Страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

35.19 Сравните числа:

а) $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$;

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$;

г) $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 2 равно 4.
Первое число уже имеет показатель 4: $\sqrt[4]{26}$.
Второе число $\sqrt{5}$ представим в виде корня с показателем 4: $\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[4]{25}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $26 > 25$.
Так как функция $y = \sqrt[n]{x}$ (при натуральном $n > 1$) является возрастающей для $x \ge 0$, из $26 > 25$ следует, что $\sqrt[4]{26} > \sqrt[4]{25}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 2 равно 6.
Приведем оба числа к корню 6-й степени:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.
$\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $25 < 27$.
Так как функция корня является возрастающей, из $25 < 27$ следует, что $\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 6 равно 6.
Второе число уже имеет показатель 6: $\sqrt[6]{47}$.
Первое число $\sqrt[3]{7}$ представим в виде корня с показателем 6: $\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 2]{7^2} = \sqrt[6]{49}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $49 > 47$.
Так как функция корня является возрастающей, из $49 > 47$ следует, что $\sqrt[6]{49} > \sqrt[6]{47}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.
Ответ: $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.

г) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$, сначала сравним их модули (положительные значения): $\sqrt[4]{4}$ и $\sqrt[3]{3}$.
Приведем корни к общему показателю. Упростим первый корень: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$.
Теперь сравним $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$. Наименьшее общее кратное показателей 2 и 3 равно 6.
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Сравним подкоренные выражения: $8 < 9$.
Значит, $\sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$, и следовательно, $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$, или $\sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.
При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный. Если $a$ и $b$ - положительные числа и $a < b$, то $-a > -b$.
Так как $\sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$, то $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.

35.23 a) $ \sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}; $

б) $ \sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}; $

в) $ \sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}; $

г) $ \sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}. $

а) $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}$. Для выполнения деления необходимо привести корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей корней 4 и 2 равно 4. Представим второй корень ($\sqrt{a}$ - это корень 2-й степени) как корень 4-й степени: $\sqrt{a} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$. Теперь выполним деление корней с одинаковым показателем: $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{\frac{a^3}{a^2}} = \sqrt[4]{a^{3-2}} = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

б) $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 12 и 6 равно 12. Преобразуем второй корень: $\sqrt[6]{ab^4} = \sqrt[6 \cdot 2]{(ab^4)^2} = \sqrt[12]{a^2b^8}$. Выполним деление: $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[12]{a^2b^8} = \sqrt[12]{\frac{a^2b^3}{a^2b^8}} = \sqrt[12]{a^{2-2}b^{3-8}} = \sqrt[12]{a^0b^{-5}} = \sqrt[12]{b^{-5}}$. Выражение можно записать в виде $\sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.
Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.

в) $\sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для 6 и 4 равно 12. Преобразуем оба корня к показателю 12: $\sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6 \cdot 2]{a^{5 \cdot 2}} = \sqrt[12]{a^{10}}$. $\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^3}$. Теперь выполним деление: $\sqrt[12]{a^{10}} : \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{\frac{a^{10}}{a^3}} = \sqrt[12]{a^{10-3}} = \sqrt[12]{a^7}$.
Ответ: $\sqrt[12]{a^7}$.

г) $\sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для 4 и 5 равно 20. Преобразуем оба корня к показателю 20: $\sqrt[4]{a^3b^5} = \sqrt[4 \cdot 5]{(a^3b^5)^5} = \sqrt[20]{a^{3 \cdot 5}b^{5 \cdot 5}} = \sqrt[20]{a^{15}b^{25}}$. $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5 \cdot 4]{(ab)^4} = \sqrt[20]{a^4b^4}$. Выполним деление: $\frac{\sqrt[20]{a^{15}b^{25}}}{\sqrt[20]{a^4b^4}} = \sqrt[20]{\frac{a^{15}b^{25}}{a^4b^4}} = \sqrt[20]{a^{15-4}b^{25-4}} = \sqrt[20]{a^{11}b^{21}}$. Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt[20]{a^{11}b^{21}} = \sqrt[20]{a^{11} \cdot b^{20} \cdot b^1} = \sqrt[20]{b^{20}} \cdot \sqrt[20]{a^{11}b} = b\sqrt[20]{a^{11}b}$.
Ответ: $b\sqrt[20]{a^{11}b}$.

