Страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.32 Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?

Для решения этой задачи необходимо найти размеры бака, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме.

Пусть $x$ — длина стороны квадратного основания бака, а $h$ — его высота. Все размеры будем измерять в дециметрах (дм), так как 1 литр равен 1 кубическому дециметру (дм³).

Объем бака $V$ равен 32 л, или 32 дм³. Формула для объема бака с квадратным основанием: $V = x \cdot x \cdot h = x^2h$ Таким образом, мы имеем уравнение-ограничение: $x^2h = 32$

Количество материала, необходимого для изготовления бака, определяется площадью его поверхности. Так как бак открытый (без крышки), его поверхность состоит из дна (основания) и четырех боковых стенок.

Площадь основания: $S_{осн} = x^2$
Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника со сторонами $x$ и $h$): $S_{бок} = 4xh$
Общая площадь поверхности, которую нужно минимизировать: $S(x, h) = S_{осн} + S_{бок} = x^2 + 4xh$

Чтобы найти минимум функции $S(x, h)$, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Удобнее выразить $h$: $h = \frac{32}{x^2}$

Подставим это выражение в формулу площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $S(x) = x^2 + 4x\left(\frac{32}{x^2}\right) = x^2 + \frac{128}{x}$

Для нахождения минимального значения функции $S(x)$, найдем ее производную и приравняем к нулю. $S'(x) = \left(x^2 + \frac{128}{x}\right)' = (x^2 + 128x^{-1})' = 2x - 128x^{-2} = 2x - \frac{128}{x^2}$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(x) = 0$: $2x - \frac{128}{x^2} = 0$
$2x = \frac{128}{x^2}$
$2x^3 = 128$
$x^3 = 64$
$x = \sqrt[3]{64} = 4$

Итак, мы нашли единственную критическую точку $x = 4$ дм. Проверим, является ли она точкой минимума, с помощью второй производной: $S''(x) = \left(2x - 128x^{-2}\right)' = 2 - 128(-2)x^{-3} = 2 + \frac{256}{x^3}$

Вычислим значение второй производной в точке $x = 4$: $S''(4) = 2 + \frac{256}{4^3} = 2 + \frac{256}{64} = 2 + 4 = 6$

Поскольку $S''(4) > 0$, точка $x = 4$ является точкой минимума функции $S(x)$.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$

Таким образом, для того чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество материала, его размеры должны быть: сторона основания — 4 дм, высота — 2 дм.

Ответ: сторона основания 4 дм, высота 2 дм.

32.36 Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Пусть дана равнобокая трапеция, у которой боковые стороны равны $c=15$ см и одно из оснований равно $a=15$ см. Обозначим длину второго основания через $x$. Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$ S = \frac{a+x}{2} \cdot h $

где $h$ — высота трапеции.

Чтобы найти площадь, необходимо выразить высоту $h$ через $x$. Проведем в трапеции высоты из вершин меньшего основания к большему. Они отсекут от большего основания два равных отрезка. Длина каждого такого отрезка равна полуразности оснований: $ \frac{|a-x|}{2} = \frac{|15-x|}{2} $.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой трапеции (катет) и отрезком, отсекаемым высотой на большем основании (второй катет). По теореме Пифагора:

$ h^2 + \left(\frac{|15-x|}{2}\right)^2 = c^2 $

Так как $(|15-x|)^2 = (15-x)^2$, то:

$ h^2 + \frac{(15-x)^2}{4} = 15^2 $

$ h^2 = 225 - \frac{225 - 30x + x^2}{4} = \frac{900 - (225 - 30x + x^2)}{4} = \frac{-x^2 + 30x + 675}{4} $

$ h = \frac{1}{2}\sqrt{-x^2 + 30x + 675} $

Для существования трапеции высота $h$ должна быть действительным положительным числом, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$ -x^2 + 30x + 675 > 0 $

$ x^2 - 30x - 675 < 0 $

Найдем корни уравнения $x^2 - 30x - 675 = 0$. Дискриминант $D = (-30)^2 - 4(1)(-675) = 900 + 2700 = 3600 = 60^2$.

$ x_{1,2} = \frac{30 \pm 60}{2} $, откуда $x_1 = 45$ и $x_2 = -15$.

Неравенство $x^2 - 30x - 675 < 0$ выполняется для $x \in (-15, 45)$. Поскольку длина основания $x$ должна быть положительной, область определения для $x$ есть $x \in (0, 45)$.

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади:

$ S(x) = \frac{15+x}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{-x^2 + 30x + 675} = \frac{1}{4}(x+15)\sqrt{-x^2 + 30x + 675} $

Чтобы найти значение $x$, при котором площадь максимальна, нужно найти максимум функции $S(x)$. Максимум функции $S(x)$ будет достигаться при том же значении $x$, что и максимум функции $S^2(x)$, так как $S(x) > 0$. Это позволяет избежать работы с производной от квадратного корня.

Пусть $f(x) = S^2(x) = \frac{1}{16}(x+15)^2(-x^2 + 30x + 675)$.

Найдем производную $f'(x)$ по правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$ f'(x) = \frac{1}{16} \left[ (2(x+15))(-x^2 + 30x + 675) + (x+15)^2(-2x + 30) \right] $

Вынесем общий множитель $2(x+15)$ за скобки:

$ f'(x) = \frac{2(x+15)}{16} \left[ (-x^2 + 30x + 675) + (x+15)(-x + 15) \right] $

$ f'(x) = \frac{x+15}{8} \left[ -x^2 + 30x + 675 + (225 - x^2) \right] $

$ f'(x) = \frac{x+15}{8} (-2x^2 + 30x + 900) $

$ f'(x) = \frac{-2(x+15)}{8} (x^2 - 15x - 450) = -\frac{1}{4}(x+15)(x^2 - 15x - 450) $

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$ f'(x) = 0 \implies -\frac{1}{4}(x+15)(x^2 - 15x - 450) = 0 $

Поскольку $x > 0$, множитель $(x+15)$ не равен нулю. Значит, нужно решить уравнение:

$ x^2 - 15x - 450 = 0 $

Дискриминант $D = (-15)^2 - 4(1)(-450) = 225 + 1800 = 2025 = 45^2$.

$ x_{1,2} = \frac{15 \pm 45}{2} $

$ x_1 = \frac{15+45}{2} = 30 $

$ x_2 = \frac{15-45}{2} = -15 $

Критическая точка $x = -15$ не входит в область определения $x \in (0, 45)$. Единственная критическая точка в нашем интервале — $x=30$.

