Номер 6, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §16 - номер 6, страница 111.

Условие.

6. Запишите в общем виде решения уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$.

Решение 6.

6.

Требуется найти общее решение для тригонометрического уравнения $\sin x = a$ при условии $|a| \le 1$. Это условие необходимо, так как область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$.

Для нахождения решений используется обратная тригонометрическая функция — арксинус. По определению, $\arcsin a$ — это угол, принадлежащий отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Таким образом, $\arcsin a$ является одним из частных решений нашего уравнения.

Функция $y = \sin x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением, то и все углы вида $x_0 + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число, $k \in \mathbb{Z}$) также являются решениями. Это дает нам первую серию решений:
$x = \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Однако на тригонометрической окружности есть еще одна точка, ордината (синус) которой равна $a$. Эта точка соответствует углу $\pi - x_0$, так как для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$. Подставив наше частное решение $x_0 = \arcsin a$, получаем вторую серию решений:
$x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений:
1) $x = \arcsin a + 2\pi k$
2) $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$
можно объединить в одну общую формулу. Заметим, что в первой серии к $\arcsin a$ прибавляются четные кратные $\pi$ ($2\pi k$), а во второй серии от нечетных кратных $\pi$ ($\pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$) отнимается $\arcsin a$.

Это чередование знака перед $\arcsin a$ в зависимости от четности/нечетности коэффициента при $\pi$ можно выразить с помощью множителя $(-1)^k$.
Таким образом, общая формула для всех решений уравнения имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим:
- при четном $k$ (пусть $k=2n$): $x = (-1)^{2n} \arcsin a + 2\pi n = \arcsin a + 2\pi n$ (первая серия).
- при нечетном $k$ (пусть $k=2n+1$): $x = (-1)^{2n+1} \arcsin a + (2n+1)\pi = -\arcsin a + \pi + 2\pi n = \pi - \arcsin a + 2\pi n$ (вторая серия).

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.