Страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

38.17 $y = \begin{cases} x, & \text{если } x < 0, \\ \frac{5}{x^3}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Построение графика

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака аргумента $x$.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = x$. Графиком этой функции является прямая линия — биссектриса II и IV координатных углов. В нашем случае мы строим только ту часть прямой, которая соответствует условию $x < 0$. Это луч, расположенный во II координатном квадранте, выходящий из начала координат. Точка $(0, 0)$ этому лучу не принадлежит, так как неравенство строгое. На графике в этой точке мы бы поставили "выколотую" точку. Контрольные точки для построения: $(-1, -1)$; $(-2, -2)$.

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^{\frac{5}{3}}$. Это степенная функция. Её график находится в I координатном квадранте. Найдем ключевые точки:
• при $x=0$, $y = 0^{\frac{5}{3}} = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.
• при $x=1$, $y = 1^{\frac{5}{3}} = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• при $x=8$, $y = 8^{\frac{5}{3}} = (\sqrt[3]{8})^5 = 2^5 = 32$. Точка $(8, 32)$ принадлежит графику.
Поскольку показатель степени $\frac{5}{3} > 1$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз). Производная $y' = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}$ в точке $x=0$ равна нулю ($y'(0)=0$), что означает, что касательная к графику в начале координат горизонтальна и совпадает с осью абсцисс.

Объединяя обе части, мы получаем итоговый график. "Выколотая" точка $(0, 0)$ от первой части "закрашивается" значением функции из второй части. Так как предел функции слева $\lim_{x\to 0^-} x = 0$ равен значению функции в точке $y(0)=0$, функция является непрерывной в точке $x=0$. Таким образом, график представляет собой единую непрерывную линию.

Ответ: График функции состоит из двух частей, непрерывно соединенных в начале координат. Для $x < 0$ это луч прямой $y=x$, расположенный во II координатном квадранте. Для $x \ge 0$ это ветвь степенной функции $y=x^{\frac{5}{3}}$, расположенная в I координатном квадранте, которая касается оси $Ox$ в начале координат и является вогнутой (выпуклой вниз).

Чтение графика (свойства функции)

На основе построенного графика и анализа формул определим основные свойства функции.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как она задана и для $x<0$, и для $x \ge 0$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: При $x < 0$, $y$ принимает все значения из интервала $(-\infty; 0)$. При $x \ge 0$, $y$ принимает все значения из полуинтервала $[0; +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем, что функция принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: Функция обращается в ноль, если $y=0$.
• Если $x < 0$, то $y=x=0$, что не входит в рассматриваемый промежуток.
• Если $x \ge 0$, то $y=x^{\frac{5}{3}}=0$, откуда $x=0$.
Следовательно, у функции один нуль: $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства:
• $y > 0$ (график выше оси $Ox$), когда $x^{\frac{5}{3}} > 0$, что верно при $x > 0$. Итак, $y > 0$ на интервале $(0; +\infty)$.
• $y < 0$ (график ниже оси $Ox$), когда $y=x < 0$, что верно при $x < 0$. Итак, $y < 0$ на интервале $(-\infty; 0)$.

5. Монотонность:
• При $x < 0$, производная $y' = (x)' = 1 > 0$.
• При $x > 0$, производная $y' = (x^{\frac{5}{3}})' = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} > 0$.
В точке $x=0$ функция непрерывна, а производная неотрицательна в ее окрестности. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

6. Четность и нечетность: Область определения симметрична относительно нуля. Проверим значения: $y(1) = 1$, $y(-1)=-1$. На первый взгляд, функция может показаться нечетной, так как $y(-1) = -y(1)$. Однако, возьмем другую точку: $y(8)=32$, а $y(-8)=-8$. Поскольку $y(-8) \ne -y(8)$ (так как $-8 \ne -32$), функция не является нечетной. Четной она также не является. Таким образом, это функция общего вида.