Определим знак производной на интервалах $(0, 30)$ и $(30, 45)$, чтобы убедиться, что $x=30$ является точкой максимума. Знак $f'(x)$ противоположен знаку выражения $g(x) = x^2 - 15x - 450$.

• При $x \in (0, 30)$, например $x=20$, $g(20) = 400 - 300 - 450 = -350 < 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция $S(x)$ возрастает.
• При $x \in (30, 45)$, например $x=40$, $g(40) = 1600 - 600 - 450 = 550 > 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция $S(x)$ убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=30$, эта точка является точкой максимума для функции площади $S(x)$.

Таким образом, площадь трапеции будет наибольшей, когда длина второго основания равна 30 см.

Ответ: 30 см.

32.33 Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём $343\text{ м}^3$. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Для решения задачи введём переменные. Пусть сторона квадратного дна бака равна $a$ метров, а его высота равна $h$ метров.

Объём бака по условию составляет $343$ м³. Формула объёма для такого бака (прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием):

$V = a^2 \cdot h$

Из этого следует равенство:

$a^2 h = 343$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через сторону основания $a$:

$h = \frac{343}{a^2}$

Количество материала, необходимое для изготовления бака, определяется площадью его полной поверхности. Поскольку бак закрытый, он имеет дно, крышку и четыре боковые стенки.

Площадь дна: $S_{дна} = a^2$
Площадь крышки: $S_{крышки} = a^2$
Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника со сторонами $a$ и $h$): $S_{бок} = 4ah$

Общая площадь поверхности $S$ равна:

$S = S_{дна} + S_{крышки} + S_{бок} = 2a^2 + 4ah$

Наша задача — найти такие размеры $a$ и $h$, при которых площадь $S$ будет минимальной. Для этого подставим в формулу для $S$ выражение для $h$, чтобы получить функцию одной переменной $a$:

$S(a) = 2a^2 + 4a \left(\frac{343}{a^2}\right) = 2a^2 + \frac{1372}{a}$

Для нахождения минимума функции $S(a)$ найдём её производную по $a$ и приравняем к нулю.

$S'(a) = (2a^2 + 1372a^{-1})' = 4a - 1372a^{-2} = 4a - \frac{1372}{a^2}$

Найдём критические точки, решив уравнение $S'(a) = 0$:

$4a - \frac{1372}{a^2} = 0$

$4a = \frac{1372}{a^2}$

$4a^3 = 1372$

$a^3 = \frac{1372}{4} = 343$

$a = \sqrt[3]{343} = 7$

Мы нашли одну критическую точку $a=7$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной:

$S''(a) = (4a - 1372a^{-2})' = 4 + 2 \cdot 1372a^{-3} = 4 + \frac{2744}{a^3}$

При $a=7$ значение второй производной положительно:

$S''(7) = 4 + \frac{2744}{7^3} = 4 + \frac{2744}{343} = 4 + 8 = 12 > 0$

Это означает, что при $a = 7$ м функция площади поверхности достигает своего минимума.

Теперь найдём соответствующую высоту $h$:

$h = \frac{343}{a^2} = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7$ м

Таким образом, наименьшее количество материала потребуется, если бак будет иметь форму куба со стороной 7 метров.

Ответ: наименьшее количество материала пойдёт на изготовление бака, если его размеры будут 7 м × 7 м × 7 м.

32.37 Из прямоугольной трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если:

а) $a = 80, b = 60, h = 100;$

б) $a = 24, b = 8, h = 12?$

Для решения задачи о нахождении прямоугольника наибольшей площади, который можно вырезать из прямоугольной трапеции, введём систему координат. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а высота — $h$. Для определённости предположим, что $a$ — это большее основание ($a > b$). Расположим трапецию так, чтобы её вершины имели координаты $A(0,0)$, $B(0,h)$, $C(b,h)$ и $D(a,0)$. Таким образом, высота трапеции совпадает с отрезком оси $Oy$, а большее основание лежит на оси $Ox$.

Прямоугольник, вырезанный из трапеции, будет иметь стороны, параллельные её основаниям и высоте. Рассмотрим прямоугольник, у которого одна вершина находится в начале координат $(0,0)$, а противолежащая ей вершина $(x,y)$ лежит на наклонной стороне $CD$. Площадь такого прямоугольника $S$ будет равна $xy$. Чтобы площадь была максимальной, вершина $(x,y)$ должна лежать на границе, то есть на отрезке $CD$.

Найдём уравнение прямой, содержащей сторону $CD$. Она проходит через точки $C(b,h)$ и $D(a,0)$. Уравнение прямой имеет вид: $y - 0 = \frac{h - 0}{b - a}(x - a)$, что можно переписать как $y = \frac{h}{a - b}(a - x)$.

Теперь площадь прямоугольника можно выразить как функцию его ширины $x$: $S(x) = x \cdot y = x \cdot \frac{h}{a - b}(a - x) = \frac{h}{a - b}(-x^2 + ax)$.

Эта функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v$ для функции вида $f(x)=Ax^2+Bx+C$ находится по формуле $x_v = -B/(2A)$. В нашем случае $A = -1$ и $B = a$ (если вынести константу $\frac{h}{a-b}$ за скобки), поэтому $x_{max} = \frac{-a}{2(-1)} = \frac{a}{2}$.

При такой ширине $x = a/2$ высота прямоугольника $y$ составит: $y = \frac{h}{a - b}\left(a - \frac{a}{2}\right) = \frac{h}{a - b} \cdot \frac{a}{2} = \frac{ah}{2(a - b)}$.

Однако, высота вписанного прямоугольника не может превышать высоту трапеции $h$. Необходимо проверить условие $y \le h$.

Случай 1: $a \ge 2b$.
В этом случае выполняется неравенство $\frac{a}{2(a-b)} \le 1$, а значит, и $y = \frac{ah}{2(a - b)} \le h$. Следовательно, найденные размеры $x = a/2$ и $y = \frac{ah}{2(a-b)}$ являются оптимальными и допустимыми. Максимальная площадь равна: $S_{max} = x \cdot y = \frac{a}{2} \cdot \frac{ah}{2(a - b)} = \frac{a^2h}{4(a - b)}$.

