Страница 142, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.6 a) $9^{2\frac{1}{2}}$;

б) $0,16^{1\frac{1}{2}}$;

в) $\left(3\frac{3}{8}\right)^{\frac{4}{3}}$;

г) $0,001^{\frac{2}{3}}$.

а)

Для вычисления $9^{2\frac{1}{2}}$ представим смешанную степень $2\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.

Тогда выражение примет вид $9^{\frac{5}{2}}$. Представим основание 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $9^{\frac{5}{2}} = (3^2)^{\frac{5}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 3^5$.

Вычисляем $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Ответ: 243

б)

Для вычисления $0,16^{1\frac{1}{2}}$ сначала преобразуем смешанную степень $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Выражение станет $0,16^{\frac{3}{2}}$. Заметим, что десятичную дробь 0,16 можно представить как квадрат другой дроби: $0,16 = 0,4^2$.

Подставим это в наше выражение и воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(0,4^2)^{\frac{3}{2}} = 0,4^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 0,4^3$.

Осталось вычислить $0,4^3$: $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.

Ответ: 0,064

в)

Рассмотрим выражение $(3\frac{3}{8})^{\frac{4}{3}}$. Первым шагом переведем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Теперь выражение выглядит так: $(\frac{27}{8})^{\frac{4}{3}}$. Представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней: $27 = 3^3$ и $8 = 2^3$. Таким образом, $\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3$.

Применяя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $((\frac{3}{2})^3)^{\frac{4}{3}} = (\frac{3}{2})^{3 \cdot \frac{4}{3}} = (\frac{3}{2})^4$.

Вычисляем результат: $(\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.

Ответ: $\frac{81}{16}$

г)

Для вычисления $0,001^{\frac{2}{3}}$ представим десятичную дробь 0,001 в виде степени: $0,001 = 0,1^3$.

Подставим это в исходное выражение: $(0,1^3)^{\frac{2}{3}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(0,1^3)^{\frac{2}{3}} = 0,1^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 0,1^2$.

Вычисляем $0,1^2$: $0,1^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$.

Ответ: 0,01

37.10 a) $\frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3}$;

б) $\frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3} $, представим числа $49$ и $25$ в виде степеней простых чисел: $49 = 7^2$ и $25 = 5^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$ \frac{5^4 \cdot (7^2)^{-3}}{7^{-7} \cdot (5^2)^3} $
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$ \frac{5^4 \cdot 7^{2 \cdot (-3)}}{7^{-7} \cdot 5^{2 \cdot 3}} = \frac{5^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6} $
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{5^4}{5^6} \cdot \frac{7^{-6}}{7^{-7}} = 5^{4-6} \cdot 7^{-6 - (-7)} = 5^{-2} \cdot 7^{-6+7} = 5^{-2} \cdot 7^1 $
Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, найдем окончательный результат:
$ 5^{-2} \cdot 7 = \frac{1}{5^2} \cdot 7 = \frac{1}{25} \cdot 7 = \frac{7}{25} $
Ответ: $ \frac{7}{25} $

б) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}} $, представим числа $81$ и $27$ как степени числа $3$: $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$.
Подставим эти значения в выражение:
$ \frac{(3^4)^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot (3^3)^{17}} $
Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$ \frac{3^{4 \cdot 12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{3 \cdot 17}} = \frac{3^{48} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{51}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{3^{48}}{3^{51}} \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-5}} = 3^{48-51} \cdot 10^{-7 - (-5)} = 3^{-3} \cdot 10^{-7+5} = 3^{-3} \cdot 10^{-2} $
Применив свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получим:
$ 3^{-3} \cdot 10^{-2} = \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{10^2} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{2700} $
Ответ: $ \frac{1}{2700} $

37.14 Сравните:

а) $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$;

б) $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$;

в) $5^{\frac{1}{2}}$ и $5^{\frac{1}{3}}$;

г) $7^{\frac{1}{3}}$ и $7^{\frac{2}{6}}$.

а) Для сравнения чисел $2^{\frac{1}{2}}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством степенной функции $y=x^a$. При $a>0$ функция является возрастающей. В данном случае показатель степени $a = \frac{1}{2} > 0$. Основания степеней равны $2$ и $3$. Поскольку $2 < 3$, и функция $y = x^{\frac{1}{2}}$ (или $y=\sqrt{x}$) является возрастающей, то для оснований выполняется неравенство $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}}$.

