Страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.17 a) $y = \sqrt[3]{x^2 + 5};$

б) $y = \sqrt[7]{x^3 - 1};$

В) $y = \sqrt[9]{6x - 7};$

Г) $y = \sqrt[5]{2x + 1}.$

а)

Дана функция $y = \sqrt[3]{x^2 + 5}$.

Для нахождения производной этой функции, представим ее в виде степенной функции: $y = (x^2 + 5)^{\frac{1}{3}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{3}}$, а внутренняя функция $g(x) = x^2 + 5$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = \frac{1}{3}u^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}$

$g'(x) = (x^2 + 5)' = 2x$

Теперь подставляем найденные производные в цепное правило:

$y' = \frac{1}{3}(x^2 + 5)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x)$

Упростим выражение, записав его в виде дроби с корнем в знаменателе:

$y' = \frac{2x}{3(x^2 + 5)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 5)^2}}$

Ответ: $y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 5)^2}}$.

б)

Дана функция $y = \sqrt[7]{x^3 - 1}$.

Представим функцию в виде степени: $y = (x^3 - 1)^{\frac{1}{7}}$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{7}}$, внутренняя $g(x) = x^3 - 1$.

Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{7}u^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}u^{-\frac{6}{7}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^3 - 1)' = 3x^2$.

По цепному правилу:

$y' = \frac{1}{7}(x^3 - 1)^{-\frac{6}{7}} \cdot (3x^2)$

Упрощая, получаем:

$y' = \frac{3x^2}{7(x^3 - 1)^{\frac{6}{7}}} = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3 - 1)^6}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3 - 1)^6}}$.

в)

Дана функция $y = \sqrt[9]{6x - 7}$.

Представим ее в виде степенной функции: $y = (6x - 7)^{\frac{1}{9}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{9}}$, внутренняя $g(x) = 6x - 7$.

Находим производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{9}u^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}u^{-\frac{8}{9}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (6x - 7)' = 6$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{9}(6x - 7)^{-\frac{8}{9}} \cdot 6$

Упростим выражение, сократив дробь $\frac{6}{9}$ на 3:

$y' = \frac{6}{9}(6x - 7)^{-\frac{8}{9}} = \frac{2}{3}(6x - 7)^{-\frac{8}{9}} = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x - 7)^8}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x - 7)^8}}$.

г)

Дана функция $y = \sqrt[5]{2x + 1}$.

Представим ее в виде степенной функции: $y = (2x + 1)^{\frac{1}{5}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{5}}$, внутренняя $g(x) = 2x + 1$.

Находим производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{5}u^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}u^{-\frac{4}{5}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x + 1)' = 2$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{5}(2x + 1)^{-\frac{4}{5}} \cdot 2$

Упростим выражение:

$y' = \frac{2}{5(2x + 1)^{\frac{4}{5}}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x + 1)^4}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x + 1)^4}}$.

34.21 a) $y = \sqrt[4]{\frac{2x - 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}{x - 3}$

б) $y = \frac{\sqrt[6]{x^2 - 5x}}{2x + 2} - \sqrt{\frac{2x + 3}{x - 4}}$

а)

Область определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{2x-5}{4x+8}} + \frac{\sqrt{x^2+2x-3}}{x-3}$ находится из системы неравенств, которая учитывает все ограничения:

1. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $ \frac{2x-5}{4x+8} \ge 0 $

2. Выражение под квадратным корнем (тоже четная степень) должно быть неотрицательным: $ x^2+2x-3 \ge 0 $

3. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ x-3 \ne 0 $

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решение неравенства $\frac{2x-5}{4x+8} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x-5=0 \Rightarrow x = 2.5$
$4x+8=0 \Rightarrow x = -2$
Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=2.5$ включается в решение (нестрогое неравенство), а точка $x=-2$ исключается (знаменатель). Проверим знаки на интервалах:
- $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, $\frac{2(-3)-5}{4(-3)+8} = \frac{-11}{-4} > 0$. Интервал подходит.
- $(-2; 2.5]$: возьмем $x=0$, $\frac{-5}{8} < 0$. Интервал не подходит.
- $[2.5; +\infty)$: возьмем $x=3$, $\frac{2(3)-5}{4(3)+8} = \frac{1}{20} > 0$. Интервал подходит.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup [2.5; +\infty)$.

