Страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.37 a) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 - |2x - 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5, x = -5.$

б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x - 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2, x = -2.$

а) Найдём точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 - |2x - 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$ и $x = -5$.

1. Сначала раскроем модуль в выражении функции $f(x) = x^2 - |2x - 6|$. Выражение под модулем $2x - 6$ равно нулю при $x = 3$.

• Если $x \ge 3$, то $2x - 6 \ge 0$, и $|2x - 6| = 2x - 6$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2 - (2x - 6) = x^2 - 2x + 6$.
• Если $x < 3$, то $2x - 6 < 0$, и $|2x - 6| = -(2x - 6) = -2x + 6$. Функция принимает вид: $f(x) = x^2 - (-2x + 6) = x^2 + 2x - 6$.

2. Найдём производную функции для каждого случая, чтобы определить угловой коэффициент касательной:

• При $x > 3$, $f'(x) = (x^2 - 2x + 6)' = 2x - 2$.
• При $x < 3$, $f'(x) = (x^2 + 2x - 6)' = 2x + 2$.

3. Найдём уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_1 = 5$.

Поскольку $5 > 3$, используем $f(x) = x^2 - 2x + 6$ и $f'(x) = 2x - 2$.

Координата $y_1$ точки касания: $f(5) = 5^2 - 2 \cdot 5 + 6 = 25 - 10 + 6 = 21$.

Угловой коэффициент касательной $k_1$: $f'(5) = 2 \cdot 5 - 2 = 8$.

Уравнение касательной имеет вид $y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)$. Подставляем значения:

$y = 8(x - 5) + 21$

$y = 8x - 40 + 21$

$y = 8x - 19$

4. Найдём уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_2 = -5$.

Поскольку $-5 < 3$, используем $f(x) = x^2 + 2x - 6$ и $f'(x) = 2x + 2$.

Координата $y_2$ точки касания: $f(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 6 = 25 - 10 - 6 = 9$.

Угловой коэффициент касательной $k_2$: $f'(-5) = 2(-5) + 2 = -10 + 2 = -8$.

Уравнение касательной: $y = f'(x_2)(x - x_2) + f(x_2)$. Подставляем значения:

$y = -8(x - (-5)) + 9$

$y = -8(x + 5) + 9$

$y = -8x - 40 + 9$

$y = -8x - 31$

5. Найдём точку пересечения двух касательных, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = 8x - 19 \\ y = -8x - 31 \end{cases}$

Приравниваем правые части:

$8x - 19 = -8x - 31$

$16x = -12$

$x = -12/16 = -3/4$

Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений касательной:

$y = 8(-3/4) - 19 = -6 - 19 = -25$.

Точка пересечения касательных: $(-3/4, -25)$.

Ответ: $(-3/4, -25)$.

б) Найдём точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x - 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$ и $x = -2$.

1. Сначала раскроем модуль в выражении функции $f(x) = x^3 + |x - 1|$. Выражение под модулем $x - 1$ равно нулю при $x = 1$.

• Если $x \ge 1$, то $x - 1 \ge 0$, и $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид: $f(x) = x^3 + x - 1$.
• Если $x < 1$, то $x - 1 < 0$, и $|x - 1| = -(x - 1) = -x + 1$. Функция принимает вид: $f(x) = x^3 - x + 1$.

2. Найдём производную функции для каждого случая:

• При $x > 1$, $f'(x) = (x^3 + x - 1)' = 3x^2 + 1$.
• При $x < 1$, $f'(x) = (x^3 - x + 1)' = 3x^2 - 1$.

3. Найдём уравнение первой касательной в точке с абсциссой $x_1 = 2$.

Поскольку $2 > 1$, используем $f(x) = x^3 + x - 1$ и $f'(x) = 3x^2 + 1$.

Координата $y_1$ точки касания: $f(2) = 2^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9$.

Угловой коэффициент касательной $k_1$: $f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$.

Уравнение касательной: $y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)$.

$y = 13(x - 2) + 9$

$y = 13x - 26 + 9$

$y = 13x - 17$

4. Найдём уравнение второй касательной в точке с абсциссой $x_2 = -2$.

Поскольку $-2 < 1$, используем $f(x) = x^3 - x + 1$ и $f'(x) = 3x^2 - 1$.