7. Выпуклость и вогнутость:
• На интервале $(-\infty; 0)$ график является частью прямой, поэтому он не имеет выпуклости.
• На интервале $(0; +\infty)$ найдем вторую производную: $y'' = (\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}})' = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{10}{9\sqrt[3]{x}}$. Так как при $x>0$ $y''>0$, на этом интервале график является вогнутым (выпуклым вниз).
Точка $(0, 0)$ является точкой перегиба, так как в ней происходит смена характера выпуклости графика.

Ответ:
Основные свойства функции:
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Непрерывна на всей области определения.
• Нуль функции: $x=0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Монотонность: строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция общего вида.
• Выпуклость: график является прямой на $(-\infty; 0)$ и вогнутым (выпуклым вниз) на $(0; +\infty)$. Точка $(0, 0)$ — точка перегиба.

38.21 Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Найдите:

а) $f(8x^3)$;

б) $f(x^{-6})$;

в) $f(\frac{1}{27}x)$;

г) $f(x^{12})$.

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Для нахождения значений функции от заданных аргументов, необходимо подставить каждый аргумент вместо $x$ в исходную формулу и упростить полученное выражение, используя свойства степеней.

а) $f(8x^3)$

Подставим выражение $8x^3$ в функцию $f(x)$:

$f(8x^3) = (8x^3)^{-\frac{2}{3}}$

Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$(8x^3)^{-\frac{2}{3}} = 8^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{-\frac{2}{3}}$

Вычислим значение для каждого множителя. Для числового множителя $8 = 2^3$:

$8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Для множителя с переменной применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^3)^{-\frac{2}{3}} = x^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-2}$

Перемножим полученные результаты:

$f(8x^3) = \frac{1}{4}x^{-2}$

Ответ: $\frac{1}{4}x^{-2}$.

б) $f(x^{-6})$

Подставим $x^{-6}$ в функцию:

$f(x^{-6}) = (x^{-6})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = x^{-6 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$

Ответ: $x^4$.

в) $f(\frac{1}{27}x)$

Подставим $\frac{1}{27}x$ в функцию:

$f(\frac{1}{27}x) = (\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}}$

Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$(\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}} = (\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$

Вычислим числовой множитель, учитывая, что $\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$:

$(\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} = (3^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 3^{-3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 3^2 = 9$

Таким образом, получаем:

$f(\frac{1}{27}x) = 9x^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $9x^{-\frac{2}{3}}$.

г) $f(x^{12})$

Подставим $x^{12}$ в функцию:

$f(x^{12}) = (x^{12})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^{12})^{-\frac{2}{3}} = x^{12 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-\frac{24}{3}} = x^{-8}$

Ответ: $x^{-8}$.

38.18 $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 1, \\ \frac{1}{x^3}, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

Для исследования данной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 1 \\ \frac{1}{x^3}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ проведем полный анализ по пунктам.

Сначала раскроем модуль в первом выражении. Так как $|x| = -x$ при $x < 0$ и $|x| = x$ при $x \ge 0$, функцию можно переписать в виде:

$y(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ \frac{1}{x^3}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

1. Область определения

Функция определена на трех участках, которые вместе покрывают всю числовую ось. Выражения $-x$ и $x$ определены для всех действительных чисел. Выражение $\frac{1}{x^3}$ определено для всех $x \neq 0$, что выполняется на заданном для него промежутке $x \ge 1$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Непрерывность и точки разрыва

Функция состоит из элементарных функций, непрерывных на своих интервалах. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=1$.

В точке $x=0$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$.
• Значение функции: $y(0) = 0$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции, функция непрерывна в точке $x=0$.

В точке $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (x) = 1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^3} = \frac{1}{1^3} = 1$.
• Значение функции: $y(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции, функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность и нечетность

Проверим выполнение условий $y(-x) = y(x)$ (четность) или $y(-x) = -y(x)$ (нечетность). Возьмем, к примеру, $x=2$ и $x=-2$.

$y(2) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$y(-2) = |-2| = 2$

Поскольку $y(-2) \neq y(2)$ и $y(-2) \neq -y(2)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция общего вида.

4. Точки пересечения с осями координат

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  Если $x < 1$, то $|x|=0 \implies x=0$.
  Если $x \ge 1$, то $\frac{1}{x^3}=0$, что не имеет решений.
  Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: График проходит через начало координат $(0, 0)$.