2. Решение неравенства $x^2+2x-3 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1=-3$ и $x_2=1$.
График функции $f(x)=x^2+2x-3$ — это парабола с ветвями вверх. Следовательно, функция неотрицательна при $x \le -3$ и при $x \ge 1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

3. Условие $x-3 \ne 0$ дает нам $x \ne 3$.

Найдем пересечение всех решений.
Нам нужно найти $x$, удовлетворяющий всем трем условиям:
$x \in ((-\infty; -2) \cup [2.5; +\infty)) \cap ((-\infty; -3] \cup [1; +\infty)) \cap \{x \ne 3\}$.
Рассмотрим пересечение на числовой прямой.
- Пересечение интервала $(-\infty; -2)$ с множеством $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает $(-\infty; -3]$.
- Пересечение интервала $[2.5; +\infty)$ с множеством $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает $[2.5; +\infty)$.
Теперь учтем условие $x \ne 3$.
Первый полученный интервал $(-\infty; -3]$ не содержит $x=3$.
Из второго интервала $[2.5; +\infty)$ нужно исключить точку $x=3$, что дает нам $[2.5; 3) \cup (3; +\infty)$.
Объединив результаты, получаем итоговую область определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [2.5; 3) \cup (3; +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt[6]{x^2-5x}}{2x+2} - \sqrt{\frac{2x+3}{x-4}}$ находится из системы неравенств:

1. Выражение под корнем четной (шестой) степени должно быть неотрицательным: $ x^2-5x \ge 0 $

2. Знаменатель первой дроби не может быть равен нулю: $ 2x+2 \ne 0 $

3. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $ \frac{2x+3}{x-4} \ge 0 $

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решение неравенства $x^2-5x \ge 0$.
$x(x-5) \ge 0$.
Корни уравнения $x(x-5)=0$ — это $x=0$ и $x=5$.
График $f(x)=x^2-5x$ — парабола с ветвями вверх. Значения неотрицательны на концах, вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

2. Условие $2x+2 \ne 0$ дает $2x \ne -2 \Rightarrow x \ne -1$.

3. Решение неравенства $\frac{2x+3}{x-4} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$2x+3=0 \Rightarrow x = -1.5$
$x-4=0 \Rightarrow x = 4$
Отметим точки на оси. $x=-1.5$ включается, $x=4$ исключается.
Проверим знаки на интервалах:
- $(-\infty; -1.5]$: возьмем $x=-2$, $\frac{2(-2)+3}{-2-4} = \frac{-1}{-6} > 0$. Интервал подходит.
- $[-1.5; 4)$: возьмем $x=0$, $\frac{3}{-4} < 0$. Интервал не подходит.
- $(4; +\infty)$: возьмем $x=5$, $\frac{2(5)+3}{5-4} = \frac{13}{1} > 0$. Интервал подходит.
Решение третьего неравенства: $x \in (-\infty; -1.5] \cup (4; +\infty)$.

Найдем пересечение всех решений.
Объединим условия 1 и 2: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0] \cup [5; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение этого множества с решением третьего неравенства $x \in (-\infty; -1.5] \cup (4; +\infty)$.
- Пересечение $(-\infty; -1) \cup (-1; 0] \cup [5; +\infty)$ с $(-\infty; -1.5]$ дает $(-\infty; -1.5]$.
- Пересечение $(-\infty; -1) \cup (-1; 0] \cup [5; +\infty)$ с $(4; +\infty)$ дает $[5; +\infty)$.
Объединив эти два результата, получаем итоговую область определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [5; +\infty)$.