Координата $y_2$ точки касания: $f(-2) = (-2)^3 - (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5$.

Угловой коэффициент касательной $k_2$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 11$.

Уравнение касательной: $y = f'(x_2)(x - x_2) + f(x_2)$.

$y = 11(x - (-2)) + (-5)$

$y = 11(x + 2) - 5$

$y = 11x + 22 - 5$

$y = 11x + 17$

5. Найдём точку пересечения двух касательных, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = 13x - 17 \\ y = 11x + 17 \end{cases}$

Приравниваем правые части:

$13x - 17 = 11x + 17$

$2x = 34$

$x = 17$

Подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений касательной:

$y = 11(17) + 17 = 187 + 17 = 204$.

Точка пересечения касательных: $(17, 204)$.

Ответ: $(17, 204)$.

29.38 a) При каком значении параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 - px$ в точке $x = 1$ проходит через точку (2; 3)?

б) При каком значении параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 + px^2$ в точке $x = 1$ проходит через точку (3; 2)?

а)

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данном случае функция $f(x) = x^3 - px$, а точка касания имеет абсциссу $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^3 - p \cdot 1 = 1 - p$.

Таким образом, точка касания на графике имеет координаты $(1; 1-p)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - px)' = 3x^2 - p$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной в этой точке:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - p = 3 - p$.

4. Теперь подставим найденные значения $f(1)$ и $f'(1)$ в общее уравнение касательной:

$y = (1 - p) + (3 - p)(x - 1)$.

5. По условию задачи, эта касательная проходит через точку с координатами $(2; 3)$. Подставим $x = 2$ и $y = 3$ в уравнение касательной, чтобы найти параметр $p$:

$3 = (1 - p) + (3 - p)(2 - 1)$

$3 = 1 - p + (3 - p) \cdot 1$

$3 = 1 - p + 3 - p$

$3 = 4 - 2p$

$2p = 4 - 3$

$2p = 1$

$p = \frac{1}{2}$

Ответ: $p = \frac{1}{2}$.

б)

Решим задачу аналогично для функции $y = x^3 + px^2$ в точке $x_0 = 1$. Касательная должна проходить через точку $(3; 2)$.

1. Найдем значение функции $f(x) = x^3 + px^2$ в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p$.

Координаты точки касания: $(1; 1+p)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + px^2)' = 3x^2 + 2px$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2p \cdot 1 = 3 + 2p$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = (1 + p) + (3 + 2p)(x - 1)$.

5. По условию, касательная проходит через точку $(3; 2)$. Подставим $x = 3$ и $y = 2$ в полученное уравнение:

$2 = (1 + p) + (3 + 2p)(3 - 1)$

$2 = 1 + p + (3 + 2p) \cdot 2$

$2 = 1 + p + 6 + 4p$

$2 = 7 + 5p$

$5p = 2 - 7$

$5p = -5$

$p = -1$

Ответ: $p = -1$.

30.1 Определите, какой знак имеет производная функции $y = f(x)$ в точках с абсциссами $a, b, c, d$, если график функции изображён на рисунках:

а) рис. 47;

б) рис. 48.

Геометрический смысл производной функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ заключается в том, что значение производной $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Знак производной напрямую связан с поведением функции (возрастанием или убыванием) в окрестности данной точки.

• Если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале положительна ($f'(x) > 0$). Касательная к графику в таких точках образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
• Если функция $f(x)$ убывает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале отрицательна ($f'(x) < 0$). Касательная к графику в таких точках образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
• В точках экстремума (локальных максимумов и минимумов), где функция меняет направление своего монотонного движения, касательная к графику горизонтальна. Угловой коэффициент такой касательной равен нулю, следовательно, и производная в этих точках равна нулю ($f'(x) = 0$).

Проанализируем знаки производной для каждого графика.

На основе графика, представленного на рисунке 47, определим поведение функции в заданных точках:

• В точке с абсциссой $a$ график функции идет вверх, то есть функция возрастает. Следовательно, $f'(a) > 0$.
• В точке с абсциссой $b$ график функции идет вниз, то есть функция убывает. Следовательно, $f'(b) < 0$.
• В точке с абсциссой $c$ график функции снова идет вверх, то есть функция возрастает. Следовательно, $f'(c) > 0$.
• В точке с абсциссой $d$ график функции идет вниз, то есть функция убывает. Следовательно, $f'(d) < 0$.