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}:

35.20 a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2};$

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3};$

в) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3};$

г) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3}.$

а) Чтобы преобразовать произведение корней $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} $ к виду $ \sqrt[n]{A} $, необходимо привести их к общему показателю. Показатели корней — 2 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 2 и 4 равно 4.
Приведем корень $ \sqrt{2} $ к показателю 4, используя свойство $ \sqrt[m]{b} = \sqrt[m \cdot k]{b^k} $:
$ \sqrt{2} = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt[4]{4} $.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем:
$ \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4 \cdot 2} = \sqrt[4]{8} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{8} $.

б) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3} $. Показатели корней — 3 и 6. НОК(3, 6) = 6.
Приведем корень $ \sqrt[3]{3} $ к показателю 6:
$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.
Умножим корни:
$ \sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{9 \cdot 3} = \sqrt[6]{27} $.
Полученное выражение можно упростить. Представим подкоренное выражение в виде степени: $ 27 = 3^3 $.
$ \sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} $.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 3:
$ \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6/3]{3^{3/3}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} $. Показатели корней — 2 и 3. НОК(2, 3) = 6.
Приведем оба корня к общему показателю 6:
$ \sqrt{2} = \sqrt[2]{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} $.
$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.
Теперь выполним умножение:
$ \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{72} $.
Ответ: $ \sqrt[6]{72} $.

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3} $. Показатели корней — 4 и 6. НОК(4, 6) = 12.
Приведем оба корня к общему показателю 12:
$ \sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 3]{2^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{8} $.
$ \sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[12]{3^2} = \sqrt[12]{9} $.
Теперь выполним умножение:
$ \sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{8 \cdot 9} = \sqrt[12]{72} $.
Ответ: $ \sqrt[12]{72} $.

35.24 а) $\sqrt[3]{\sqrt{x}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$;

в) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$;

г) $\sqrt[3]{\sqrt{ab}}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ воспользуемся свойством вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.

Внешний корень является квадратным (показатель 2), а внутренний — кубическим (показатель 3).

Перемножаем показатели корней: $2 \cdot 3 = 6$.

Таким образом, получаем: $\sqrt{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[2 \cdot 3]{x} = \sqrt[6]{x}$.

Ответ: $\sqrt[6]{x}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$. Сначала используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[m \cdot n]{b}$.

Перемножаем показатели корней 3 и 2: $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.

Затем сокращаем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 3, используя свойство $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$.

$\sqrt[6]{a^3} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$.

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$. Применим свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[m \cdot n]{b}$.

Перемножаем показатели корней 5 и 3: $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^{10}} = \sqrt[15]{a^{10}}$.

Далее сократим показатель корня (15) и показатель степени подкоренного выражения (10) на их наибольший общий делитель, равный 5, по свойству $\sqrt[nk]{b^{mk}} = \sqrt[n]{b^m}$.

$\sqrt[15]{a^{10}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^{2 \cdot 5}} = \sqrt[3]{a^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a^2}$.

г)

Упростим выражение $\sqrt{\sqrt[3]{ab}}$. Показатель внешнего (квадратного) корня равен 2, а внутреннего (кубического) — 3.

Используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{c}} = \sqrt[m \cdot n]{c}$.

Перемножаем показатели: $2 \cdot 3 = 6$.

$\sqrt{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[2 \cdot 3]{ab} = \sqrt[6]{ab}$.

В данном случае дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\sqrt[6]{ab}$.

Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:

35.17 а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$;

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$;

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$;

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}.

а) Чтобы привести радикалы $ \sqrt[3]{2} $ и $ \sqrt[6]{3} $ к одинаковому показателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их показателей, то есть чисел 3 и 6.

НОК(3, 6) = 6.

Следовательно, общим показателем корня будет 6. Для приведения радикалов к этому показателю воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k} $, где показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножаются на одно и то же натуральное число.

Для первого радикала $ \sqrt[3]{2} $ дополнительный множитель для показателя корня равен $ 6 \div 3 = 2 $. Возведем подкоренное выражение в степень 2:

$ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[6]{4} $.

Второй радикал $ \sqrt[6]{3} $ уже имеет показатель 6, поэтому он остается без изменений.

В результате получаем два радикала с одинаковым показателем 6.

Ответ: $ \sqrt[6]{4} $ и $ \sqrt[6]{3} $.

б) Даны радикалы $ \sqrt[4]{5} $ и $ \sqrt[3]{9} $. Найдем НОК их показателей 4 и 3.

НОК(4, 3) = 12.