б) Для сравнения чисел $0,3^{\frac{1}{2}}$ и $0,5^{\frac{1}{2}}$ используем тот же подход, что и в пункте а). Показатель степени $\frac{1}{2}$ положителен, значит, функция $y = x^{\frac{1}{2}}$ возрастающая. Сравним основания: $0,3 < 0,5$. Следовательно, из-за возрастания функции, $0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $0,3^{\frac{1}{2}} < 0,5^{\frac{1}{2}}$.

в) Для сравнения чисел $5^{\frac{1}{2}}$ и $5^{\frac{1}{3}}$ рассмотрим показательную функцию $y=a^x$. Поскольку основание $a = 5 > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Так как $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, то и $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$. В силу возрастания функции $y=5^x$ получаем, что $5^{\frac{1}{2}} > 5^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $5^{\frac{1}{2}} > 5^{\frac{1}{3}}$.

г) Сравним числа $7^{\frac{1}{3}}$ и $7^{\frac{2}{6}}$. Основания степеней одинаковы и равны 7. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$. Упростим второй показатель, сократив дробь на 2: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Так как показатели степеней равны, то и сами числа равны.
Ответ: $7^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2}{6}}$.

37.7 Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при заданном значении переменной:

а) $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}}$ при $a = 6$;

б) $\frac{b^{-9}}{(b^2)^{-3}}$ при $b = \frac{1}{2}$;

в) $\frac{p^{-9}}{p^{-2} \cdot p^{-5}}$ при $p = \frac{1}{2}$;

г) $(t^{-3})^2 \cdot \frac{1}{t^{-5}}$ при $t = 0,1$.

а) Дано выражение $\frac{a^5 \cdot a^{-8}}{a^{-2}}$ при $a = 6$.

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. В числителе при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5+(-8)} = a^{-3}$

Теперь выражение принимает вид $\frac{a^{-3}}{a^{-2}}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{a^{-3}}{a^{-2}} = a^{-3 - (-2)} = a^{-3+2} = a^{-1}$

Выражение в виде степени: $a^{-1}$.

Теперь найдем значение этого выражения при $a=6$:

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) Дано выражение $\frac{b^{-9}}{(b^2)^{-3}}$ при $b = \frac{1}{2}$.

Упростим знаменатель, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(b^2)^{-3} = b^{2 \cdot (-3)} = b^{-6}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{b^{-9}}{b^{-6}}$. Применим правило деления степеней:

$\frac{b^{-9}}{b^{-6}} = b^{-9 - (-6)} = b^{-9+6} = b^{-3}$

Выражение в виде степени: $b^{-3}$.

Найдем его значение при $b = \frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3 = 2^3 = 8$

Ответ: $8$.

в) Дано выражение $\frac{p^{-9}}{p^{-2} \cdot p^{-5}}$ при $p = \frac{1}{2}$.

Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней:

$p^{-2} \cdot p^{-5} = p^{-2 + (-5)} = p^{-7}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{p^{-9}}{p^{-7}}$. Применим правило деления степеней:

$\frac{p^{-9}}{p^{-7}} = p^{-9 - (-7)} = p^{-9+7} = p^{-2}$

Выражение в виде степени: $p^{-2}$.

Найдем его значение при $p = \frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: $4$.

г) Дано выражение $(t^{-3})^2 \cdot \frac{1}{t^{-5}}$ при $t = 0,1$.

Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $(t^{-3})^2 = t^{-3 \cdot 2} = t^{-6}$.

Второй множитель: $\frac{1}{t^{-5}} = t^5$ (используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$).

Теперь перемножим полученные выражения:

$t^{-6} \cdot t^5 = t^{-6+5} = t^{-1}$

Выражение в виде степени: $t^{-1}$.

Найдем его значение при $t = 0,1$ (что то же самое, что $t=\frac{1}{10}$):

$(0,1)^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = 10^1 = 10$

Ответ: $10$.

37.11 Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) $\sqrt{b^{-1}}$; б) $\sqrt[12]{b^{-5}}$; в) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}}$; г) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}}$.