34.14 $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Проанализируем заданную кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} \frac{3}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt[3]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Функция определена для всех значений $x$. При $x < 0$ выражение $\frac{3}{x}$ определено, так как знаменатель не равен нулю. При $x \ge 0$ выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех неотрицательных чисел. Таким образом, область определения функции - все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Проверим выполнение условий четности/нечетности: $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$. Возьмем $x=1$. Тогда $-x=-1$. $y(1) = \sqrt[3]{1} = 1$. $y(-1) = \frac{3}{-1} = -3$. Сравниваем: $y(-1) = -3 \neq y(1) = 1$ (условие четности не выполнено) и $y(-1) = -3 \neq -y(1) = -1$ (условие нечетности не выполнено). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Функция состоит из двух элементарных функций, непрерывных на своих интервалах определения. На интервале $(-\infty, 0)$ функция $y = \frac{3}{x}$ непрерывна. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на $[0, +\infty)$. Исследуем точку $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции. Найдем односторонние пределы в точке $x=0$: Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} \frac{3}{x} = -\infty$. Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{0} = 0$. Значение функции в точке $x=0$: $y(0) = \sqrt[3]{0} = 0$. Поскольку левосторонний предел равен бесконечности, а правосторонний предел конечен, в точке $x=0$ функция терпит разрыв II рода. Так как $\lim_{x \to 0^+} y = y(0)$, функция непрерывна в точке $x=0$ справа.

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty, 0) \cup [0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеется разрыв II рода.

Вертикальная асимптота: как было показано при исследовании на непрерывность, $\lim_{x \to 0^-} y = -\infty$. Следовательно, прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой (при $x \to 0^-$). Горизонтальные асимптоты: найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x} = 0$. Следовательно, прямая $y=0$ (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x} = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет. Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{2/3}} = 0$. $b = \lim_{x \to +\infty} (y - kx) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt[3]{x} - 0 \cdot x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x} = +\infty$. Так как $b$ не является конечным числом, наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.

Ответ: Вертикальная асимптота $x=0$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

Найдем производную функции на каждом из интервалов. При $x < 0$: $y' = (\frac{3}{x})' = (3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x < 0$, то $y' < 0$. Следовательно, функция строго убывает на интервале $(-\infty, 0)$. При $x > 0$: $y' = (\sqrt[3]{x})' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Так как $\sqrt[3]{x^2} > 0$ для всех $x > 0$, то $y' > 0$. Следовательно, функция строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$. Производная нигде не обращается в ноль. Точка $x=0$ является критической, так как в ней функция имеет разрыв. Поскольку слева от точки $x=0$ функция убывает, а справа возрастает, но в самой точке разрыв, то классических точек экстремума у функции нет. В точке $x=0$ значение функции $y(0)=0$, но это не локальный минимум, так как для любого $x<0$ значение $y(x) < 0$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. Экстремумов нет.

Найдем вторую производную функции. При $x < 0$: $y'' = (-\frac{3}{x^2})' = (-3x^{-2})' = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}$. Так как при $x<0$ $x^3 < 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 0)$ график функции выпуклый вверх (вогнутый). При $x > 0$: $y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = \frac{1}{3}(-\frac{2}{3})x^{-5/3} = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$. Так как при $x>0$ $\sqrt[3]{x^5} > 0$, то $y'' < 0$. Следовательно, на интервале $(0, +\infty)$ график функции также выпуклый вверх (вогнутый). Вторая производная нигде не равна нулю, и знак ее не меняется на интервалах определения, поэтому точек перегиба нет.

Ответ: График функции выпуклый вверх (вогнутый) на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

При $x < 0$ функция $y = \frac{3}{x}$ принимает все значения из интервала $(-\infty, 0)$. При $x \ge 0$ функция $y = \sqrt[3]{x}$ принимает все значения из промежутка $[0, +\infty)$. Объединяя эти два множества, получаем, что область значений функции - это все действительные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Основываясь на проведенном анализе, можно описать график функции. 1. График состоит из двух частей, разделенных в точке $x=0$. 2. При $x < 0$ это ветвь гиперболы $y = \frac{3}{x}$, расположенная в III координатной четверти. График выпуклый вверх, имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ и вертикальную асимптоту $x=0$ (ветвь уходит к $-\infty$). Контрольные точки: $(-3, -1)$, $(-1, -3)$. 3. При $x \ge 0$ это график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Он начинается в точке $(0,0)$ (точка закрашена), монотонно возрастает и является выпуклым вверх. Контрольные точки: $(1,1)$, $(8,2)$. 4. Функция является убывающей на $(-\infty, 0)$ и возрастающей на $(0, +\infty)$, не имеет экстремумов и точек перегиба. 5. В точке $x=0$ наблюдается разрыв II рода.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей: ветви гиперболы $y=3/x$ в третьей четверти для $x<0$ и графика кубического корня $y=\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$, который начинается в точке $(0,0)$.