Общий показатель корня — 12. Приведем каждый радикал к этому показателю.

Для первого радикала $ \sqrt[4]{5} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 4 = 3 $:

$ \sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125} $.

Для второго радикала $ \sqrt[3]{9} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 3 = 4 $:

$ \sqrt[3]{9} = \sqrt[3 \cdot 4]{9^4} = \sqrt[12]{6561} $.

Таким образом, мы привели радикалы к общему показателю 12.

Ответ: $ \sqrt[12]{125} $ и $ \sqrt[12]{6561} $.

в) Даны радикалы $ \sqrt[4]{7} $ и $ \sqrt[12]{8} $. Найдем НОК их показателей 4 и 12.

НОК(4, 12) = 12.

Общий показатель корня — 12. Приведем первый радикал к этому показателю.

Для радикала $ \sqrt[4]{7} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 4 = 3 $:

$ \sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343} $.

Второй радикал $ \sqrt[12]{8} $ уже имеет показатель 12, поэтому он остается без изменений.

В результате получаем два радикала с одинаковым показателем 12.

Ответ: $ \sqrt[12]{343} $ и $ \sqrt[12]{8} $.

г) Даны радикалы $ \sqrt[3]{3} $ и $ \sqrt[5]{2} $. Найдем НОК их показателей 3 и 5.

НОК(3, 5) = 15.

Общий показатель корня — 15. Приведем каждый радикал к этому показателю.

Для первого радикала $ \sqrt[3]{3} $ дополнительный множитель равен $ 15 \div 3 = 5 $:

$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243} $.

Для второго радикала $ \sqrt[5]{2} $ дополнительный множитель равен $ 15 \div 5 = 3 $:

$ \sqrt[5]{2} = \sqrt[5 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[15]{8} $.

Таким образом, мы привели радикалы к общему показателю 15.

Ответ: $ \sqrt[15]{243} $ и $ \sqrt[15]{8} $.

35.21 a) $\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt{3b}$;

б) $\sqrt{2a} \cdot \sqrt[6]{4a^5}$;

в) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{a^5}$;

г) $\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[6]{3y^3}$.

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. В данном случае имеем корень четвертой степени $\sqrt[4]{3b^3}$ и корень второй степени (квадратный корень) $\sqrt{3b}$. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 2 равно 4.
Приведем второй множитель к показателю 4:
$\sqrt{3b} = \sqrt[2 \cdot 2]{(3b)^2} = \sqrt[4]{9b^2}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем:
$\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt[4]{9b^2} = \sqrt[4]{3b^3 \cdot 9b^2} = \sqrt[4]{27b^5}$.
Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Заметим, что $b^5 = b^4 \cdot b$. Область допустимых значений для исходного выражения определяется условиями $3b^3 \ge 0$ и $3b \ge 0$, что равносильно $b \ge 0$.
$\sqrt[4]{27b^5} = \sqrt[4]{27 \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{27b} = |b|\sqrt[4]{27b}$.
Поскольку $b \ge 0$, то $|b| = b$.
Таким образом, $\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt{3b} = b\sqrt[4]{27b}$.
Ответ: $b\sqrt[4]{27b}$.

б) В выражении $\sqrt{2a} \cdot \sqrt[6]{4a^5}$ показатели корней равны 2 и 6. Наименьшее общее кратное для них равно 6.
Приведем первый множитель к показателю 6:
$\sqrt{2a} = \sqrt[2 \cdot 3]{(2a)^3} = \sqrt[6]{8a^3}$.
Теперь умножим корни:
$\sqrt[6]{8a^3} \cdot \sqrt[6]{4a^5} = \sqrt[6]{8a^3 \cdot 4a^5} = \sqrt[6]{32a^8}$.
Вынесем множитель из-под знака корня. Учтем, что $a^8 = a^6 \cdot a^2$. Область допустимых значений: $2a \ge 0$ и $4a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.
$\sqrt[6]{32a^8} = \sqrt[6]{32 \cdot a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{32a^2} = |a|\sqrt[6]{32a^2}$.
Так как $a \ge 0$, то $|a| = a$.
В результате получаем $a\sqrt[6]{32a^2}$.
Ответ: $a\sqrt[6]{32a^2}$.