а) Для того чтобы представить выражение $\sqrt{b^{-1}}$ в виде степени с рациональным показателем, мы используем основное свойство корней и степеней: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В данном выражении квадратный корень эквивалентен корню степени $n=2$. Показатель степени подкоренного выражения равен $m=-1$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt{b^{-1}} = \sqrt[2]{b^{-1}} = b^{\frac{-1}{2}} = b^{-\frac{1}{2}}$

Ответ: $b^{-\frac{1}{2}}$

б) Для выражения $\sqrt[12]{b^{-5}}$ мы также используем формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Здесь степень корня $n=12$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\sqrt[12]{b^{-5}} = b^{\frac{-5}{12}} = b^{-\frac{5}{12}}$

Ответ: $b^{-\frac{5}{12}}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}}$.

Сначала преобразуем знаменатель, используя правило $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Здесь $n=4$ и $m=-3$.

$\sqrt[4]{x^{-3}} = x^{\frac{-3}{4}} = x^{-\frac{3}{4}}$

Теперь исходное выражение принимает вид: $\frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}}$.

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^{-k}} = a^k$.

$\frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} = x^{-(-\frac{3}{4})} = x^{\frac{3}{4}}$

Ответ: $x^{\frac{3}{4}}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}}$.

Преобразуем знаменатель по формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, где $n=3$ и $m=-2$.

$\sqrt[3]{a^{-2}} = a^{\frac{-2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}}$

Подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}}$.

Используем свойство $\frac{1}{a^{-k}} = a^k$:

$\frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} = a^{-(-\frac{2}{3})} = a^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

Вычислите:

37.8 а) $(27 \cdot 3^{-4})^2;$

б) $16 \cdot (2^{-3})^2.$

a)

Для вычисления значения выражения $(27 \cdot 3^{-4})^2$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение: $(27 \cdot 3^{-4})^2 = (3^3 \cdot 3^{-4})^2$.

Теперь упростим выражение в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$.

Выражение принимает вид $(3^{-1})^2$.

Далее применяем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$.

И, наконец, используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

б)

Для вычисления значения выражения $16 \cdot (2^{-3})^2$ также воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим множитель $(2^{-3})^2$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.

Теперь выражение выглядит так: $16 \cdot 2^{-6}$.

Представим число 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

Подставим это значение в выражение: $2^4 \cdot 2^{-6}$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{4+(-6)} = 2^{4-6} = 2^{-2}$.

Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

37.12 Вычислите:

a) $4^{-\frac{1}{2}}$;

б) $8^{-\frac{1}{3}}$;

в) $32^{-\frac{1}{5}}$;

г) $16^{-\frac{1}{4}}$.

а) Для вычисления значения выражения $4^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойствами степеней.
Основное свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Свойство степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
Применим эти свойства последовательно:
$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$
Далее, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{4^1} = \sqrt{4} = 2$.
Таким образом, $4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
Также можно решить, представив основание 4 в виде степени: $4 = 2^2$.
$4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Для вычисления выражения $8^{-\frac{1}{3}}$ применим те же свойства.
$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}$
Вычислим знаменатель: $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$. Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Следовательно, $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ — представить 8 в виде степени: $8=2^3$.
$8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Вычислим значение выражения $32^{-\frac{1}{5}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$
Знаменатель $32^{\frac{1}{5}}$ равен корню пятой степени из 32: $\sqrt[5]{32}$. Так как $2^5=32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
В результате получаем: $32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2}$.
Другой способ — представить 32 в виде степени: $32=2^5$.
$32^{-\frac{1}{5}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{1}{5})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) Вычислим значение выражения $16^{-\frac{1}{4}}$.
Сначала избавимся от отрицательного показателя в степени:
$16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}$
Выражение в знаменателе $16^{\frac{1}{4}}$ равно корню четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16}$. Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Окончательный результат: $16^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ — представить 16 в виде степени: $16=2^4$.
$16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Вычислите:

37.5 а) $49^{\frac{1}{2}}$; б) $1000^{\frac{1}{3}}$; в) $27^{\frac{1}{3}}$; г) $25^{\frac{1}{2}}$.