Случай 2: $a < 2b$.
В этом случае $\frac{a}{2(a-b)} > 1$, что означает $y > h$. Это решение недопустимо, так как прямоугольник выходит за пределы трапеции по высоте. На допустимом интервале изменения высоты $y \in [0, h]$ функция площади $S(y)$ будет возрастающей. Следовательно, максимальная площадь достигается при максимально возможной высоте, то есть $y=h$. Найдем ширину $x$ для $y=h$ из уравнения прямой $CD$: $h = \frac{h}{a-b}(a-x) \Rightarrow a-b = a-x \Rightarrow x = b$. Таким образом, максимальный по площади прямоугольник — это прямоугольная часть самой трапеции, его размеры $b \times h$ и площадь $S_{max} = b \cdot h$.

Теперь применим эти выводы к конкретным данным из задачи. Обозначим большее основание как $a_{long}$, а меньшее — как $a_{short}$.

а) Дано: $a = 80, b = 60, h = 100$.

Здесь $a_{long} = 80$, $a_{short} = 60$. Проверим условие: $a_{long}$ по сравнению с $2 \cdot a_{short}$. $80 < 2 \cdot 60$, то есть $80 < 120$. Это соответствует Случаю 2. Следовательно, максимальная площадь равна: $S = a_{short} \cdot h = 60 \cdot 100 = 6000$.

Ответ: $6000$.

б) Дано: $a = 24, b = 8, h = 12$.

Здесь $a_{long} = 24$, $a_{short} = 8$. Проверим условие: $a_{long}$ по сравнению с $2 \cdot a_{short}$. $24 > 2 \cdot 8$, то есть $24 > 16$. Это соответствует Случаю 1. Следовательно, максимальная площадь вычисляется по формуле: $S = \frac{a_{long}^2 h}{4(a_{long} - a_{short})} = \frac{24^2 \cdot 12}{4(24 - 8)} = \frac{576 \cdot 12}{4 \cdot 16} = \frac{576 \cdot 12}{64}$. Разделив $576$ на $64$, получим $9$. $S = 9 \cdot 12 = 108$.

Ответ: $108$.

32.30 На графике функции $y = x^2$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A (0; 1,5)$.

Пусть искомая точка $M$ на графике функции $y = x^2$ имеет координаты $(x, y)$. Поскольку точка $M$ принадлежит параболе, её координаты удовлетворяют уравнению $y = x^2$. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(x, x^2)$.

Точка $A$ имеет координаты $(0; 1,5)$. Квадрат расстояния $d^2$ между точками $M(x, x^2)$ и $A(0; 1,5)$ выражается функцией от переменной $x$: $d^2(x) = (x - 0)^2 + (x^2 - 1,5)^2 = x^2 + (x^2 - 1,5)^2$.

Задача состоит в том, чтобы найти значение $x$, при котором функция $d^2(x)$ принимает минимальное значение. Обозначим эту функцию как $f(x)$ и упростим выражение: $f(x) = x^2 + (x^4 - 2 \cdot 1,5 \cdot x^2 + (1,5)^2) = x^2 + x^4 - 3x^2 + 2,25 = x^4 - 2x^2 + 2,25$.

Для нахождения точек экстремума найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 2,25)' = 4x^3 - 4x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$.
Критическими точками являются $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Чтобы определить характер экстремумов, найдем вторую производную: $f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4$.

Исследуем знак второй производной в критических точках: Для $x = 0$: $f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0$, что соответствует точке локального максимума.
Для $x = 1$: $f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0$, что соответствует точке локального минимума.
Для $x = -1$: $f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0$, что также соответствует точке локального минимума.

Следовательно, наименьшее расстояние достигается в точках, где абсциссы равны $1$ и $-1$. Найдем ординаты этих точек, используя уравнение параболы $y = x^2$: Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Получаем точку $(1; 1)$.
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Получаем точку $(-1; 1)$.

Таким образом, на параболе есть две точки, равноудаленные от точки $A$ и находящиеся на минимальном расстоянии от неё.

Ответ: $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

32.34 Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2 : 3, а объём составлял $576\text{ м}^3$. Каковы должны быть измерения параллелепипеда, чтобы его полная поверхность была наименьшей?

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота равна $h$.

Согласно условию задачи, стороны основания относятся как $2:3$. Мы можем выразить их через одну переменную $x > 0$: $a = 2x$ и $b = 3x$.

Объем $V$ параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abh$. Подставим в нее выражения для сторон основания и заданное значение объема:

$V = (2x)(3x)h = 6x^2h$

$576 = 6x^2h$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через $x$:

$h = \frac{576}{6x^2} = \frac{96}{x^2}$

Площадь полной поверхности $S$ закрытого короба равна сумме площадей его граней:

$S = 2(ab + ah + bh)$

Чтобы найти измерения, при которых площадь поверхности будет наименьшей, нужно выразить $S$ как функцию от одной переменной $x$, подставив выражения для $a$, $b$ и $h$:

$S(x) = 2\left((2x)(3x) + (2x)\frac{96}{x^2} + (3x)\frac{96}{x^2}\right)$

$S(x) = 2\left(6x^2 + \frac{192}{x} + \frac{288}{x}\right)$

$S(x) = 2\left(6x^2 + \frac{480}{x}\right) = 12x^2 + \frac{960}{x}$

Для нахождения минимума функции $S(x)$, найдем ее производную $S'(x)$ и приравняем к нулю:

$S'(x) = (12x^2 + 960x^{-1})' = 24x - 960x^{-2} = 24x - \frac{960}{x^2}$

$S'(x) = 0 \Rightarrow 24x - \frac{960}{x^2} = 0$

$24x^3 = 960$

$x^3 = \frac{960}{24} = 40$

$x = \sqrt[3]{40}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, используем вторую производную:

$S''(x) = (24x - 960x^{-2})' = 24 + 1920x^{-3} = 24 + \frac{1920}{x^3}$

Так как $x > 0$, то $S''(x)$ всегда положительна, что подтверждает, что найденное значение $x$ соответствует минимуму площади поверхности.

Теперь вычислим искомые размеры параллелепипеда. Упростим $x = \sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$.

Стороны основания:

$a = 2x = 2(2\sqrt[3]{5}) = 4\sqrt[3]{5}$ м.

$b = 3x = 3(2\sqrt[3]{5}) = 6\sqrt[3]{5}$ м.

Высота:

$h = \frac{96}{x^2} = \frac{96}{(2\sqrt[3]{5})^2} = \frac{96}{4(\sqrt[3]{5})^2} = \frac{24}{\sqrt[3]{25}}$ м.

