Номер 5, страница 115, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §17 - номер 5, страница 115.

Условие.

5. Запишите в общем виде решения уравнения $tg x = a$, $ctg x = a$.

Решение 6.

tg x = a
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Решение этого уравнения существует для любого действительного числа $a$, так как область значений функции $y = \operatorname{tg} x$ — это множество всех действительных чисел ($a \in \mathbb{R}$).
Для нахождения корней уравнения используется понятие арктангенса. Арктангенсом числа $a$ ($\operatorname{arctg} a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, что $\operatorname{tg} \alpha = a$.
Функция тангенса является периодической. Её наименьший положительный период равен $\pi$. Это означает, что если $x_0$ является одним из решений уравнения, то все остальные решения можно получить, прибавляя к $x_0$ целое число периодов. Таким образом, все решения уравнения $\operatorname{tg} x = a$ можно описать одной серией корней.
Общая формула для нахождения решений уравнения имеет вид: $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = \operatorname{arctg} a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ctg x = a
Это также простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение существует для любого действительного числа $a$, поскольку область значений функции $y = \operatorname{ctg} x$ также является множеством всех действительных чисел ($a \in \mathbb{R}$).
Для решения используется понятие арккотангенса. Арккотангенсом числа $a$ ($\operatorname{arcctg} a$) называется такое число (угол) $\beta$ из интервала $(0; \pi)$, что $\operatorname{ctg} \beta = a$.
Функция котангенса является периодической с наименьшим положительным периодом, равным $\pi$. Аналогично тангенсу, зная одно решение $x_0$, все остальные решения можно найти по формуле $x = x_0 + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Следовательно, общая формула для всех решений уравнения $\operatorname{ctg} x = a$ имеет следующий вид: $x = \operatorname{arcctg} a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \operatorname{arcctg} a + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.