а) Чтобы вычислить $49^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $m=1$ и $n=2$, поэтому $49^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{49^1} = \sqrt{49}$. Квадратный корень из 49 равен 7, так как $7^2 = 49$.
Также можно представить основание 49 в виде степени: $49 = 7^2$. Тогда выражение примет вид: $(7^2)^{\frac{1}{2}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

б) Выражение $1000^{\frac{1}{3}}$ означает кубический корень из 1000. Согласно определению степени с рациональным показателем, $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Таким образом, $1000^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000}$. Нам нужно найти число, которое при возведении в третью степень даст 1000. Это число 10, так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Другой способ — представить 1000 как $10^3$: $1000^{\frac{1}{3}} = (10^3)^{\frac{1}{3}}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $10^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10

в) Для вычисления $27^{\frac{1}{3}}$ применим определение степени с дробным показателем: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Следовательно, $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$. Кубический корень из 27 равен 3, поскольку $3^3 = 27$.
Также можно представить основание 27 в виде степени: $27 = 3^3$. Тогда выражение можно записать как $(3^3)^{\frac{1}{3}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

г) Чтобы вычислить $25^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся тем, что степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$. Таким образом, $25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25}$. Квадратный корень из 25 равен 5, так как $5^2 = 25$.
Другой способ — представить 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$. Тогда выражение примет вид: $(5^2)^{\frac{1}{2}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

37.9 a) $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{6^{-12}}$

б) $\frac{7^{-7} \cdot 7^{-8}}{7^{-13}}$

а)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$6^{-4} \cdot 6^{-9} = 6^{-4 + (-9)} = 6^{-13}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\frac{6^{-13}}{6^{-12}}$

Далее, при делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя (свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{6^{-13}}{6^{-12}} = 6^{-13 - (-12)} = 6^{-13 + 12} = 6^{-1}$

Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$6^{-1} = \frac{1}{6^1} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б)

Решим второй пример, используя те же свойства степеней. Сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:

$7^{-7} \cdot 7^{-8} = 7^{-7 + (-8)} = 7^{-15}$

Подставим полученное значение в исходную дробь:

$\frac{7^{-15}}{7^{-13}}$

Теперь выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:

$\frac{7^{-15}}{7^{-13}} = 7^{-15 - (-13)} = 7^{-15 + 13} = 7^{-2}$

Вычислим итоговое значение, используя правило для отрицательной степени:

$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Ответ: $\frac{1}{49}$

37.13 Имеет ли смысл выражение:

a) $5^{-\frac{4}{3}}$;

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$;

в) $23^{-\frac{3}{2}}$;

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$?

а)

Рассмотрим выражение $5^{-\frac{4}{3}}$.

Это степень с рациональным показателем. Выражение вида $a^x$, где $a$ — основание, а $x$ — показатель, имеет смысл для любого рационального показателя $x$, если основание $a$ является положительным числом.

В данном случае основание $a=5$, что больше нуля ($5 > 0$).

Следовательно, выражение имеет смысл. Его можно записать как $\frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{625}}$.

Ответ: да, имеет смысл.

б)

Рассмотрим выражение $(-16)^{\frac{2}{3}}$.

Это степень с отрицательным основанием $a = -16$ и рациональным показателем $x = \frac{p}{q} = \frac{2}{3}$.

Степень с отрицательным основанием и рациональным показателем $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима) определена, если знаменатель показателя $q$ является нечетным числом.

В данном случае показатель $x = \frac{2}{3}$, его знаменатель $q=3$ — нечетное число.

Следовательно, выражение имеет смысл. Его можно вычислить: $(-16)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(-16)^2} = \sqrt[3]{256}$.

Ответ: да, имеет смысл.

в)

Рассмотрим выражение $23^{-\frac{3}{2}}$.

Это степень с рациональным показателем. Основание степени $a=23$ является положительным числом ($23 > 0$).

Поскольку основание положительное, степень с любым рациональным показателем имеет смысл.

Выражение можно записать как $\frac{1}{23^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{23^3}} = \frac{1}{23\sqrt{23}}$.

Ответ: да, имеет смысл.

г)

Рассмотрим выражение $(-25)^{-\frac{1}{2}}$.

Это степень с отрицательным основанием $a = -25$ и рациональным показателем $x = -\frac{1}{2}$.

Степень с отрицательным основанием и рациональным показателем $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима) определена в множестве действительных чисел, только если знаменатель показателя $q$ является нечетным числом.

В данном случае показатель $x = -\frac{1}{2}$, его знаменатель $q=2$ — четное число.

Таким образом, данное выражение не определено в множестве действительных чисел. Попытка его вычислить приводит к извлечению корня четной степени из отрицательного числа: $(-25)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(-25)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{-25}}$. Корень $\sqrt{-25}$ не является действительным числом.

Ответ: нет, не имеет смысла (в области действительных чисел).