Можно также представить высоту в другом виде, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$h = \frac{24}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{24\sqrt[3]{5}}{5} = 4.8\sqrt[3]{5}$ м.

Ответ: измерения параллелепипеда должны быть $4\sqrt[3]{5}$ м, $6\sqrt[3]{5}$ м и $4.8\sqrt[3]{5}$ м.

32.38 У пятиугольника $ABCDE$ углы $A$, $B$ и $E$ — прямые, $AB = a$, $BC = b$, $AE = c$, $DE = m$. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади и вычислите эту площадь, если:

а) $a = 7, b = 9, c = 3, m = 5$;

б) $a = 7, b = 18, c = 3, m = 1$.

Для решения задачи разместим пятиугольник $ABCDE$ в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0)$, а сторона $AB$ лежит на оси $Ox$. Учитывая, что углы $A$, $B$ и $E$ прямые, координаты вершин будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(a, 0)$ (т.к. $AB=a$ и $\angle A=90^\circ$)
• $E(0, c)$ (т.к. $AE=c$ и $\angle A=90^\circ$)
• $C(a, b)$ (т.к. $BC=b$ и $\angle B=90^\circ$)
• $D(m, c)$ (т.к. $DE=m$ и $\angle E=90^\circ$)

Искомый прямоугольник должен быть вписан в этот пятиугольник. Для достижения максимальной площади стороны прямоугольника должны быть параллельны осям координат. Пусть его вершины $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_1, y_2)$.

Пятиугольник ограничен осями координат ($x \ge 0, y \ge 0$), прямой $x=a$ и верхней границей, состоящей из отрезков $ED$ и $DC$. Опишем эту верхнюю границу как функцию $y=f(x)$ для $x \in [0, a]$.

Уравнение прямой, проходящей через точки $C(a,b)$ и $D(m,c)$, имеет вид: $y - c = \frac{b-c}{a-m}(x-m)$.

Таким образом, верхняя граница $f(x)$ задается кусочно (при условии $a>m$):

$f(x) = \begin{cases} c & \text{если } 0 \le x \le m \\ \frac{b-c}{a-m}(x-m)+c & \text{если } m < x \le a \end{cases}$

Прямоугольник максимальной площади, вписанный под график функции, будет иметь одну из сторон на оси $Ox$. Это связано с тем, что для любого вписанного прямоугольника $[x_1, x_2] \times [y_1, y_2]$ можно увеличить его высоту (и, следовательно, площадь), опустив его нижнюю сторону до $y_1=0$, не нарушая при этом условия вписанности.

Итак, мы ищем максимум площади $S = (x_2 - x_1)y_2$, где $y_2 \le \min_{x \in [x_1, x_2]} f(x)$. Для максимизации площади следует взять $y_2 = \min_{x \in [x_1, x_2]} f(x)$.

В обоих случаях, рассматриваемых в задаче, $a > m$ и $b > c$, поэтому наклон отрезка $DC$ $k = \frac{b-c}{a-m}$ положителен. Это означает, что функция $f(x)$ является неубывающей на всем отрезке $[0, a]$.

Для неубывающей функции $f(x)$, минимум на отрезке $[x_1, x_2]$ достигается в левой точке: $\min_{x \in [x_1, x_2]} f(x) = f(x_1)$.

Тогда площадь прямоугольника равна $S(x_1, x_2) = (x_2 - x_1)f(x_1)$. При фиксированном $x_1$ эта площадь максимальна, когда $x_2$ максимально, то есть $x_2=a$.

Следовательно, задача сводится к нахождению максимума функции одной переменной $S(x) = (a-x)f(x)$ на отрезке $[0, a]$, где $x$ — это левая граница прямоугольника.

Дано: $a = 7, b = 9, c = 3, m = 5$.

Вершины пятиугольника: $A(0,0), B(7,0), C(7,9), D(5,3), E(0,3)$.

Так как $a=7 > m=5$ и $b=9 > c=3$, то, как и было обосновано выше, мы ищем максимум функции $S(x) = (7-x)f(x)$ на отрезке $[0, 7]$.

Найдем функцию $f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} 3 & \text{если } 0 \le x \le 5 \\ \frac{9-3}{7-5}(x-5)+3 = 3(x-5)+3 = 3x-12 & \text{если } 5 < x \le 7 \end{cases}$

Рассмотрим функцию площади $S(x)$ на двух участках:

1. При $x \in [0, 5]$:

   $S(x) = (7-x) \cdot 3 = 21 - 3x$.

   Это линейная убывающая функция. Ее максимум на отрезке $[0, 5]$ достигается в точке $x=0$.

   $S(0) = 21 - 3 \cdot 0 = 21$.

   Этот максимум соответствует прямоугольнику с левой стороной при $x=0$ и правой при $x=7$, высотой $f(0)=3$. Его вершины: $(0,0), (7,0), (7,3), (0,3)$. Площадь $7 \times 3 = 21$.

2. При $x \in (5, 7]$:

   $S(x) = (7-x)(3x-12) = -3x^2 + 21x + 12x - 84 = -3x^2 + 33x - 84$.

   Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине $x_v = -\frac{33}{2(-3)} = \frac{33}{6} = 5.5$.

   Так как $5.5 \in (5, 7]$, то максимальное значение на этом участке равно $S(5.5)$.

   $S(5.5) = (7-5.5)(3 \cdot 5.5 - 12) = 1.5 \cdot (16.5 - 12) = 1.5 \cdot 4.5 = 6.75$.

Сравнивая максимальные значения на двух участках ($21$ и $6.75$), выбираем наибольшее. Наибольшая площадь равна $21$.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади имеет вершины в точках $(0,0), (7,0), (7,3), (0,3)$, его площадь равна 21.

Дано: $a = 7, b = 18, c = 3, m = 1$.

Вершины пятиугольника: $A(0,0), B(7,0), C(7,18), D(1,3), E(0,3)$.

Так как $a=7 > m=1$ и $b=18 > c=3$, мы снова ищем максимум функции $S(x) = (7-x)f(x)$ на отрезке $[0, 7]$.