34.18 а) $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4};$

б) $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x};$

в) $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1};$

г) $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}.$

а)

Область определения функции $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4}$ находится из условия, что подкоренные выражения корней четной степени (в данном случае, 2 и 4) должны быть неотрицательными. Это требование приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 5x + 8 \ge 0 \\ 2x - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $5x + 8 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge -8 \Rightarrow x \ge -\frac{8}{5}$

2) $2x - 4 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2$

Областью определения функции является пересечение решений этих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые одновременно больше или равны $-1.6$ и больше или равны $2$. Общим решением является $x \ge 2$.

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

б)

Для функции $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x}$ оба корня имеют четную степень (6 и 8), поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ 5 - 10x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x + 1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -1 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{2}$

2) $5 - 10x \ge 0 \Rightarrow 5 \ge 10x \Rightarrow \frac{5}{10} \ge x \Rightarrow x \le \frac{1}{2}$

Область определения — это пересечение решений, то есть все $x$, удовлетворяющие условию $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-0.5; 0.5]$.

в)

Для функции $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1}$ оба корня имеют четную степень (10 и 4), поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 12 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x - 12 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 12 \Rightarrow x \ge 4$

2) $2x - 1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$

Пересечением множеств решений $x \ge 4$ и $x \ge 0.5$ является множество $x \ge 4$.

Ответ: $D(y) = [4; +\infty)$.

г)

Для функции $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}$ оба корня имеют четную степень (2 и 12), поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 8 - 16x \ge 0 \\ 10x + 20 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $8 - 16x \ge 0 \Rightarrow 8 \ge 16x \Rightarrow \frac{8}{16} \ge x \Rightarrow x \le \frac{1}{2}$

2) $10x + 20 \ge 0 \Rightarrow 10x \ge -20 \Rightarrow x \ge -2$

Область определения — это пересечение решений, то есть все $x$, удовлетворяющие условию $-2 \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-2; 0.5]$.

34.15 $y = \begin{cases} \sqrt[5]{x}, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Проведем полное исследование данной кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \sqrt[5]{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Функция определена для всех значений $x$, так как выражение $\sqrt[5]{x}$ определено для $x < 0$, а выражение $\sqrt{x}$ определено для $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции охватывает все действительные числа.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = \sqrt[5]{x}$ является элементарной и непрерывной. На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = \sqrt{x}$ также является элементарной и непрерывной. Исследуем непрерывность в точке $x=0$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

Значение функции: $y(0) = \sqrt{0} = 0$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \sqrt[5]{x} = 0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=0$ равны, функция непрерывна в этой точке. Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, точек разрыва нет.

Проверим функцию на четность. Для этого сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$. Возьмем, например, $x=1$:

$y(1) = \sqrt{1} = 1$.

$y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$.

Так как $y(-1) = -y(1)$, это может указывать на нечетность. Проверим для другого значения, например, $x=4$:

$y(4) = \sqrt{4} = 2$.

$y(-4) = \sqrt[5]{-4} \approx -1.32$.

Здесь $y(-4) \ne -y(4)$ ($-2$) и $y(-4) \ne y(4)$ ($2$). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция также не является периодической.

Ответ: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной) и непериодическая.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y(0) = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0,0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0$.

Если $x < 0$, то $\sqrt[5]{x} = 0 \implies x=0$, что не входит в рассматриваемый промежуток.

Если $x \ge 0$, то $\sqrt{x} = 0 \implies x=0$.

Единственная точка пересечения с обеими осями — это начало координат.

Ответ: Точка пересечения с осями координат — $(0,0)$.

