Страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.3 По графику производной, изображённому на рисунке, определите, на каких промежутках функция $y = f(x)$ возрастает, а на каких — убывает:

$y = f'(x)$

Рис. 49

$y = f'(x)$

Рис. 50

$y = f'(x)$

Рис. 51

$y = f'(x)$

Рис. 52

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = f(x)$ по графику ее производной $y = f'(x)$ используется следующее свойство: если $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает (график производной расположен выше оси абсцисс $Ox$), а если $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ убывает (график производной расположен ниже оси $Ox$). Точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$), являются критическими точками и включаются в промежутки монотонности.

а) рис. 49

На графике производной $f'(x)$ видно, что она пересекает ось $Ox$ в точках $x = -2$ и $x = 2$.
Производная $f'(x) > 0$ (график выше оси $Ox$) на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$. Значит, на этих промежутках функция $f(x)$ возрастает.
Производная $f'(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$) на промежутке $(-2, 2)$. Значит, на этом промежутке функция $f(x)$ убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 2]$.

б) рис. 50

График производной $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ в точках $x = -4$, $x = 0$ и $x = 3$.
Производная $f'(x) > 0$ на промежутках $(-4, 0)$ и $(3, +\infty)$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутках $[-4, 0]$ и $[3, +\infty)$.
Производная $f'(x) < 0$ на промежутках $(-\infty, -4)$ и $(0, 3)$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[0, 3]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4, 0]$ и $[3, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[0, 3]$.

в) рис. 51

График производной $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ в точках $x = -6$ и $x = 0$.
Производная $f'(x) > 0$ на промежутке $(-6, 0)$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[-6, 0]$.
Производная $f'(x) < 0$ на промежутках $(-\infty, -6)$ и $(0, +\infty)$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутках $(-\infty, -6]$ и $[0, +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-6, 0]$, убывает на промежутках $(-\infty, -6]$ и $[0, +\infty)$.

г) рис. 52

График производной $f'(x)$ пересекает ось $Ox$ в точках $x = -2,5$, $x = 2,5$. Также из графика видно, что есть еще нули, которые можно оценить как $x = 5$ и $x = 7$.
Производная $f'(x) > 0$ на промежутках $(-\infty, -2,5)$, $(2,5, 5)$ и $(7, +\infty)$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, -2,5]$, $[2,5, 5]$ и $[7, +\infty)$.
Производная $f'(x) < 0$ на промежутках $(-2,5, 2,5)$ и $(5, 7)$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутках $[-2,5, 2,5]$ и $[5, 7]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2,5]$, $[2,5, 5]$ и $[7, +\infty)$, убывает на промежутках $[-2,5, 2,5]$ и $[5, 7]$.