Найдем функцию $f(x)$:

$f(x) = \begin{cases} 3 & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ \frac{18-3}{7-1}(x-1)+3 = \frac{15}{6}(x-1)+3 = 2.5(x-1)+3 = 2.5x+0.5 & \text{если } 1 < x \le 7 \end{cases}$

Рассмотрим функцию площади $S(x)$ на двух участках:

1. При $x \in [0, 1]$:

   $S(x) = (7-x) \cdot 3 = 21 - 3x$.

   Это линейная убывающая функция. Ее максимум на отрезке $[0, 1]$ достигается в точке $x=0$.

   $S(0) = 21 - 3 \cdot 0 = 21$.

   Этот максимум соответствует прямоугольнику с вершинами $(0,0), (7,0), (7,3), (0,3)$. Его площадь $7 \times 3 = 21$.

2. При $x \in (1, 7]$:

   $S(x) = (7-x)(2.5x+0.5) = -2.5x^2 -0.5x + 17.5x + 3.5 = -2.5x^2 + 17x + 3.5$.

   Это парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине $x_v = -\frac{17}{2(-2.5)} = \frac{17}{5} = 3.4$.

   Так как $3.4 \in (1, 7]$, то максимальное значение на этом участке равно $S(3.4)$.

   $S(3.4) = (7-3.4)(2.5 \cdot 3.4 + 0.5) = 3.6 \cdot (8.5 + 0.5) = 3.6 \cdot 9 = 32.4$.

   Этот максимум соответствует прямоугольнику с левой стороной при $x=3.4$ и правой при $x=7$, высотой $f(3.4) = 2.5 \cdot 3.4 + 0.5 = 9$. Его вершины: $(3.4, 0), (7, 0), (7, 9), (3.4, 9)$. Площадь $3.6 \times 9 = 32.4$.

Сравнивая максимальные значения на двух участках ($21$ и $32.4$), выбираем наибольшее. Наибольшая площадь равна $32.4$.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади имеет вершины в точках $(3.4, 0), (7, 0), (7, 9), (3.4, 9)$, его площадь равна 32.4.

32.31 На графике функции $y = \sqrt{x}$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A (4,5; 0)$.

Пусть точка $M$ на графике функции $y = \sqrt{x}$ имеет координаты $(x; y)$, где $y = \sqrt{x}$. Таким образом, координаты точки $M$ можно записать как $(x; \sqrt{x})$. Заметим, что область определения функции $y = \sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

Координаты данной точки $A$ равны $(4,5; 0)$.

Квадрат расстояния $d^2$ между точками $A(x_A; y_A)$ и $M(x_M; y_M)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2$

Подставим координаты точек $A$ и $M$ в эту формулу: $d^2(x) = (x - 4,5)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2 = (x - 4,5)^2 + x$

Задача сводится к нахождению такого значения $x$, при котором расстояние $d(x)$ будет минимальным. Минимизация расстояния $d(x)$ эквивалентна минимизации его квадрата $d^2(x)$, что позволяет избежать работы с квадратным корнем и упрощает вычисления. Обозначим функцию квадрата расстояния через $f(x)$: $f(x) = (x - 4,5)^2 + x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $f(x) = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4,5 + (4,5)^2 + x = x^2 - 9x + 20,25 + x = x^2 - 8x + 20,25$

Чтобы найти точку минимума, найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$: $f'(x) = (x^2 - 8x + 20,25)' = 2x - 8$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(x) = 0$ $2x - 8 = 0$ $2x = 8$ $x = 4$

Это значение $x=4$ принадлежит области определения функции ($4 \ge 0$). Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак второй производной: $f''(x) = (2x - 8)' = 2$

Так как $f''(x) = 2 > 0$, функция $f(x)$ имеет в точке $x=4$ минимум.

Теперь, зная абсциссу точки $M$, найдем ее ординату, подставив $x=4$ в уравнение функции $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{4} = 2$

Следовательно, искомая точка $M$ на графике функции, ближайшая к точке $A$, имеет координаты $(4; 2)$.

Ответ: $M(4; 2)$.

32.35 Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы равна $d$. При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Пусть сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $a$, а длина бокового ребра (высота) равна $h$. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники, перпендикулярные основанию.

Боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ этой грани по условию равна $d$. Согласно теореме Пифагора, для боковой грани справедливо соотношение:
$a^2 + h^2 = d^2$

Выразим из этого уравнения квадрат стороны основания $a^2$:
$a^2 = d^2 - h^2$
Поскольку $a^2$ должен быть больше нуля (так как $a$ — это длина стороны), то $d^2 - h^2 > 0$. Это накладывает ограничение на высоту $h$: $0 < h < d$.

Объём призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$. Площадь основания (квадрата) $S_{осн} = a^2$. Следовательно, объём равен:
$V = a^2 \cdot h$

Чтобы найти объём как функцию одной переменной $h$, подставим выражение для $a^2$ в формулу объёма:
$V(h) = (d^2 - h^2)h = d^2h - h^3$

Для нахождения наибольшего значения объёма, необходимо исследовать функцию $V(h)$ на экстремум на интервале $(0, d)$. Для этого найдём её производную по $h$:
$V'(h) = \frac{d}{dh}(d^2h - h^3) = d^2 - 3h^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$d^2 - 3h^2 = 0$
$3h^2 = d^2$
$h^2 = \frac{d^2}{3}$
Поскольку $h$ — это длина, берём положительное значение корня:
$h = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Полученное значение $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$ удовлетворяет условию $0 < h < d$ (так как $\sqrt{3} > 1$) и, следовательно, является допустимой критической точкой.

Для проверки, является ли эта точка точкой максимума, найдём вторую производную:
$V''(h) = \frac{d}{dh}(d^2 - 3h^2) = -6h$
Так как $h = \frac{d}{\sqrt{3}} > 0$, вторая производная $V''(h)$ в этой точке отрицательна. Это подтверждает, что в найденной точке функция $V(h)$ имеет максимум.

Таким образом, объём призмы будет наибольшим при длине бокового ребра $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$. Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем: $h = \frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$

1. Построение графиков, связанных с обратными тригонометрическими функциями.

Основные сведения об обратных тригонометрических функциях

Обратные тригонометрические функции (аркфункции) — это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям на ограниченных областях определения, где последние монотонны. Построение их графиков основывается на свойстве графиков взаимно обратных функций: график обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Графики основных обратных тригонометрических функций

Арксинус: $y = \arcsin(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \sin(x)$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
- Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Свойства: нечетная ($\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$), строго возрастающая.
График $y = \arcsin(x)$ получается симметричным отражением графика $y = \sin(x)$ (на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$) относительно прямой $y=x$.