Найдем производную функции для каждого интервала:

При $x < 0$: $y'(x) = (\sqrt[5]{x})' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

При $x > 0$: $y'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

В точке $x=0$ производная не определена. Найдем пределы производной при $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0^-} y'(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} = +\infty$.

$\lim_{x \to 0^+} y'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$.

Поскольку производная в точке $x=0$ не существует, $x=0$ является критической точкой. Касательная к графику в этой точке вертикальна.

Найдем другие критические точки, приравняв производную к нулю. Ни для $x<0$, ни для $x>0$ производная не обращается в ноль ($y'(x) > 0$ на обоих интервалах).

Ответ: Производная $y' = \begin{cases} \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}, & x < 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x}}, & x > 0 \end{cases}$. Единственная критическая точка $x=0$.

Проанализируем знак производной. На промежутке $(-\infty, 0)$ имеем $y'(x) = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} > 0$. На промежутке $(0, +\infty)$ имеем $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$.

Так как производная положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку производная не меняет знак, точек экстремума у функции нет.

Ответ: Функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума нет.

Найдем вторую производную:

При $x < 0$: $y''(x) = (\frac{1}{5}x^{-4/5})' = \frac{1}{5}(-\frac{4}{5})x^{-9/5} = -\frac{4}{25x\sqrt[5]{x^4}}$.

При $x > 0$: $y''(x) = (\frac{1}{2}x^{-1/2})' = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

Проанализируем знак второй производной:

При $x < 0$, знаменатель $25x\sqrt[5]{x^4}$ отрицателен (т.к. $x<0$), поэтому $y''(x) > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).

При $x > 0$, знаменатель $4x\sqrt{x}$ положителен, поэтому $y''(x) < 0$. График функции выпуклый (выпуклый вверх).

В точке $x=0$ происходит смена знака второй производной, а функция непрерывна. Следовательно, $(0,0)$ является точкой перегиба.

Ответ: График функции вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, +\infty)$. Точка $(0,0)$ — точка перегиба.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.

Проверим наличие наклонных асимптот вида $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$.

$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[5]{x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{4/5}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{x^4}} = 0$.

Так как в обоих случаях $k=0$, а пределы $\lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - 0 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} y(x)$ равны $\pm\infty$, то горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

На основе проведенного анализа можно сделать выводы о поведении графика. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, проходит через начало координат. Она строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, область значений функции — все действительные числа. График не имеет экстремумов и асимптот. В точке $(0,0)$ имеется точка перегиба и вертикальная касательная. При $x<0$ график вогнут, а при $x>0$ — выпуклый.

Ключевые точки для построения: $(-32, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Ответ: Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График представляет собой соединение двух ветвей: ветви функции $y=\sqrt[5]{x}$ для $x<0$ и ветви функции $y=\sqrt{x}$ для $x \ge 0$.

34.19 a) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$;

Б) $y = \sqrt[12]{15 - x^2 + 2x}$;

В) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$;

Г) $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$ находится из условия, что выражение под знаком корня четной степени (в данном случае, квадратного) должно быть неотрицательным.

Необходимо решить неравенство:

$x^2 + 4x - 12 \ge 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -4$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$. Отсюда находим корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 4x - 12$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $(-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

б)

Для функции $y = \sqrt[12]{15 - x^2 + 2x}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения, так как степень корня 12 — четная.

Решим неравенство:

$15 - x^2 + 2x \ge 0$

Перепишем его в стандартном виде и умножим на -1, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$-x^2 + 2x + 15 \ge 0$

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 15 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является отрезок $[-3, 5]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 5]$.

в)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения.

Решим неравенство:

$x^2 - 8x + 12 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - 8x + 12 \ge 0$ справедливо для значений $x$ вне интервала между корнями.

Таким образом, решением является объединение промежутков: $(-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

г)

Для функции $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку степень корня 6 — четная.

Решим неравенство:

$4 - x^2 - 3x \ge 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 3x - 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решением является отрезок $[-4, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-4, 1]$.

