Номер 1, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 3 - номер 1, страница 127.

Условие.

1. Построение графиков, связанных с обратными тригонометрическими функциями.

Решение 6.

Основные сведения об обратных тригонометрических функциях

Обратные тригонометрические функции (аркфункции) — это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям на ограниченных областях определения, где последние монотонны. Построение их графиков основывается на свойстве графиков взаимно обратных функций: график обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Графики основных обратных тригонометрических функций

Арксинус: $y = \arcsin(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \sin(x)$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
- Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Свойства: нечетная ($\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$), строго возрастающая.
График $y = \arcsin(x)$ получается симметричным отражением графика $y = \sin(x)$ (на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$) относительно прямой $y=x$.

Арккосинус: $y = \arccos(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \cos(x)$ на отрезке $x \in [0, \pi]$.
- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
- Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
- Свойства: не является ни четной, ни нечетной (справедливо тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$), строго убывающая.
График $y = \arccos(x)$ получается симметричным отражением графика $y = \cos(x)$ (на отрезке $[0, \pi]$) относительно прямой $y=x$.

Арктангенс: $y = \operatorname{arctg}(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \operatorname{tg}(x)$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
- Свойства: нечетная ($\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$), строго возрастающая. Имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Арккотангенс: $y = \operatorname{arcctg}(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ на интервале $x \in (0, \pi)$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0, \pi)$.
- Свойства: не является ни четной, ни нечетной (справедливо тождество $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$), строго убывающая. Имеет две горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $x \to +\infty$ и $y = \pi$ при $x \to -\infty$.

Построение графиков сложных функций

Построение графиков функций, включающих композиции тригонометрических и обратных тригонометрических функций, требует анализа области определения, области значений, периодичности и использования тождественных преобразований.

Пример 1. Построить график функции $y = \cos(\arccos x)$

Решение:
1. Область определения. Функция $\arccos x$ определена при $x \in [-1, 1]$. Это и будет областью определения для всей функции.
2. Упрощение. По определению арккосинуса, для любого $x$ из его области определения, $\cos(\arccos x) = x$.
3. Построение. Таким образом, нам нужно построить график функции $y=x$ на отрезке $[-1, 1]$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой отрезок прямой $y=x$ при $x \in [-1, 1]$.

Пример 2. Построить график функции $y = \arcsin(\sin x)$

Решение:
1. Область определения. Функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Ее значения $[-1, 1]$ полностью попадают в область определения арксинуса. Значит, $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Свойства.
- Область значений функции совпадает с областью значений арксинуса: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Функция является периодической. Так как $\sin(x+2\pi) = \sin x$, то и $y(x+2\pi) = y(x)$. Период функции равен $2\pi$. Поэтому достаточно построить график на отрезке длиной $2\pi$, например, на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, а затем продолжить его периодически.
3. Анализ на основном участке.
- Если $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то по определению арксинуса $\arcsin(\sin x) = x$. На этом отрезке график совпадает с прямой $y=x$.
- Если $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, воспользуемся тождеством $\sin x = \sin(\pi-x)$. При $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ выражение $\pi-x$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поэтому $\arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi-x)) = \pi-x$. На этом отрезке график совпадает с прямой $y=\pi-x$.
4. Построение. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ строим отрезок прямой $y=x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ строим отрезок прямой $y=\pi-x$. Полученную "пилообразную" кривую периодически повторяем вдоль всей оси $Ox$ с периодом $2\pi$.
Ответ: График функции — периодическая ломаная линия ("пила") с периодом $2\pi$, заключенная в полосе $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Пример 3. Построить график функции $y = \arccos(\cos x)$

Решение:
1. Область определения. $D(y) = \mathbb{R}$ (по аналогии с предыдущим примером).
2. Свойства.
- Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
- Функция периодическая с периодом $2\pi$.
- Функция четная, так как $\cos(-x)=\cos(x)$, поэтому $y(-x)=y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
3. Анализ на основном участке. Достаточно рассмотреть отрезок $[0, \pi]$ и затем использовать симметрию и периодичность.
- Если $x \in [0, \pi]$, то по определению арккосинуса $\arccos(\cos x) = x$. График — отрезок прямой $y=x$.
- Для построения графика на отрезке $[-\pi, 0]$ используем четность: отражаем график с отрезка $[0, \pi]$ симметрично относительно оси $Oy$. Получаем отрезок прямой $y=-x$.
- Таким образом, на отрезке $[-\pi, \pi]$ график состоит из двух отрезков: $y=-x$ при $x \in [-\pi, 0]$ и $y=x$ при $x \in [0, \pi]$.
4. Построение. Строим "уголок" на отрезке $[-\pi, \pi]$ и периодически повторяем его вдоль оси $Ox$ с периодом $2\pi$.
Ответ: График функции — периодическая ломаная линия ("треугольная волна") с периодом $2\pi$, заключенная в полосе $0 \le y \le \pi$.