Арккосинус: $y = \arccos(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \cos(x)$ на отрезке $x \in [0, \pi]$.
- Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
- Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
- Свойства: не является ни четной, ни нечетной (справедливо тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$), строго убывающая.
График $y = \arccos(x)$ получается симметричным отражением графика $y = \cos(x)$ (на отрезке $[0, \pi]$) относительно прямой $y=x$.

Арктангенс: $y = \operatorname{arctg}(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \operatorname{tg}(x)$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
- Свойства: нечетная ($\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$), строго возрастающая. Имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Арккотангенс: $y = \operatorname{arcctg}(x)$
Эта функция является обратной к функции $y = \operatorname{ctg}(x)$ на интервале $x \in (0, \pi)$.
- Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (0, \pi)$.
- Свойства: не является ни четной, ни нечетной (справедливо тождество $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$), строго убывающая. Имеет две горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $x \to +\infty$ и $y = \pi$ при $x \to -\infty$.

Построение графиков сложных функций

Построение графиков функций, включающих композиции тригонометрических и обратных тригонометрических функций, требует анализа области определения, области значений, периодичности и использования тождественных преобразований.

Пример 1. Построить график функции $y = \cos(\arccos x)$

Решение:
1. Область определения. Функция $\arccos x$ определена при $x \in [-1, 1]$. Это и будет областью определения для всей функции.
2. Упрощение. По определению арккосинуса, для любого $x$ из его области определения, $\cos(\arccos x) = x$.
3. Построение. Таким образом, нам нужно построить график функции $y=x$ на отрезке $[-1, 1]$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой отрезок прямой $y=x$ при $x \in [-1, 1]$.

Пример 2. Построить график функции $y = \arcsin(\sin x)$

Решение:
1. Область определения. Функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Ее значения $[-1, 1]$ полностью попадают в область определения арксинуса. Значит, $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Свойства.
- Область значений функции совпадает с областью значений арксинуса: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
- Функция является периодической. Так как $\sin(x+2\pi) = \sin x$, то и $y(x+2\pi) = y(x)$. Период функции равен $2\pi$. Поэтому достаточно построить график на отрезке длиной $2\pi$, например, на $[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, а затем продолжить его периодически.
3. Анализ на основном участке.
- Если $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то по определению арксинуса $\arcsin(\sin x) = x$. На этом отрезке график совпадает с прямой $y=x$.
- Если $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, воспользуемся тождеством $\sin x = \sin(\pi-x)$. При $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ выражение $\pi-x$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поэтому $\arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi-x)) = \pi-x$. На этом отрезке график совпадает с прямой $y=\pi-x$.
4. Построение. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ строим отрезок прямой $y=x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ строим отрезок прямой $y=\pi-x$. Полученную "пилообразную" кривую периодически повторяем вдоль всей оси $Ox$ с периодом $2\pi$.
Ответ: График функции — периодическая ломаная линия ("пила") с периодом $2\pi$, заключенная в полосе $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.

Пример 3. Построить график функции $y = \arccos(\cos x)$

Решение:
1. Область определения. $D(y) = \mathbb{R}$ (по аналогии с предыдущим примером).
2. Свойства.
- Область значений: $E(y) = [0, \pi]$.
- Функция периодическая с периодом $2\pi$.
- Функция четная, так как $\cos(-x)=\cos(x)$, поэтому $y(-x)=y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
3. Анализ на основном участке. Достаточно рассмотреть отрезок $[0, \pi]$ и затем использовать симметрию и периодичность.
- Если $x \in [0, \pi]$, то по определению арккосинуса $\arccos(\cos x) = x$. График — отрезок прямой $y=x$.
- Для построения графика на отрезке $[-\pi, 0]$ используем четность: отражаем график с отрезка $[0, \pi]$ симметрично относительно оси $Oy$. Получаем отрезок прямой $y=-x$.
- Таким образом, на отрезке $[-\pi, \pi]$ график состоит из двух отрезков: $y=-x$ при $x \in [-\pi, 0]$ и $y=x$ при $x \in [0, \pi]$.
4. Построение. Строим "уголок" на отрезке $[-\pi, \pi]$ и периодически повторяем его вдоль оси $Ox$ с периодом $2\pi$.
Ответ: График функции — периодическая ломаная линия ("треугольная волна") с периодом $2\pi$, заключенная в полосе $0 \le y \le \pi$.

2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями.

Решение уравнений и неравенств с обратными тригонометрическими функциями (аркфункциями) основывается на их определениях, свойствах, областях определения и множествах значений.

Кратко напомним ключевые характеристики аркфункций, необходимые для решения задач.

1. Арксинус: $y = \arcsin(x)$
Определена для $x \in [-1, 1]$. Множество значений: $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Является нечетной и строго возрастающей функцией.

2. Арккосинус: $y = \arccos(x)$
Определена для $x \in [-1, 1]$. Множество значений: $[0, \pi]$. Является строго убывающей функцией. Выполняется тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

3. Арктангенс: $y = \arctan(x)$
Определена для $x \in (-\infty, +\infty)$. Множество значений: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Является нечетной и строго возрастающей функцией.

4. Арккотангенс: $y = \arcctg(x)$
Определена для $x \in (-\infty, +\infty)$. Множество значений: $(0, \pi)$. Является строго убывающей функцией. Выполняется тождество $\arcctg(-x) = \pi - \arcctg(x)$.

Важные тождества:
$\sin(\arcsin(x)) = x$ при $x \in [-1, 1]$
$\cos(\arccos(x)) = x$ при $x \in [-1, 1]$
$\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ при $x \in [-1, 1]$
$\arctan(x) + \arcctg(x) = \frac{\pi}{2}$ при $x \in \mathbb{R}$

Основной метод решения уравнений — избавление от аркфункции путем применения соответствующей тригонометрической функции к обеим частям уравнения. При этом необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) и, при необходимости, выполнять проверку найденных корней.

Пример 1: Решить уравнение $2\arcsin(x^2 - 3x + 1) = \pi$.