Найдите область определения функции:

34.16 a) $y = \sqrt[4]{2x - 4};$

б) $y = \sqrt[8]{2 - 3x};$

в) $y = \sqrt[6]{3x - 9};$

г) $y = \sqrt[12]{1 - 5x}.$

а) $y = \sqrt[4]{2x - 4}$

Область определения функции, содержащей корень четной степени, определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае показатель корня равен 4 (четное число), поэтому выражение под корнем должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$2x - 4 \geq 0$

Перенесем -4 в правую часть неравенства, изменив знак:

$2x \geq 4$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \geq 2$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$

б) $y = \sqrt[8]{2 - 3x}$

Показатель корня равен 8 (четное число), следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$2 - 3x \geq 0$

Перенесем 2 в правую часть неравенства:

$-3x \geq -2$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{-2}{-3}$

$x \leq \frac{2}{3}$

Область определения функции — это все числа, меньшие или равные $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{3}]$

в) $y = \sqrt[6]{3x - 9}$

Показатель корня равен 6 (четное число), поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$3x - 9 \geq 0$

Перенесем -9 в правую часть:

$3x \geq 9$

Разделим обе части на 3:

$x \geq 3$

Область определения функции — это все числа, большие или равные 3.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$

г) $y = \sqrt[12]{1 - 5x}$

Показатель корня равен 12 (четное число), следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$1 - 5x \geq 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-5x \geq -1$

Разделим обе части на -5, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:

$x \leq \frac{-1}{-5}$

$x \leq \frac{1}{5}$

Область определения функции — это все числа, меньшие или равные $\frac{1}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{5}]$

34.20 а) $y = \sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}}$

б) $y = \sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}}$

В) $y = \sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}}$

Г) $y = \sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}$

а)

Дана функция $y = \sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}}$.

Поскольку корень имеет четную степень (4), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Эти два условия можно объединить в одно неравенство:

$\frac{x-8}{3x+5} \ge 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.

1. Находим нули числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка является решением и будет включена в интервал.

2. Находим нули знаменателя: $3x + 5 = 0 \implies 3x = -5 \implies x = -\frac{5}{3}$. Эта точка не является решением, так как на ноль делить нельзя, и будет исключена из интервала.

3. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знак выражения в каждом из полученных интервалов.

Для интервала $(-\infty; -\frac{5}{3})$ возьмем пробную точку $x = -2$. Получим $\frac{-2-8}{3(-2)+5} = \frac{-10}{-1} = 10$, что больше нуля. Этот интервал подходит.

Для интервала $(-\frac{5}{3}; 8)$ возьмем пробную точку $x = 0$. Получим $\frac{0-8}{3(0)+5} = -\frac{8}{5}$, что меньше нуля. Этот интервал не подходит.

Для интервала $[8; +\infty)$ возьмем пробную точку $x = 9$. Получим $\frac{9-8}{3(9)+5} = \frac{1}{32}$, что больше нуля. Этот интервал подходит.

Область определения функции — это объединение интервалов, в которых выражение неотрицательно.

Ответ: $(-\infty; -\frac{5}{3}) \cup [8; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = \sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}}$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (5), подкоренное выражение может принимать любые действительные значения. Единственное ограничение для области определения этой функции — знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$4 + 3x = 0$

$3x = -4$

$x = -\frac{4}{3}$

Это значение $x$ необходимо исключить из области определения.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; +\infty)$.

в)

Дана функция $y = \sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}}$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (3), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Следовательно, единственное ограничение накладывается на знаменатель дроби, который не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$7 - 2x = 0$

$2x = 7$

$x = \frac{7}{2}$

Это значение $x$ должно быть исключено из области определения функции.

Таким образом, область определения — это множество всех действительных чисел, за исключением $x = \frac{7}{2}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}; +\infty)$.

г)

Дана функция $y = \sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}$.

Корень имеет четную степень (6), поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным. Также знаменатель дроби не должен равняться нулю. Объединяем эти условия в одно неравенство:

$\frac{3-7x}{2x+9} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

1. Находим корень числителя: $3 - 7x = 0 \implies 7x = 3 \implies x = \frac{3}{7}$. Эта точка включается в решение.

2. Находим корень знаменателя: $2x + 9 = 0 \implies 2x = -9 \implies x = -\frac{9}{2}$. Эта точка исключается из решения.