5. Асимптоты

Вертикальные асимптоты: Отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой оси.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты вида $y=kx+b$:

При $x \to +\infty$ (используем $y = \frac{1}{x^3}$):

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x^3}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{x^3} - 0 \cdot x) = 0$.

Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$ (используем $y = |x| = -x$):

$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -1$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (-x - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} 0 = 0$.

Следовательно, $y = -x$ — наклонная асимптота при $x \to -\infty$.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$; наклонная асимптота $y=-x$ при $x \to -\infty$.

6. Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную функции:

$y'(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Производная не определена в точках $x=0$ и $x=1$ (это критические точки). Приравняв производную к нулю, видим, что $y'(x) \neq 0$ на всех интервалах. Таким образом, других критических точек нет.

Определим знаки производной на интервалах:

• $(-\infty, 0)$: $y' = -1 < 0$, функция убывает.
• $(0, 1)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает.
• $(1, +\infty)$: $y' = -\frac{3}{x^4} < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y(0)=0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y(1)=1$.

Ответ: Функция возрастает на $[0, 1]$, убывает на $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$. Точка минимума: $(0, 0)$. Точка максимума: $(1, 1)$.

7. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y''(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } 0 < x < 1 \\ 12x^{-5} = \frac{12}{x^5}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проанализируем знак второй производной:

• На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ $y''=0$, график представляет собой отрезки прямых.
• На интервале $(1, +\infty)$ $y'' = \frac{12}{x^5} > 0$, следовательно, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Точек перегиба в классическом понимании (где $y''$ меняет знак, проходя через ноль или разрыв) нет. Однако в точках $x=0$ и $x=1$ характер кривизны графика меняется, но это угловые точки.

Ответ: График является прямой линией на $(-\infty, 1)$ и вогнутый (выпуклый вниз) на $(1, +\infty)$.

8. Построение графика

На основе проведенного анализа строим график функции:

1. На интервале $(-\infty, 0)$ график совпадает с прямой $y=-x$. Это луч, идущий из бесконечности в точку $(0,0)$.
2. В точке $(0,0)$ находится точка минимума (острый "угол").
3. На интервале $[0, 1)$ график совпадает с прямой $y=x$. Это отрезок, соединяющий точки $(0,0)$ и $(1,1)$.
4. В точке $(1,1)$ находится точка максимума (также "угол").
5. На интервале $[1, +\infty)$ график представляет собой кривую $y=1/x^3$, которая начинается в точке $(1,1)$ и асимптотически приближается к оси Ox, оставаясь вогнутой.

График представляет собой "галочку" функции $y=|x|$ на промежутке $(-\infty, 1)$, за которой следует убывающая кривая, стремящаяся к нулю.

Найдите производную заданной функции:

38.22 a) $y = x^8$;

б) $y = x^{-4}$;

в) $y = x^{40}$;

г) $y = \frac{1}{x^6}$.

Для нахождения производной заданной функции во всех пунктах используется формула производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$, где $p$ — показатель степени.

а) Дана функция $y = x^8$.

В этом случае показатель степени $p=8$. Применяем формулу производной степенной функции:

$y' = (x^8)' = 8 \cdot x^{8-1} = 8x^7$.

Ответ: $y' = 8x^7$.

б) Дана функция $y = x^{-4}$.

Здесь показатель степени $p=-4$. Применяем ту же формулу:

$y' = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5}$.

Данное выражение также можно записать в виде дроби: $y' = -\frac{4}{x^5}$.

Ответ: $y' = -4x^{-5}$.

в) Дана функция $y = x^{40}$.

Показатель степени в данном случае $p=40$. Находим производную по формуле:

$y' = (x^{40})' = 40 \cdot x^{40-1} = 40x^{39}$.

Ответ: $y' = 40x^{39}$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{x^6}$.

Чтобы найти производную, сначала преобразуем функцию, представив ее в виде степени с отрицательным показателем, используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:

$y = x^{-6}$.