Решение:
1. Разделим обе части уравнения на 2: $\arcsin(x^2 - 3x + 1) = \frac{\pi}{2}$.
2. Правая часть $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому уравнение может иметь решение.
3. Найдем ОДЗ. Аргумент арксинуса должен находиться в пределах от -1 до 1: $-1 \le x^2 - 3x + 1 \le 1$.
Это система из двух неравенств:
1) $x^2 - 3x + 1 \ge -1 \implies x^2 - 3x + 2 \ge 0 \implies (x-1)(x-2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.
2) $x^2 - 3x + 1 \le 1 \implies x^2 - 3x \le 0 \implies x(x-3) \le 0 \implies x \in [0, 3]$.
Пересекая решения, получаем ОДЗ: $x \in [0, 1] \cup [2, 3]$.
4. Применим функцию синус к обеим частям уравнения $\arcsin(x^2 - 3x + 1) = \frac{\pi}{2}$:
$\sin(\arcsin(x^2 - 3x + 1)) = \sin(\frac{\pi}{2})$
$x^2 - 3x + 1 = 1$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x-3) = 0$
Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
5. Проверяем, принадлежат ли корни ОДЗ. Оба корня $0$ и $3$ принадлежат множеству $[0, 1] \cup [2, 3]$.
Ответ: $x \in \{0, 3\}$.

Пример 2: Решить уравнение $\arcsin(2x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{3}$.

Решение:
1. ОДЗ: $\begin{cases} -1 \le 2x \le 1 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1/2 \le x \le 1/2 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases} \implies x \in [-1/2, 1/2]$.
2. Перенесем один из арксинусов в правую часть: $\arcsin(2x) = \frac{\pi}{3} - \arcsin(x)$.
3. Применим синус к обеим частям: $2x = \sin(\frac{\pi}{3} - \arcsin(x))$.
Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$2x = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\arcsin x) - \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\arcsin x)$.
4. Используя тождества $\sin(\arcsin x) = x$ и $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$ (косинус положителен, так как для $x \in [-1/2, 1/2]$, $\arcsin x \in [-\pi/6, \pi/6]$, где косинус положителен), получаем:
$2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2}x$
$4x = \sqrt{3}\sqrt{1-x^2} - x$
$5x = \sqrt{3}\sqrt{1-x^2}$.
5. Заметим, что правая часть неотрицательна, значит $5x \ge 0 \implies x \ge 0$. С учетом ОДЗ, $x \in [0, 1/2]$. Возведем обе части в квадрат:
$25x^2 = 3(1-x^2)$
$25x^2 = 3 - 3x^2$
$28x^2 = 3$
$x^2 = \frac{3}{28}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{28}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$.
6. Учитывая условие $x \ge 0$, выбираем корень $x = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$.
Проверим, входит ли он в ОДЗ $x \in [0, 1/2]$. Так как $\sqrt{21} < \sqrt{49} = 7$, то $\frac{\sqrt{21}}{14} < \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$. Корень подходит.
Ответ: $x = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

При решении неравенств ключевую роль играет монотонность аркфункций. Для возрастающих функций ($\arcsin, \arctan$) знак неравенства сохраняется, для убывающих ($\arccos, \arcctg$) — меняется на противоположный. Всегда необходимо учитывать ОДЗ и область значений.

Пример 3: Решить неравенство $\arccos(3x-1) > \frac{\pi}{3}$.

Решение:
1. ОДЗ: $-1 \le 3x-1 \le 1 \implies 0 \le 3x \le 2 \implies 0 \le x \le \frac{2}{3}$.
2. Функция $y=\arccos(t)$ является убывающей. Поэтому при применении косинуса к обеим частям знак неравенства меняется:
$\cos(\arccos(3x-1)) < \cos(\frac{\pi}{3})$
$3x-1 < \frac{1}{2}$
$3x < \frac{3}{2}$
$x < \frac{1}{2}$.
3. Также левая часть неравенства $\arccos(3x-1)$ ограничена сверху числом $\pi$ (область значений арккосинуса), что всегда больше $\frac{\pi}{3}$.
4. Объединим полученное решение $x < \frac{1}{2}$ с ОДЗ $x \in [0, \frac{2}{3}]$:
$\begin{cases} x < 1/2 \\ 0 \le x \le 2/3 \end{cases} \implies 0 \le x < \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in [0, \frac{1}{2})$.

Пример 4: Решить неравенство $\arctan^2(x) - 4\arctan(x) + 3 > 0$.

Решение:
1. ОДЗ для $x$ не ограничена: $x \in \mathbb{R}$.
2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arctan(x)$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t$ принимает значения из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
3. Решаем квадратное неравенство относительно $t$:
$t^2 - 4t + 3 > 0$.
Корни уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$ это $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Решение неравенства: $t \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.
4. Возвращаемся к замене и учитываем ограничение на $t$: $\begin{cases} t < 1 \text{ или } t > 3 \\ -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} \end{cases}$.
Поскольку $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$, то $1 < \frac{\pi}{2}$ и $3 > \frac{\pi}{2}$.
Пересечение решений дает: $t \in (-\frac{\pi}{2}, 1)$.
5. Итак, мы получили двойное неравенство: $-\frac{\pi}{2} < \arctan(x) < 1$.
6. Так как $y = \tan(t)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, мы можем применить тангенс ко всем частям неравенства, сохраняя знаки:
$\tan(-\frac{\pi}{2}) < \tan(\arctan(x)) < \tan(1)$.
Левая часть $\tan(-\frac{\pi}{2})$ не определена, но $\arctan(x)$ стремится к $-\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$. Таким образом, левое неравенство $\arctan(x) > -\frac{\pi}{2}$ выполняется для любого $x \in \mathbb{R}$.
Остается решить $\arctan(x) < 1$. Применяя тангенс, получаем $x < \tan(1)$.
Таким образом, решением является интервал $(-\infty, \tan(1))$.
Ответ: $x \in (-\infty, \tan(1))$.

3. Разработка мультимедиа по теме «Простейшие тригонометрические уравнения».

Разработка мультимедиа по теме «Простейшие тригонометрические уравнения» представляет собой создание комплексного образовательного продукта, направленного на глубокое и наглядное освоение данной темы. Ниже представлен подробный план такой разработки, разделенный на концептуальные блоки.

1. Концепция и цели мультимедийного продукта

Основная идея — создать интерактивную обучающую среду, которая позволит пользователю не просто заучить формулы, а понять их происхождение и научиться применять их на практике. Продукт предназначен для школьников старших классов, абитуриентов и всех, кто хочет освоить или повторить основы тригонометрии.