3. Отмечаем точки $-\frac{9}{2}$ и $\frac{3}{7}$ на числовой оси и определяем знаки дроби в интервалах.

Для интервала $(-\infty; -\frac{9}{2})$ возьмем $x = -5$. Получим $\frac{3-7(-5)}{2(-5)+9} = \frac{3+35}{-10+9} = \frac{38}{-1} < 0$. Интервал не подходит.

Для интервала $(-\frac{9}{2}; \frac{3}{7}]$ возьмем $x = 0$. Получим $\frac{3-7(0)}{2(0)+9} = \frac{3}{9} > 0$. Интервал подходит.

Для интервала $[\frac{3}{7}; +\infty)$ возьмем $x = 1$. Получим $\frac{3-7(1)}{2(1)+9} = \frac{-4}{11} < 0$. Интервал не подходит.

Таким образом, решением неравенства является интервал, где выражение неотрицательно.

Ответ: $(-\frac{9}{2}; \frac{3}{7}]$.

1. Выразите через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$ выражение $\sin (s + t)$.

1. Чтобы выразить данное выражение через тригонометрические функции от переменных $s$ и $t$, необходимо применить формулу синуса суммы двух углов. Эта формула является одной из основных тригонометрических тождеств и выглядит следующим образом:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$
В нашем случае мы имеем выражение $\sin(s + t)$. Применим к нему указанную формулу, взяв в качестве $\alpha$ переменную $s$, а в качестве $\beta$ — переменную $t$.
Подставляем $s$ и $t$ в формулу:
$\sin(s + t) = \sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)$
Таким образом, мы выразили $\sin(s + t)$ через произведение синусов и косинусов его слагаемых $s$ и $t$.
Ответ: $\sin(s + t) = \sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)$.

2. Выразите через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$ выражение $\cos (u + v)$.

Чтобы выразить $\cos(u+v)$ через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$, необходимо применить формулу косинуса суммы. Это одна из фундаментальных формул сложения в тригонометрии.

Формула гласит, что косинус суммы двух углов равен произведению косинусов этих углов минус произведение синусов этих углов.

$\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$

Геометрическое доказательство формулы:

Доказательство можно провести, используя единичную окружность и свойство равенства хорд, стягивающих равные дуги.

Возьмем на единичной окружности четыре точки, соответствующие углам, отложенным от положительного направления оси абсцисс:

• Точка $P_0$ с углом $0$. Ее координаты $(1, 0)$.
• Точка $P_u$ с углом $u$. Ее координаты $(\cos u, \sin u)$.
• Точка $P_{u+v}$ с углом $u+v$. Ее координаты $(\cos(u+v), \sin(u+v))$.
• Точка $P_{-v}$ с углом $-v$. Ее координаты $(\cos(-v), \sin(-v)) = (\cos v, -\sin v)$.

Рассмотрим две дуги на этой окружности. Дуга $\cup P_{-v}P_u$ имеет угловую меру, равную $u - (-v) = u+v$. Дуга $\cup P_0P_{u+v}$ имеет угловую меру $(u+v) - 0 = u+v$.

Так как угловые меры дуг равны, то и длины стягивающих их хорд также равны: $|P_{-v}P_u| = |P_0P_{u+v}|$. Следовательно, равны и квадраты их длин: $|P_{-v}P_u|^2 = |P_0P_{u+v}|^2$.

Вычислим квадрат длины каждой хорды, используя формулу расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

1. Для хорды $P_0P_{u+v}$:
$|P_0P_{u+v}|^2 = (\cos(u+v) - 1)^2 + (\sin(u+v) - 0)^2$
$= \cos^2(u+v) - 2\cos(u+v) + 1 + \sin^2(u+v)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$= (\cos^2(u+v) + \sin^2(u+v)) + 1 - 2\cos(u+v) = 1 + 1 - 2\cos(u+v) = 2 - 2\cos(u+v)$.