Теперь можем применить формулу производной степенной функции, где $p=-6$:

$y' = (x^{-6})' = -6 \cdot x^{-6-1} = -6x^{-7}$.

Результат можно также представить в виде дроби: $y' = -\frac{6}{x^7}$.

Ответ: $y' = -6x^{-7}$.

38.19 $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ x^{-\frac{1}{2}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Для подробного решения задачи выполним полное исследование заданной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция задана двумя выражениями. Первое выражение, $y = \frac{1}{x}$, определено для всех $x$, кроме $x=0$. Условие $x < 0$ удовлетворяет этому. Второе выражение, $y = \sqrt{x}$, определено для всех $x \ge 0$. Условие $x > 0$ удовлетворяет этому. Таким образом, функция не определена только в точке $x=0$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений функции

Проанализируем значения, которые принимает функция на каждом из интервалов области определения.

• При $x < 0$, функция имеет вид $y = \frac{1}{x}$. Так как $x$ принимает все отрицательные значения, $y$ также принимает все отрицательные значения. Когда $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. Когда $x \to -\infty$, $y \to 0^-$. Таким образом, на этом интервале область значений $(-\infty, 0)$.
• При $x > 0$, функция имеет вид $y = \sqrt{x}$. Так как $x$ принимает все положительные значения, $y$ также принимает все положительные значения. Когда $x \to 0^+$, $y \to 0^+$. Когда $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, на этом интервале область значений $(0, +\infty)$.

Объединяя оба случая, получаем общую область значений.

Ответ: Область значений функции: $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

3. Непрерывность и точки разрыва

Функция $y = \frac{1}{x}$ непрерывна на интервале $(-\infty, 0)$. Функция $y = \sqrt{x}$ непрерывна на интервале $(0, +\infty)$. Единственная точка, в которой непрерывность может нарушаться — это $x=0$. Поскольку функция не определена в этой точке, она имеет разрыв при $x=0$. Определим тип разрыва, вычислив односторонние пределы:

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, в точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В точке $x=0$ — разрыв второго рода.

4. Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты: Поскольку $\lim_{x \to 0^-} y = -\infty$, прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты: Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$.

При $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$. Следовательно, прямая $y=0$ (ось абсцисс) — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.

При $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.

Наклонные асимптоты: Проверим наличие наклонной асимптоты вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$.

Так как $k=0$, наклонной асимптоты нет.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$ (при $x \to -\infty$).

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Найдем производную функции:

$y' = \begin{cases} (\frac{1}{x})', & \text{если } x < 0 \\ (\sqrt{x})', & \text{если } x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x}}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Определим знаки производной:

• При $x < 0$, $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$, так как $x^2 > 0$. Значит, функция строго убывает на интервале $(-\infty, 0)$.
• При $x > 0$, $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$, так как $\sqrt{x} > 0$. Значит, функция строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$.

Производная нигде не равна нулю. Критических точек нет. Так как в точке $x=0$ функция не определена, точек экстремума у функции нет.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \begin{cases} (-\frac{1}{x^2})', & \text{если } x < 0 \\ (\frac{1}{2\sqrt{x}})', & \text{если } x > 0 \end{cases} = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & \text{если } x < 0 \\ -\frac{1}{4x\sqrt{x}}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Определим знаки второй производной:

• При $x < 0$, $x^3 < 0$, следовательно $y'' = \frac{2}{x^3} < 0$. График функции на этом интервале выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x > 0$, $x\sqrt{x} > 0$, следовательно $y'' = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} < 0$. График функции на этом интервале также выпуклый вверх (вогнутый).

Вторая производная нигде не равна нулю, и знак выпуклости не меняется в пределах областей непрерывности. Точек перегиба нет.

Ответ: График функции является выпуклым вверх (вогнутым) на всей области определения: на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа можно построить эскиз графика функции.
При $x < 0$ график представляет собой ветвь гиперболы $y=1/x$, расположенную в третьей координатной четверти. Она асимптотически приближается к оси $x$ при $x \to -\infty$ и к оси $y$ при $x \to 0^-$.
При $x > 0$ график представляет собой стандартную функцию квадратного корня $y=\sqrt{x}$, расположенную в первой координатной четверти. График выходит из точки $(0,0)$ (сама точка выколота) и монотонно возрастает.
На всей области определения график является выпуклым вверх.