Цели:

• Сформировать у учащихся целостное представление о методах решения простейших тригонометрических уравнений вида $sin(x)=a, cos(x)=a, tan(x)=a, cot(x)=a$.
• Визуализировать решения уравнений с помощью интерактивной тригонометрической окружности и графиков функций.
• Развить навыки анализа и выбора правильной формулы для решения.
• Предоставить возможность для самоконтроля и отработки практических навыков.

Задачи:

• Разработать теоретические блоки с текстовым и графическим материалом.
• Создать анимированные видеоролики, демонстрирующие вывод общих формул.
• Реализовать интерактивные симуляторы (тригонометрический круг, графики).
• Разработать многоуровневый банк практических заданий с автоматической проверкой.

Ответ: Целью проекта является создание интерактивного обучающего ресурса для освоения методов решения простейших тригонометрических уравнений, ориентированного на визуализацию и практическую отработку.

2. Структура и содержание учебных модулей

Продукт будет состоять из нескольких логически связанных модулей, обеспечивающих последовательное погружение в тему.

Модуль 1. Введение. Обратные тригонометрические функции.
Краткое повторение определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса через тригонометрическую окружность. Введение понятий аркфункций: $y = \arcsin(x), y = \arccos(x), y = \arctan(x), y = \text{arccot}(x)$. Особое внимание уделяется их областям определения и множествам значений, что является ключом к пониманию решений.

Модуль 2. Решение уравнения $cos(x) = a$.
Теория: Анализ уравнения. Условие существования корней: $|a| \le 1$. Вывод общей формулы решения $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ с помощью интерактивной тригонометрической окружности.
Частные случаи: Разбор решений для $a=0, a=1, a=-1$. Наглядная демонстрация того, как две серии корней «сливаются» в одну.
Практика: Пошаговое решение нескольких типовых примеров, например, $cos(x) = \frac{1}{2}$ или $cos(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Модуль 3. Решение уравнения $sin(x) = a$.
Теория: Аналогично модулю 2. Условие $|a| \le 1$. Вывод общей формулы $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Объяснение, почему эта форма записи объединяет две серии корней. Также рассматривается альтернативная форма записи: $x = \arcsin(a) + 2\pi n$ и $x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.
Частные случаи: Решения для $a=0, a=1, a=-1$.
Практика: Разбор примеров.

Модуль 4. Решение уравнений $tan(x) = a$ и $cot(x) = a$.
Теория: Объяснение, почему данные уравнения имеют решения при любом значении $a$. Вывод формул $x = \arctan(a) + \pi k$ и $x = \text{arccot}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Визуализация на окружности с использованием осей тангенсов и котангенсов.
Практика: Решение примеров, например, $tan(\frac{x}{2}) = -1$ и $cot(3x) = \sqrt{3}$.

Модуль 5. Практикум.
Интерактивный тренажер, генерирующий уравнения разного типа и уровня сложности. Система подсказок и мгновенной обратной связи. Итоговый тест для проверки усвоенных знаний.

Ответ: Содержание мультимедиа будет разделено на 5 модулей, последовательно раскрывающих теорию и практику решения каждого вида простейших тригонометрических уравнений, с отдельным блоком для отработки навыков.

3. Техническая реализация и интерактивные элементы

Для реализации проекта предлагается использовать формат веб-приложения или SCORM-пакета для систем дистанционного обучения, что обеспечит максимальную доступность и интероперабельность.

Используемые технологии:

• Frontend: HTML5, CSS3, JavaScript. Это обеспечит кроссплатформенность и доступность на любых устройствах.
• Математические формулы: Библиотека KaTeX или MathJax для корректного и четкого отображения формул.
• Интерактивная графика: Встраиваемые апплеты GeoGebra/Desmos или собственная разработка на JavaScript-библиотеках (например, D3.js, P5.js) для создания интерактивных моделей.
• Видео и анимация: Короткие видеоуроки (до 5 минут), созданные с помощью программ для скринкастинга (OBS Studio) и математической анимации (Manim).

Ключевые интерактивные элементы:

1. Интерактивная тригонометрическая окружность: Пользователь может двигать точку на окружности, наблюдая за изменением значений синуса и косинуса. Также можно ввести значение $a$ и увидеть на окружности соответствующие углы-решения.
2. Интерактивные графики: Возможность перемещать прямую $y=a$ по графику тригонометрической функции и видеть точки их пересечения, которые являются корнями уравнения.
3. Тренажер с вводом ответа: Задания, где требуется не выбрать ответ из предложенных, а ввести его в аналитическом виде (например, $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k $). Система должна уметь распознавать математически эквивалентные записи.
4. Диалоговые квесты: Задания, представленные в виде диалога, где каждый следующий шаг зависит от правильности предыдущего ответа, что повышает вовлеченность.

Ответ: Продукт будет реализован как веб-приложение с использованием HTML/CSS/JS, библиотеки KaTeX для формул и специализированных библиотек для создания ключевых интерактивных элементов: тригонометрической окружности, графиков и тренажеров.

4. Сценарий использования и оценка эффективности

Мультимедийный продукт может использоваться в различных образовательных сценариях для достижения максимального педагогического эффекта.

Сценарии использования:

• В классе: Учитель может использовать отдельные модули и интерактивные элементы для демонстрации материала на интерактивной доске, делая урок более наглядным и динамичным.
• Самостоятельная работа: Учащиеся могут проходить модули в собственном темпе, возвращаясь к сложным моментам, используя тренажеры для закрепления знаний. Идеально подходит для подготовки к контрольным работам и экзаменам (ОГЭ, ЕГЭ).
• Дистанционное обучение: Продукт может быть интегрирован в платформу дистанционного обучения как основной или дополнительный материал по теме.

Оценка эффективности:

Эффективность продукта можно оценить по нескольким параметрам:

1. Встроенная аналитика: Сбор данных о времени прохождения модулей, количестве попыток в тренажере, проценте правильных ответов в итоговом тесте. Это позволит оценить усвоение материала как отдельным учеником, так и группой в целом.
2. Педагогический эксперимент: Сравнение результатов контрольных работ в двух группах — экспериментальной (использовавшей мультимедиа) и контрольной (обучавшейся по традиционной методике).
3. Обратная связь: Анкетирование пользователей (учеников и учителей) для сбора мнений об удобстве, понятности и полезности продукта.

Ответ: Продукт предназначен для гибкого использования (в классе, для самоподготовки, дистанционно), а его эффективность будет оцениваться через встроенную аналитику, педагогические методики и сбор обратной связи от пользователей.