в) В выражении $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{a^5}$ показатели корней равны 2 и 6. Наименьший общий показатель - 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt{a} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.
Перемножим корни:
$\sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6]{a^3 \cdot a^5} = \sqrt[6]{a^8}$.
Упростим выражение. Область допустимых значений: $a \ge 0$.
$\sqrt[6]{a^8} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{a^2} = |a|\sqrt[6]{a^2}$.
Поскольку $a \ge 0$, то $|a| = a$. Получаем $a\sqrt[6]{a^2}$.
Корень $\sqrt[6]{a^2}$ можно упростить, сократив показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2:
$\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[6/2]{a^{2/2}} = \sqrt[3]{a}$.
Окончательный результат: $a\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

г) В выражении $\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[6]{3y^3}$ показатели корней равны 3 и 6. Наименьший общий показатель - 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{y} = \sqrt[3 \cdot 2]{y^2} = \sqrt[6]{y^2}$.
Теперь выполним умножение:
$\sqrt[6]{y^2} \cdot \sqrt[6]{3y^3} = \sqrt[6]{y^2 \cdot 3y^3} = \sqrt[6]{3y^5}$.
Область допустимых значений определяется вторым множителем: $3y^3 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
В выражении $\sqrt[6]{3y^5}$ степень подкоренного выражения (5) меньше показателя корня (6), поэтому дальнейшее упрощение (вынесение множителя из-под знака корня) невозможно.
Ответ: $\sqrt[6]{3y^5}$.

35.25 Решите уравнение:

a) $ \frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}; $

б) $ \sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6. $

а) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$

Для решения данного уравнения введем замену, чтобы упростить его вид. Пусть $y = \sqrt[3]{5x}$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{1}{2}y + 13 + \frac{y}{5} = 2y$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $y$. Перенесем все слагаемые, содержащие $y$, в одну часть уравнения, а числовые значения — в другую.

$13 = 2y - \frac{1}{2}y - \frac{1}{5}y$

Чтобы выполнить вычитание, приведем все коэффициенты при $y$ к общему знаменателю 10.

$13 = \frac{20}{10}y - \frac{5}{10}y - \frac{2}{10}y$

$13 = \frac{20 - 5 - 2}{10}y$

$13 = \frac{13}{10}y$

Теперь выразим $y$:

$y = 13 \cdot \frac{10}{13}$

$y = 10$

Теперь, когда мы нашли значение $y$, вернемся к нашей замене $y = \sqrt[3]{5x}$:

$\sqrt[3]{5x} = 10$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{5x})^3 = 10^3$

$5x = 1000$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{1000}{5}$

$x = 200$

Ответ: $200$.

б) $\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$

В данном уравнении переменная $x$ находится под знаком корня четвертой степени. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Упростим слагаемые в левой части уравнения, вынося множители из-под знака корня:

$\sqrt[4]{32x} = \sqrt[4]{16 \cdot 2x} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2x} = 2\sqrt[4]{2x}$

$\sqrt[4]{162x} = \sqrt[4]{81 \cdot 2x} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2x} = 3\sqrt[4]{2x}$

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2x} + 2\sqrt[4]{2x} + 3\sqrt[4]{2x} = 6$

Сложим подобные члены в левой части:

$(1 + 2 + 3)\sqrt[4]{2x} = 6$

$6\sqrt[4]{2x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$\sqrt[4]{2x} = 1$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{2x})^4 = 1^4$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Полученное значение $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

35.18 a) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$;

б) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$;

в) $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$;

г) $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$, необходимо привести все корни к одному показателю. Наименьшим общим кратным для показателей 2, 3 и 6 является 6. Приведем каждый корень к 6-й степени:

$\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$
$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$
$\sqrt[6]{7}$ остается без изменений.

Теперь сравним подкоренные выражения: $7 < 16 < 27$. Поскольку функция $y=\sqrt[n]{x}$ (при $n>1$) является возрастающей для $x \ge 0$, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Таким образом, $\sqrt[6]{7} < \sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{27}$, что соответствует неравенству $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$. Сначала упростим выражение $\sqrt[4]{4}$. Так как $4 = 2^2$, то $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$. Таким образом, задача сводится к сравнению двух различных чисел: $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$.

Приведем $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$ к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для 2 и 3 это 6.
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$

Сравнивая подкоренные выражения, получаем $8 < 9$. Отсюда следует, что $\sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$, то есть $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$. Учитывая, что $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4}$, окончательно получаем: $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

в) Для сравнения чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$ приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 2, 4 и 8 равно 8.

