходимо найти такое значение $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно $a$.

Даны функция $f(x) = \frac{3x - 2}{3 - x}$ и значение $a = 2$.

Приравняем функцию к заданному значению $a$, чтобы составить уравнение:

$\frac{3x - 2}{3 - x} = 2$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$3 - x \neq 0$

$x \neq 3$

Теперь решим уравнение. Для этого умножим обе части на выражение $(3 - x)$:

$3x - 2 = 2(3 - x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$3x - 2 = 6 - 2x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую часть:

$3x + 2x = 6 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x = 8$

Найдем $x$:

$x = \frac{8}{5}$

$x = 1.6$

Полученное значение $x = 1.6$ не противоречит ОДЗ, так как $1.6 \neq 3$.

Ответ: $x = 1.6$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, найдем значение $x$, при котором $f(x) = a$.

Даны функция $f(x) = \frac{2x - 5}{5 - x}$ и значение $a = 4$.

Составим уравнение:

$\frac{2x - 5}{5 - x} = 4$

Определим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$5 - x \neq 0$

$x \neq 5$

Умножим обе части уравнения на $(5 - x)$:

$2x - 5 = 4(5 - x)$

Раскроем скобки:

$2x - 5 = 20 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$2x + 4x = 20 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$6x = 25$

Найдем $x$:

$x = \frac{25}{6}$

Полученное значение $x = \frac{25}{6}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{25}{6} \neq 5$.

Ответ: $x = \frac{25}{6}$.

29.6 a) $f(x) = \sin x, a = 0$;

Б) $f(x) = \operatorname{tg} 2x, a = \frac{\pi}{8}$;

В) $f(x) = \cos 3x, a = \frac{\pi}{2}$;

Г) $f(x) = \sin x, a = \frac{\pi}{3}$.

а) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $a = 0$.

Задача состоит в нахождении значения производной функции в указанной точке, то есть $f'(a)$.

1. Находим производную функции $f(x)$. Производная от синуса есть косинус:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = 0$:

$f'(0) = \cos(0) = 1$.

Ответ: 1.

б) Дана функция $f(x) = \tg 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{8}$.

1. Находим производную функции $f(x)$. Так как это сложная функция, применяем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Внешняя функция $g(u) = \tg u$, её производная $g'(u) = \frac{1}{\cos^2 u}$.

Внутренняя функция $h(x) = 2x$, её производная $h'(x) = 2$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\tg(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{8}$:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\cos^2(2 \cdot \frac{\pi}{8})} = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$.

Известно, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставляем полученное значение:

$f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$.

Ответ: 4.

в) Дана функция $f(x) = \cos 3x$ и точка $a = \frac{\pi}{2}$.

1. Находим производную сложной функции $f(x) = \cos(3x)$.

Внешняя функция $g(u) = \cos u$, её производная $g'(u) = -\sin u$.

Внутренняя функция $h(x) = 3x$, её производная $h'(x) = 3$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = -3\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Известно, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Подставляем значение:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot (-1) = 3$.

Ответ: 3.

г) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $a = \frac{\pi}{3}$.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $a = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Известно, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

29.10 a) $f(x) = \sqrt{6x+7}, a = 3\frac{1}{3};$

б) $f(x) = \sqrt{5-2x}, a = 2.$

а) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = \sqrt{6x + 7}$ в точке $a = 3\frac{1}{3}$, необходимо сначала найти производную функции $f'(x)$, а затем вычислить ее значение в указанной точке.

1. Нахождение производной $f'(x)$.
Функция $f(x)$ является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
В данном случае, внешняя функция — это квадратный корень $g(h) = \sqrt{h}$, ее производная $g'(h) = \frac{1}{2\sqrt{h}}$.
Внутренняя функция — это подкоренное выражение $h(x) = 6x + 7$, ее производная $h'(x) = 6$.
Теперь найдем производную исходной функции: $f'(x) = (\sqrt{6x + 7})' = \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} \cdot (6x+7)' = \frac{1}{2\sqrt{6x + 7}} \cdot 6 = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}}$.