2. Для хорды $P_{-v}P_u$:
$|P_{-v}P_u|^2 = (\cos u - \cos v)^2 + (\sin u - (-\sin v))^2$
$= (\cos u - \cos v)^2 + (\sin u + \sin v)^2$
$= (\cos^2 u - 2\cos u \cos v + \cos^2 v) + (\sin^2 u + 2\sin u \sin v + \sin^2 v)$
Сгруппируем слагаемые:
$= (\cos^2 u + \sin^2 u) + (\cos^2 v + \sin^2 v) - 2\cos u \cos v + 2\sin u \sin v$
$= 1 + 1 - 2(\cos u \cos v - \sin u \sin v) = 2 - 2(\cos u \cos v - \sin u \sin v)$.

Теперь приравняем полученные выражения для квадратов длин хорд:
$2 - 2\cos(u+v) = 2 - 2(\cos u \cos v - \sin u \sin v)$
Вычтем $2$ из обеих частей уравнения:
$-2\cos(u+v) = -2(\cos u \cos v - \sin u \sin v)$
Разделим обе части на $-2$:
$\cos(u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$.

Таким образом, искомое выражение $\cos(u+v)$ выражается через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$ с помощью доказанной формулы.

Ответ: $\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$.

3. Выразите через тригонометрические функции переменных $z$ и $w$ выражение $\sin (z - w)$.

3. Для того чтобы выразить выражение $\sin(z - w)$ через тригонометрические функции от переменных $z$ и $w$, необходимо применить известную тригонометрическую формулу синуса разности двух углов.

Формула синуса разности имеет следующий вид:

$\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$

Применим эту формулу к нашему случаю, где $A=z$ и $B=w$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$\sin(z - w) = \sin(z)\cos(w) - \cos(z)\sin(w)$

Полученное выражение является представлением $\sin(z-w)$ через тригонометрические функции $\sin$ и $\cos$ от каждой из переменных $z$ и $w$ в отдельности.

Ответ: $\sin(z - w) = \sin(z)\cos(w) - \cos(z)\sin(w)$

4. Выразите через тригонометрические функции переменных $\alpha$ и $\beta$ выражение $\cos (\alpha - \beta)$.

Для того чтобы выразить $\cos(\alpha - \beta)$ через тригонометрические функции переменных $\alpha$ и $\beta$, необходимо применить формулу косинуса разности двух углов. Это является стандартным тригонометрическим тождеством.

Формула косинуса разности гласит, что косинус разности двух углов равен сумме произведения косинусов этих углов и произведения синусов этих углов.

Математически это записывается так:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Это выражение и является ответом на поставленный вопрос, так как оно представляет $\cos(\alpha - \beta)$ через тригонометрические функции, аргументами которых являются только $\alpha$ или $\beta$.

Ответ: $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$

5. Дано тождество $ \sin 2x \cos 5x + \cos 2x \sin 5x = f(x)$. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 3x$;

б) $f(x) = \cos 3x$;

в) $f(x) = \sin 7x$;

г) $f(x) = \cos 7x?$

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо упростить данное тождество $f(x) = \sin 2x \cos 5x + \cos 2x \sin 5x$.

Это выражение соответствует тригонометрической формуле синуса суммы двух углов, которая выглядит следующим образом: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В нашем случае мы можем обозначить $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу: $f(x) = \sin(2x + 5x)$.

Выполнив сложение аргументов, получим итоговую функцию: $f(x) = \sin(7x)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, приходим к выводу, что верным является утверждение в).

Ответ: в) $f(x) = \sin 7x$.

6. Дано тождество $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x = f(x) $. Какое из приведённых ниже утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 3x$;

б) $f(x) = \cos 3x$;

в) $f(x) = \sin 7x$;

г) $f(x) = \cos 7x$?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо упростить левую часть данного тождества: $cos 2x cos 5x - sin 2x sin 5x = f(x)$.

Выражение в левой части тождества представляет собой правую часть известной тригонометрической формулы косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta$.

В нашем случае можно принять $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$. Применив формулу, получим: $f(x) = cos 2x cos 5x - sin 2x sin 5x = cos(2x + 5x)$.

Теперь выполним сложение в аргументе косинуса: $f(x) = cos(7x)$.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы можем заключить, что верным является утверждение г).

г) $f(x) = cos 7x$

Ответ: г)