Ответ: $f'(a) > 0$, $f'(b) < 0$, $f'(c) > 0$, $f'(d) < 0$.

На основе графика, представленного на рисунке 48, определим поведение функции в заданных точках:

• В точке с абсциссой $a$ график функции идет вниз, то есть функция убывает. Следовательно, $f'(a) < 0$.
• Точка с абсциссой $b$ является точкой локального минимума. В этой точке касательная к графику горизонтальна. Следовательно, $f'(b) = 0$.
• В точке с абсциссой $c$ график функции идет вверх, то есть функция возрастает. Следовательно, $f'(c) > 0$.
• Точка с абсциссой $d$ является точкой локального максимума. В этой точке касательная к графику также горизонтальна. Следовательно, $f'(d) = 0$.

Ответ: $f'(a) < 0$, $f'(b) = 0$, $f'(c) > 0$, $f'(d) = 0$.

30.2 Определите промежутки возрастания и убывания функции, гра- фик которой изображён на рисунке:

а) рис. 47;

б) рис. 48.

Рис. 47

Рис. 48

а)

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, изображённой на рисунке 47, необходимо проанализировать её график. Функция возрастает на интервале, где её график направлен вверх при движении слева направо, и убывает, где график направлен вниз.

Промежутки возрастания:
Функция возрастает, когда её график движется вверх. Это происходит на двух участках:
1. От точки $x=a$ до точки локального максимума $x=b$. Промежуток возрастания: $[a, b]$.
2. От точки локального минимума $x=d$ до плюс бесконечности. Промежуток возрастания: $[d, +\infty)$.

Промежутки убывания:
Функция убывает, когда её график движется вниз. Это происходит на двух участках, разделённых вертикальной асимптотой в точке $x=c$, где функция не определена:
1. От точки локального максимума $x=b$ до асимптоты $x=c$. Промежуток убывания: $[b, c)$.
2. От асимптоты $x=c$ до точки локального минимума $x=d$. Промежуток убывания: $(c, d]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[a, b]$ и $[d, +\infty)$; функция убывает на промежутках $[b, c)$ и $(c, d]$.

б)

Для функции, график которой изображён на рисунке 48, определим промежутки монотонности аналогичным образом. Точки $x=b$ и $x=c$ являются точками локального максимума и минимума соответственно.

Промежутки возрастания:
График функции направлен вверх на следующих промежутках:
1. От $x=a$ до точки локального максимума $x=b$. Промежуток возрастания: $[a, b]$.
2. От точки локального минимума $x=c$ до плюс бесконечности. Промежуток возрастания: $[c, +\infty)$.

Промежутки убывания:
График функции направлен вниз на промежутке между точками экстремумов:
1. От точки локального максимума $x=b$ до точки локального минимума $x=c$. Промежуток убывания: $[b, c]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[a, b]$ и $[c, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[b, c]$.

4. Как связаны между собой числа $\arcsin a$ и $\arcsin (-a)$, где $|a| \leq 1$?

Чтобы установить связь между числами $\arcsin a$ и $\arcsin(-a)$, воспользуемся определением функции арксинус и свойством нечетности функции синус. Условие $|a| \le 1$ гарантирует, что оба выражения определены.

По определению, арксинус числа $x$ (обозначается как $\arcsin x$) — это такое число $y$, которое удовлетворяет двум условиям:
1) $\sin y = x$
2) $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Пусть $y = \arcsin(a)$. Согласно определению, это означает, что:
$\sin(y) = a$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Теперь рассмотрим выражение $\arcsin(-a)$. Пусть $z = \arcsin(-a)$. По определению это означает, что:
$\sin(z) = -a$ и $-\frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$.

В равенство $\sin(z) = -a$ подставим $a = \sin(y)$:
$\sin(z) = -\sin(y)$

Функция синус является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Применим это свойство к правой части нашего уравнения:
$\sin(z) = \sin(-y)$

Теперь нам нужно проверить, принадлежит ли угол $(-y)$ отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, который является областью значений арксинуса.
Мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Умножим это двойное неравенство на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$-(-\frac{\pi}{2}) \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \ge -y \ge -\frac{\pi}{2}$
Переписав в стандартном порядке, получаем: $-\frac{\pi}{2} \le -y \le \frac{\pi}{2}$.
Это означает, что угол $(-y)$ также находится в области значений арксинуса.