Ответ: График состоит из двух ветвей. В третьей четверти — ветвь гиперболы $y=1/x$. В первой четверти — график функции $y=\sqrt{x}$ с выколотой точкой в начале координат.

38.23 a) $y = x^{\frac{3}{5}};

б) $y = \sqrt[4]{x^5};

В) $y = x^{\frac{7}{2}};

Г) $y = \sqrt[5]{x}.

а) $y = x^{\frac{3}{5}}$

Для нахождения производной степенной функции $y = x^n$ используется формула: $y' = n \cdot x^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \frac{3}{5}$.

Подставляем значение $n$ в формулу производной:

$y' = \frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$.

Этот результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$.

б) $y = \sqrt[4]{x^5}$

Сначала преобразуем функцию в степенной вид, используя свойство корня $\sqrt[m]{a^k} = a^{\frac{k}{m}}$:

$y = \sqrt[4]{x^5} = x^{\frac{5}{4}}$.

Теперь применяем формулу производной степенной функции $y' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = \frac{5}{4}$.

$y' = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - \frac{4}{4}} = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}$.

Этот результат можно также записать в виде корня: $y' = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

в) $y = x^{\frac{7}{2}}$

Используем формулу производной степенной функции $y' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \frac{7}{2}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = \frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} = \frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$.

Этот результат можно также записать в виде корня: $y' = \frac{7}{2}\sqrt{x^5}$ или $y' = \frac{7}{2}x^2\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$.

г) $y = \sqrt[5]{x}$

Сначала преобразуем функцию в степенной вид:

$y = \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$.

Применяем формулу производной степенной функции $y' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = \frac{1}{5}$.

$y' = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}}$.

Этот результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.

38.16 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = x^{\frac{5}{2}}, \\ y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = x^{-\frac{1}{3}}, \\ y = \sqrt{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = x^{\frac{1}{6}}, \\ y = |x|; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^{-\frac{2}{3}}, \\ 2x - y - 1 = 0. \end{cases}$

а) Чтобы решить систему уравнений графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{5}{2}}$ и $y = 1$.

График функции $y = x^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{x})^5$ является степенной функцией. Область определения этой функции — $x \ge 0$. График начинается в точке (0, 0), проходит через точку (1, 1) и монотонно возрастает.

График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 1) на оси ординат.

Из построения графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки можно найти, приравняв правые части уравнений: $x^{\frac{5}{2}} = 1$ Возведя обе части уравнения в степень $\frac{2}{5}$, получаем: $(x^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 1^{\frac{2}{5}}$ $x = 1$ Подставив найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, находим $y$: $y = 1$ Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты (1, 1).

Ответ: (1, 1).

б) Построим в одной системе координат графики функций $y = x^{-\frac{1}{3}}$ и $y = \sqrt{x}$.

График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ определен для всех $x \neq 0$. График функции $y = \sqrt{x}$ определен для $x \ge 0$. Следовательно, решения системы могут существовать только при $x > 0$.

Рассмотрим поведение функций при $x > 0$. График $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ проходит через точку (1, 1) и является убывающей функцией. График $y = \sqrt{x}$ выходит из точки (0, 0), проходит через точку (1, 1) и является возрастающей функцией.

Графики пересекаются в точке, где их значения равны. Найдем эту точку, решив уравнение: $x^{-\frac{1}{3}} = \sqrt{x}$ $x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}$ Так как основания степеней равны и положительны ($x>0$), равенство возможно, только если $x=1$ (так как $a^b = a^c \implies b=c$ при $a \neq 1$). При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Таким образом, графики пересекаются в единственной точке (1, 1).

Ответ: (1, 1).

в) Построим в одной системе координат графики функций $y = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = |x|$.

График функции $y = x^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{x}$ определен при $x \ge 0$. Он выходит из точки (0, 0), проходит через (1, 1) и является возрастающей функцией.

