Номер 3, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §18 - номер 3, страница 125.

Условие.

3. Объясните, как при решении уравнения $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ вы воспользуетесь методом введения новой переменной. Решите это уравнение.

Решение 6.

Для решения уравнения $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$ метод введения новой переменной используется для того, чтобы свести данное тригонометрическое уравнение к стандартному алгебраическому (в данном случае — квадратному), которое легко решается.

Сначала необходимо привести уравнение к одной тригонометрической функции. В уравнении присутствуют $\cos^2 x$ и $\sin x$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2 - 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
$-2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени стал положительным:
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Теперь, когда уравнение содержит только одну функцию $\sin x$, можно ввести новую переменную. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$, на новую переменную накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения относительно $t$:
$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Оба найденных корня удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$, поэтому оба они являются допустимыми решениями.

Выполним обратную замену для каждого из корней, чтобы найти $x$:
1) Для $t_1 = \frac{1}{2}$ получаем уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, что соответствует $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Для $t_2 = -1$ получаем уравнение $\sin x = -1$. Это частный случай, его решение:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.