Итак, мы получили, что $\sin(z) = \sin(-y)$, и при этом оба угла, $z$ и $-y$, принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку на этом отрезке функция синуса монотонна (строго возрастает), из равенства синусов следует и равенство самих углов:
$z = -y$

Вспомним, что $z = \arcsin(-a)$ и $y = \arcsin(a)$. Подставив эти выражения в полученное равенство, мы находим искомую связь:
$\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$

Таким образом, числа $\arcsin a$ и $\arcsin(-a)$ являются противоположными. Это свойство означает, что функция $y = \arcsin(x)$ является нечетной.

Ответ: Эти числа связаны соотношением $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

5. С помощью числовой окружности ответьте на следующий вопрос:

если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?

Для решения тригонометрического уравнения $\sin t = a$ с помощью числовой окружности, необходимо найти точки на окружности, у которых ордината (координата по оси Y) равна $a$. В нашем случае, мы ищем все точки на единичной окружности, для которых ордината равна $\frac{1}{3}$.

Проведем горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно оси ординат (оси Oy). Каждой из этих точек соответствует бесконечное множество действительных чисел, являющихся решениями уравнения.

По условию, $t_0$ — это одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$. Это означает, что на числовой окружности числу $t_0$ соответствует одна из двух упомянутых точек пересечения. Из-за периодичности функции синус, все числа, которым соответствует та же самая точка на окружности, отличаются от $t_0$ на целое число полных оборотов ($2\pi$). Таким образом, одна серия решений уравнения имеет вид:

$t = t_0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел).

Теперь рассмотрим вторую точку пересечения. Как было сказано, она симметрична первой точке относительно оси Oy. Если первой точке соответствует число (угол) $t_0$, то второй точке будет соответствовать число (угол) $\pi - t_0$. Мы можем это проверить, используя формулу приведения: $\sin(\pi - t_0) = \sin t_0 = \frac{1}{3}$. Следовательно, числа вида $\pi - t_0$ также являются решениями исходного уравнения. Учитывая периодичность, вторая серия решений записывается формулой:

$t = \pi - t_0 + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив обе серии, мы получим полный набор всех решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, выраженный через одно известное решение $t_0$.

Ответ: Если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то все решения этого уравнения можно записать в виде двух серий: $t = t_0 + 2\pi k$ и $t = \pi - t_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

6. Запишите в общем виде решения уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$.

Требуется найти общее решение для тригонометрического уравнения $\sin x = a$ при условии $|a| \le 1$. Это условие необходимо, так как область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$.

Для нахождения решений используется обратная тригонометрическая функция — арксинус. По определению, $\arcsin a$ — это угол, принадлежащий отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Таким образом, $\arcsin a$ является одним из частных решений нашего уравнения.

Функция $y = \sin x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением, то и все углы вида $x_0 + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число, $k \in \mathbb{Z}$) также являются решениями. Это дает нам первую серию решений:
$x = \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Однако на тригонометрической окружности есть еще одна точка, ордината (синус) которой равна $a$. Эта точка соответствует углу $\pi - x_0$, так как для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$. Подставив наше частное решение $x_0 = \arcsin a$, получаем вторую серию решений:
$x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений:
1) $x = \arcsin a + 2\pi k$
2) $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$
можно объединить в одну общую формулу. Заметим, что в первой серии к $\arcsin a$ прибавляются четные кратные $\pi$ ($2\pi k$), а во второй серии от нечетных кратных $\pi$ ($\pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$) отнимается $\arcsin a$.

Это чередование знака перед $\arcsin a$ в зависимости от четности/нечетности коэффициента при $\pi$ можно выразить с помощью множителя $(-1)^k$.
Таким образом, общая формула для всех решений уравнения имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим:
- при четном $k$ (пусть $k=2n$): $x = (-1)^{2n} \arcsin a + 2\pi n = \arcsin a + 2\pi n$ (первая серия).
- при нечетном $k$ (пусть $k=2n+1$): $x = (-1)^{2n+1} \arcsin a + (2n+1)\pi = -\arcsin a + \pi + 2\pi n = \pi - \arcsin a + 2\pi n$ (вторая серия).

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.