График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Поскольку первая функция определена только для $x \ge 0$, нас интересует пересечение графика $y = x^{\frac{1}{6}}$ только с лучом $y = x$.

Найдем точки пересечения графиков $y = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = x$. $x^{\frac{1}{6}} = x$ $x - x^{\frac{1}{6}} = 0$ $x^{\frac{1}{6}}(x^{\frac{5}{6}} - 1) = 0$ Это уравнение имеет два решения: 1) $x^{\frac{1}{6}} = 0 \implies x = 0$. Тогда $y = 0$. 2) $x^{\frac{5}{6}} - 1 = 0 \implies x^{\frac{5}{6}} = 1 \implies x = 1$. Тогда $y = 1$. Графики пересекаются в двух точках: (0, 0) и (1, 1).

Ответ: (0, 0), (1, 1).

г) Построим в одной системе координат графики функций, заданных уравнениями $y = x^{-\frac{2}{3}}$ и $2x - y - 1 = 0$.

График функции $y = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2}$ определен для всех $x \neq 0$. Так как $x$ находится в знаменателе под четной степенью, функция является четной ($y(-x) = y(x)$) и ее значения всегда положительны ($y > 0$). График симметричен относительно оси Oy, проходит через точки (1, 1) и (-1, 1), имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

Второе уравнение, $2x - y - 1 = 0$, можно переписать в виде $y = 2x - 1$. Это уравнение задает прямую линию. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=-1$; если $x=1$, то $y=1$. Прямая проходит через точки (0, -1) и (1, 1).

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Эта точка — (1, 1). Проверим подстановкой: Для первого уравнения: $1 = 1^{-\frac{2}{3}}$, что равно $1=1$. Верно. Для второго уравнения: $2(1) - 1 - 1 = 0$, что равно $0=0$. Верно. При $x < 0$ график функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$ находится в верхней полуплоскости ($y>0$), а график прямой $y=2x-1$ — в нижней ($y<-1$). Поэтому других точек пересечения нет.

Ответ: (1, 1).

38.20 Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$. Найдите:

а) $f(16x);$

б) $f(81x^4);$

в) $f\left(\frac{1}{81}x\right);$

г) $f(x^{-8}).$

а) Для того чтобы найти $f(16x)$, необходимо подставить выражение $16x$ вместо переменной $x$ в определение функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$.Получаем:$f(16x) = (16x)^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, мы можем преобразовать выражение:$f(16x) = 16^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$.Поскольку $16 = 2^4$, то $16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$.Таким образом, итоговое выражение равно $2x^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $2x^{\frac{1}{4}}$

б) Чтобы найти $f(81x^4)$, подставим $81x^4$ вместо $x$ в функцию. Получаем:$f(81x^4) = (81x^4)^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство степени произведения, получаем:$f(81x^4) = 81^{\frac{1}{4}} \cdot (x^4)^{\frac{1}{4}}$.Так как $81=3^4$, то $81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3$.Для второго множителя важно учесть, что $(x^4)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x^4} = |x|$, поскольку корень четной степени из выражения в четной степени равен его модулю (результат должен быть неотрицательным).Следовательно, $f(81x^4) = 3|x|$.
Ответ: $3|x|$

в) Для нахождения $f(\frac{1}{81}x)$, подставляем выражение $\frac{1}{81}x$ вместо $x$ в определение функции. Получаем:$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}x\right)^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство степени, имеем:$f\left(\frac{1}{81}x\right) = \left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{1}{4}}$.Так как $81=3^4$, то $\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{(3^4)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$.Таким образом, $f(\frac{1}{81}x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $\frac{1}{3}x^{\frac{1}{4}}$

г) Чтобы найти $f(x^{-8})$, подставим $x^{-8}$ вместо $x$ в функцию. Получаем:$f(x^{-8}) = (x^{-8})^{\frac{1}{4}}$.Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, находим результат:$f(x^{-8}) = x^{-8 \cdot \frac{1}{4}} = x^{-2}$.Это выражение также можно записать в виде $\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $x^{-2}$