Выполним преобразования:
$\sqrt{6} = \sqrt[2 \cdot 4]{6^4} = \sqrt[8]{1296}$
$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 2]{17^2} = \sqrt[8]{289}$
$\sqrt[8]{40}$ остается без изменений.

Сравним подкоренные выражения: $40 < 289 < 1296$. Следовательно, $\sqrt[8]{40} < \sqrt[8]{289} < \sqrt[8]{1296}$, что означает $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.

г) Сравним числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$. Приведем их к общему показателю корня, который равен наименьшему общему кратному показателей 5, 3 и 15, то есть 15.

Приводим корни к 15-й степени:
$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$
$\sqrt[15]{100}$ остается без изменений.

Сравнивая подкоренные выражения, имеем $27 < 32 < 100$. Отсюда следует, что $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{100}$, а значит $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.
Ответ: $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.

35.22 а) $ \sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[6]{4ab}; $

б) $ \sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}; $

В) $ \sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}; $

Г) $ \sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}. $

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Общий показатель для корней $\sqrt[3]{ab}$ и $\sqrt[6]{4ab}$ – это наименьшее общее кратное (НОК) их показателей, то есть НОК(3, 6) = 6.
Приведем первый корень к показателю 6. Для этого нужно показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить на 2 ($6/3=2$):
$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3 \cdot 2]{(ab)^2} = \sqrt[6]{a^2b^2}$.
Теперь, когда у корней одинаковые показатели, мы можем их перемножить, умножив их подкоренные выражения:
$\sqrt[6]{a^2b^2} \cdot \sqrt[6]{4ab} = \sqrt[6]{a^2b^2 \cdot 4ab}$.
Упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\sqrt[6]{4 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt[6]{4a^{2+1}b^{2+1}} = \sqrt[6]{4a^3b^3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{4a^3b^3}$.

б) Дано выражение $\sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}$. Наименьшее общее кратное показателей корней 5 и 10 равно 10.
Приведем первый корень к показателю 10. Дополнительный множитель для показателя равен $10/5=2$:
$\sqrt[5]{a^4b^3} = \sqrt[5 \cdot 2]{(a^4b^3)^2} = \sqrt[10]{a^{4 \cdot 2}b^{3 \cdot 2}} = \sqrt[10]{a^8b^6}$.
Теперь умножим корни с одинаковым показателем 10:
$\sqrt[10]{a^8b^6} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2} = \sqrt[10]{(a^8b^6) \cdot (a^5b^2)} = \sqrt[10]{a^{8+5}b^{6+2}} = \sqrt[10]{a^{13}b^8}$.
Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Так как степень $a$ (13) больше показателя корня (10), мы можем вынести $a$ в первой степени:
$\sqrt[10]{a^{13}b^8} = \sqrt[10]{a^{10} \cdot a^3 \cdot b^8} = a\sqrt[10]{a^3b^8}$.
Ответ: $a\sqrt[10]{a^3b^8}$.

в) В выражении $\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}$ показатели корней равны 6 и 3. Наименьшее общее кратное для них – НОК(6, 3) = 6.
Приведем второй корень к показателю 6. Дополнительный множитель для показателя равен $6/3=2$:
$\sqrt[3]{5a^3b^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5a^3b^4)^2} = \sqrt[6]{5^2(a^3)^2(b^4)^2} = \sqrt[6]{25a^6b^8}$.
Выполним умножение корней с показателем 6:
$\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[6]{25a^6b^8} = \sqrt[6]{(5ab^2) \cdot (25a^6b^8)} = \sqrt[6]{(5 \cdot 25)a^{1+6}b^{2+8}} = \sqrt[6]{125a^7b^{10}}$.
Упростим, вынеся множители, степени которых больше или равны показателю корня, из-под знака корня:
$\sqrt[6]{125a^7b^{10}} = \sqrt[6]{125 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b^4} = ab\sqrt[6]{125ab^4}$.
Ответ: $ab\sqrt[6]{125ab^4}$.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}$. Показатели корней – 8 и 6. Найдем их наименьшее общее кратное: НОК(8, 6) = 24.
Приведем оба корня к общему показателю 24.
Для первого корня дополнительный множитель равен $24 / 8 = 3$:
$\sqrt[8]{6xz} = \sqrt[8 \cdot 3]{(6xz)^3} = \sqrt[24]{6^3x^3z^3} = \sqrt[24]{216x^3z^3}$.
Для второго корня дополнительный множитель равен $24 / 6 = 4$:
$\sqrt[6]{xz^5} = \sqrt[6 \cdot 4]{(xz^5)^4} = \sqrt[24]{x^4(z^5)^4} = \sqrt[24]{x^4z^{20}}$.
Теперь перемножим полученные корни:
$\sqrt[24]{216x^3z^3} \cdot \sqrt[24]{x^4z^{20}} = \sqrt[24]{(216x^3z^3) \cdot (x^4z^{20})} = \sqrt[24]{216x^{3+4}z^{3+20}} = \sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.
Поскольку степени всех множителей под корнем (7 и 23) меньше показателя корня 24, дальнейшее упрощение (вынесение из-под корня) невозможно.
Ответ: $\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.