2. Вычисление значения производной в точке $a$.
Сначала преобразуем смешанное число $a = 3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $a = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Подставим значение $x = a = \frac{10}{3}$ в найденное выражение для производной: $f'(\frac{10}{3}) = \frac{3}{\sqrt{6 \cdot \frac{10}{3} + 7}} = \frac{3}{\sqrt{2 \cdot 10 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{20 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{27}}$.
Упростим полученное выражение. Так как $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$, получаем: $f'(\frac{10}{3}) = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для функции $f(x) = \sqrt{5 - 2x}$ и точки $a = 2$ выполним аналогичные действия.

1. Нахождение производной $f'(x)$.
Снова используем цепное правило. Внешняя функция $g(h) = \sqrt{h}$ с производной $g'(h) = \frac{1}{2\sqrt{h}}$. Внутренняя функция $h(x) = 5 - 2x$ с производной $h'(x) = -2$.
Производная функции $f(x)$ равна: $f'(x) = (\sqrt{5 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2x}} \cdot (5 - 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 2x}} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}}$.

2. Вычисление значения производной в точке $a$.
Подставим значение $x = a = 2$ в выражение для производной: $f'(2) = -\frac{1}{\sqrt{5 - 2 \cdot 2}} = -\frac{1}{\sqrt{5 - 4}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -\frac{1}{1} = -1$.
Ответ: -1.

29.14 a) $f(x) = 2\sqrt{3x - 5}, a = 2;$

б) $f(x) = \sqrt{7 - 2x}, a = 3.$

а)

Дана функция $f(x) = 2\sqrt{3x - 5}$ и точка $a = 2$.
Предположим, что задача состоит в нахождении значения производной функции в точке $a$, то есть $f'(a)$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Для этого представим функцию в виде $f(x) = 2(3x-5)^{\frac{1}{2}}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), согласно которому производная функции $g(h(x))$ равна $g'(h(x)) \cdot h'(x)$, и формулу производной степенной функции $(u^n)'=nu^{n-1}$.
В нашем случае, $u = 3x-5$, а $u' = 3$.
$f'(x) = (2(3x-5)^{\frac{1}{2}})' = 2 \cdot \frac{1}{2}(3x-5)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (3x-5)'$
$f'(x) = (3x-5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{3x-5}}$
Теперь вычислим значение производной в точке $a=2$. Убедимся, что точка входит в область определения производной ($3x-5 > 0$, то есть $x > 5/3$). Так как $2 > 5/3$, вычисление возможно.
$f'(2) = \frac{3}{\sqrt{3 \cdot 2 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{6 - 5}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$

Ответ: $3$

б)

Дана функция $f(x) = \sqrt{7 - 2x}$ и точка $a = 3$.
Аналогично пункту а), найдем значение производной функции в точке $a$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Запишем функцию в виде $f(x) = (7 - 2x)^{\frac{1}{2}}$.
Используем правило дифференцирования сложной функции.
В данном случае, внутренняя функция $u = 7 - 2x$, ее производная $u' = -2$.
$f'(x) = ((7 - 2x)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(7 - 2x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (7 - 2x)'$
$f'(x) = \frac{1}{2}(7 - 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2) = -(7 - 2x)^{-\frac{1}{2}} = \frac{-1}{\sqrt{7 - 2x}}$
Теперь вычислим значение производной в точке $a=3$. Область определения производной: $7 - 2x > 0$, то есть $x < 3.5$. Так как $3 < 3.5$, точка входит в область определения.
$f'(3) = \frac{-1}{\sqrt{7 - 2 \cdot 3}} = \frac{-1}{\sqrt{7 - 6}} = \frac{-1}{\sqrt{1}} = -1$

Ответ: $-1$