Номер 6, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §16. ч. 1 - номер 6, страница 111.
№6 (с. 111)
Условие. №6 (с. 111)
скриншот условия

6. Запишите в общем виде решения уравнения $\sin x = a$, где $|a| \le 1$.
Решение 6. №6 (с. 111)
Требуется найти общее решение для тригонометрического уравнения $\sin x = a$ при условии $|a| \le 1$. Это условие необходимо, так как область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$.
Для нахождения решений используется обратная тригонометрическая функция — арксинус. По определению, $\arcsin a$ — это угол, принадлежащий отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Таким образом, $\arcsin a$ является одним из частных решений нашего уравнения.
Функция $y = \sin x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Это означает, что если $x_0$ является решением, то и все углы вида $x_0 + 2\pi k$ (где $k$ — любое целое число, $k \in \mathbb{Z}$) также являются решениями. Это дает нам первую серию решений:
$x = \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Однако на тригонометрической окружности есть еще одна точка, ордината (синус) которой равна $a$. Эта точка соответствует углу $\pi - x_0$, так как для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$. Подставив наше частное решение $x_0 = \arcsin a$, получаем вторую серию решений:
$x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений:
1) $x = \arcsin a + 2\pi k$
2) $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$
можно объединить в одну общую формулу. Заметим, что в первой серии к $\arcsin a$ прибавляются четные кратные $\pi$ ($2\pi k$), а во второй серии от нечетных кратных $\pi$ ($\pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$) отнимается $\arcsin a$.
Это чередование знака перед $\arcsin a$ в зависимости от четности/нечетности коэффициента при $\pi$ можно выразить с помощью множителя $(-1)^k$.
Таким образом, общая формула для всех решений уравнения имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим:
- при четном $k$ (пусть $k=2n$): $x = (-1)^{2n} \arcsin a + 2\pi n = \arcsin a + 2\pi n$ (первая серия).
- при нечетном $k$ (пусть $k=2n+1$): $x = (-1)^{2n+1} \arcsin a + (2n+1)\pi = -\arcsin a + \pi + 2\pi n = \pi - \arcsin a + 2\pi n$ (вторая серия).
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 111 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 111), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.