35.26 Вычислите:

a) $\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}};$

б) $\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}};$

в) $\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}};$

г) $\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3}.$

а) Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:
$\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5})}$.
Выражение под корнем является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Теперь вычислим корень четвертой степени из полученного числа:
$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Ответ: 2

б) Аналогично предыдущему примеру, объединим множители под один корень пятой степени:
$\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17})}$.
Применим формулу разности квадратов к подкоренному выражению:
$(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17}) = 6^2 - (2\sqrt{17})^2 = 36 - 4 \cdot 17 = 36 - 68 = -32$.
Теперь вычислим корень пятой степени:
$\sqrt[5]{-32} = -2$, так как $(-2)^5 = -32$.
Ответ: -2

в) Объединим множители под один кубический корень:
$\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37})}$.
Применим формулу разности квадратов:
$(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37}) = 8^2 - (\sqrt{37})^2 = 64 - 37 = 27$.
Вычислим кубический корень:
$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Ответ: 3

г) Снова используем свойство произведения корней и формулу разности квадратов:
$\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)}$.
Вычисляем подкоренное выражение:
$(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3) = (\sqrt{17})^2 - 3^2 = 17 - 9 = 8$.
Вычислим кубический корень из результата:
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Ответ: 2

1. Выразите через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$ выражение $tg(s + t)$.

1. Для того чтобы выразить $\text{tg}(s+t)$ через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$, мы воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Сначала запишем определение тангенса для суммы углов $s$ и $t$:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin(s+t)}{\cos(s+t)}$

Далее, используем формулы для синуса и косинуса суммы двух углов:

$\sin(s+t) = \sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)$

$\cos(s+t) = \cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)$

Подставим эти два выражения в исходную формулу для тангенса суммы:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)}$

Теперь, чтобы получить выражение, зависящее только от тангенсов $s$ и $t$, разделим и числитель, и знаменатель дроби на произведение $\cos(s)\cos(t)$. Это преобразование справедливо, если $\cos(s) \neq 0$ и $\cos(t) \neq 0$.

$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}{\frac{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}$

Разделим каждый член в числителе и знаменателе на $\cos(s)\cos(t)$:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin(s)\cos(t)}{\cos(s)\cos(t)} + \frac{\cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}{\frac{\cos(s)\cos(t)}{\cos(s)\cos(t)} - \frac{\sin(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t)}}$

После сокращения одинаковых множителей получаем:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\frac{\sin(s)}{\cos(s)} + \frac{\sin(t)}{\cos(t)}}{1 - \frac{\sin(s)}{\cos(s)} \cdot \frac{\sin(t)}{\cos(t)}}$

Поскольку $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \text{tg}(x)$, мы можем заменить эти отношения соответствующими тангенсами:

$\text{tg}(s+t) = \frac{\text{tg}(s) + \text{tg}(t)}{1 - \text{tg}(s)\text{tg}(t)}$

Это и есть искомое выражение.

Ответ: $\text{tg}(s+t) = \frac{\text{tg}(s) + \text{tg}(t)}{1 - \text{tg}(s)\text{tg}(t)}$

2. Выразите через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$ выражение $tg(u - v)$.

Чтобы выразить $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции от переменных $u$ и $v$, мы используем определение тангенса и формулы для синуса и косинуса разности двух углов.

По определению, тангенс угла есть отношение его синуса к косинусу:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u - v)}{\cos(u - v)}$

Воспользуемся формулами синуса и косинуса разности:
$\sin(u - v) = \sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)$
$\cos(u - v) = \cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)$

Подставим эти выражения в нашу формулу для тангенса:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)}$

Для того чтобы перейти от синусов и косинусов к тангенсам, разделим числитель и знаменатель дроби на произведение $\cos(u)\cos(v)$, предполагая, что $\cos(u) \neq 0$ и $\cos(v) \neq 0$:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} - \frac{\cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}{\frac{\cos(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} + \frac{\sin(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}$

После сокращения одинаковых множителей в каждой дроби получаем:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)}{\cos(u)} - \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}{1 + \frac{\sin(u)}{\cos(u)} \cdot \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}$

Так как $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tg(x)$, мы можем заменить эти отношения на соответствующие тангенсы:
$\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$

Это и есть искомое выражение $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции (в данном случае, тангенсы) от переменных $u$ и $v$.

Ответ: $\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$

3. Укажите область допустимых значений переменных в формуле $tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменных в формуле определяется условиями, при которых все входящие в нее выражения имеют смысл. Рассмотрим данную формулу:

$\tg(x + y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$

Для нахождения ОДЗ необходимо, чтобы были определены все тригонометрические функции и чтобы знаменатель дроби в правой части не был равен нулю.

1. Условие для левой части формулы.
Функция тангенса $\tg(a)$ определена, если ее аргумент $a$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in Z$).
Следовательно, для $\tg(x + y)$ должно выполняться условие:
$x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$.

2. Условия для правой части формулы.
Правая часть представляет собой дробь $\frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$. Для ее существования должны выполняться три условия:
а) Должен существовать $\tg x$. Это выполняется, когда:
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$.
б) Должен существовать $\tg y$. Это выполняется, когда:
$y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in Z$.
в) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$1 - \tg x \tg y \neq 0$
$\tg x \tg y \neq 1$
Это условие можно преобразовать. Если $\tg y \neq 0$, то $\tg x \neq \frac{1}{\tg y}$, что эквивалентно $\tg x \neq \ctg y$.
Используя формулу приведения $\ctg y = \tg(\frac{\pi}{2} - y)$, получаем:
$\tg x \neq \tg(\frac{\pi}{2} - y)$
Так как период тангенса равен $\pi$, это неравенство означает, что:
$x \neq \frac{\pi}{2} - y + \pi j$, где $j \in Z$.
Перенеся $y$ в левую часть, получим:
$x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi j$, $j \in Z$.

Заметим, что условие на знаменатель (2в) совпадает с условием для левой части (1). Таким образом, для нахождения области допустимых значений переменных $x$ и $y$ достаточно объединить все уникальные условия.

Итоговые условия для ОДЗ:

• $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$
• $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in Z$
• $x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in Z$

Ответ: Область допустимых значений переменных $x$ и $y$ определяется системой условий: $ \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, & n \in Z \\ y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, & m \in Z \\ x + y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, & k \in Z \end{cases} $

4. Верна ли формула $\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\operatorname{tg} x+1}{1-\operatorname{tg} x}$? Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?

Верна ли формула $\text{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}x + 1}{1-\text{tg}x}$?

Для проверки данной формулы необходимо воспользоваться тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:

$$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta} $$

Применим эту формулу к левой части исходного равенства, положив $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Нам известно, что значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно единице, то есть $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Подставим эти значения в формулу тангенса суммы:

$$ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}\frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg}x \cdot \text{tg}\frac{\pi}{4}} = \frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x \cdot 1} = \frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x} $$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходной формулы. Следовательно, формула является верной.

Ответ: Да, формула верна.

Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?

Формула справедлива (или является тождеством) только для тех значений переменной $x$, для которых обе ее части имеют смысл, то есть определены. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данной формулы.

1. Левая часть $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ определена, если ее аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.$$ x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$Выразим $x$:$$ x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k $$$$ x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

2. Правая часть $\frac{\text{tg}x + 1}{1 - \text{tg}x}$ определена, если выполняются два условия:

а) Выражение $\text{tg}x$ должно быть определено. Это так, если $x$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ – любое целое число. $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

б) Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ 1 - \text{tg}x \neq 0 $$ $$ \text{tg}x \neq 1 $$ Тангенс равен единице при $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m$ – любое целое число. Следовательно, эти значения $x$ необходимо исключить. $$ x \neq \frac{\pi}{4} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$

Объединяя все полученные ограничения, видим, что условие $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ возникает при анализе обеих частей формулы. Дополнительно, для определения правой части требуется, чтобы $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Таким образом, формула справедлива для всех значений $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям: $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для любых целых $k$ и $n$.

Ответ: Формула справедлива при всех значениях $x$, для которых $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.