Страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

38.9 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$:

а) на отрезке $[0; 1];$

б) на луче $[1; +\infty);$

в) на интервале $(2; 3);$

г) на полуинтервале $(5; 16].$

Для решения задачи найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ на заданных промежутках.

Сначала проанализируем саму функцию. Функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ также может быть записана как $y = \sqrt[4]{x}$. Область определения этой функции — $x \ge 0$.

Чтобы определить монотонность функции, найдем ее производную: $y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Поскольку производная $y' > 0$ для всех $x > 0$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. На этом свойстве и будет основано решение.

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция строго возрастает на отрезке $[0; 1]$, свое наименьшее значение она принимает в левой крайней точке, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{1}{4}} = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$.
Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на луче [1; +∞)

На луче $[1; +\infty)$ функция также возрастает. Наименьшее значение достигается в левой крайней точке $x=1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$.
Поскольку аргумент $x$ может неограниченно возрастать (стремится к $+\infty$), значение функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ также будет неограниченно возрастать. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.
Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на интервале (2; 3)

Интервал $(2; 3)$ является открытым, то есть его концы $x=2$ и $x=3$ не принадлежат интервалу. Так как функция строго возрастает, значения функции будут находиться в интервале $(y(2), y(3))$, то есть $(\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{3})$. Значения функции могут быть сколь угодно близки к границам этого интервала $(\sqrt[4]{2}$ и $\sqrt[4]{3})$, но никогда их не достигнут. Таким образом, на открытом интервале функция не достигает своего наименьшего и наибольшего значений.
Ответ: ни наименьшего, ни наибольшего значения не существует.

г) на полуинтервале (5; 16]

На полуинтервале $(5; 16]$ левая граница $x=5$ не включена, а правая $x=16$ включена. Так как функция возрастает, наибольшее значение будет достигаться в правой крайней точке, которая принадлежит этому промежутку.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(16) = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$.
Левая граница $x=5$ не принадлежит промежутку, поэтому наименьшее значение не достигается. Значения функции стремятся к $y(5) = 5^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5}$, но никогда его не достигают.
Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение равно 2.

38.13 a) $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1;$

Б) $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5;$

В) $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2;$

Г) $y = (x - 3)^{\frac{1}{2}} - 1.$

а)

Дана функция $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1$. Это степенная функция с рациональным показателем $p = \frac{1}{6}$. Область определения функции, заданной формулой $y = f(x)^{\frac{m}{n}}$, где $\frac{m}{n}$ — несократимая дробь, зависит от четности знаменателя $n$. Поскольку в данном случае знаменатель показателя степени $n=6$ является четным числом, выражение, стоящее в основании степени, должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство:
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $[-3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-3, +\infty)$.

б)

Дана функция $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5$. Это степенная функция с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{1}{9}$. Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{(x - 2)^{\frac{1}{9}}} + 5$. Знаменатель показателя степени $n=9$ является нечетным числом, поэтому основание степени $x-2$ может быть любым действительным числом. Однако, так как показатель степени отрицательный, это означает деление на выражение в основании. Деление на ноль невозможно, поэтому основание степени не может быть равно нулю. Следовательно, должно выполняться условие:
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

в)

Дана функция $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2$. Это степенная функция с рациональным показателем $p = \frac{7}{4}$. Поскольку знаменатель показателя степени $n=4$ является четным числом, выражение в основании степени должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство:
$x + 6 \ge 0$
$x \ge -6$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $[-6, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-6, +\infty)$.

г)

Дана функция $y = (x - 3)^{-\frac{1}{2}} - 1$. Это степенная функция с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{1}{2}$. Функцию можно переписать как $y = \frac{1}{(x - 3)^{\frac{1}{2}}} - 1$. Знаменатель показателя степени $n=2$ является четным числом, поэтому основание степени должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$. Показатель степени отрицательный, поэтому основание степени не может быть равно нулю: $x-3 \neq 0$. Объединяя эти два условия, получаем, что основание степени должно быть строго положительным. Следовательно, необходимо решить неравенство:
$x - 3 > 0$
$x > 3$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $(3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

38.10 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{5}{2}}$:

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[1; 2];$

г) на полуинтервале $(6; 8]$.

а) на луче $[0; +\infty)$
Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ исследуем ее на монотонность. Найдем производную функции:
$y' = (x^{\frac{5}{2}})' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$.
Область определения функции — $x \ge 0$. На этой области производная $y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} \ge 0$. Равенство нулю достигается только в точке $x=0$. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$.
Поскольку функция возрастает на луче $[0; +\infty)$, ее наименьшее значение достигается в начальной точке луча, то есть при $x=0$:
$y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{5}{2}} = 0$.
Так как функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$, наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале $[1; 3)$
На полуинтервале $[1; 3)$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ также возрастает, так как этот интервал является частью области возрастания функции.
Наименьшее значение достигается в левой граничной точке $x=1$, которая включена в интервал:
$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.
Правая граничная точка $x=3$ не включена в интервал. Значения функции стремятся к значению $y(3)$ по мере приближения $x$ к $3$, но никогда его не достигают. Значение в точке $x=3$ равно $y(3) = 3^{\frac{5}{2}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 9\sqrt{3}$. Так как точка $x=3$ не принадлежит интервалу, наибольшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке $[1; 2]$
На отрезке $[1; 2]$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает.
Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его левом конце, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение при $x=1$:
$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.
Наибольшее значение при $x=2$:
$y_{наиб} = y(2) = 2^{\frac{5}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $4\sqrt{2}$.

г) на полуинтервале $(6; 8]$
На полуинтервале $(6; 8]$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает.
Левая граничная точка $x=6$ не включена в интервал. Значения функции стремятся к $y(6) = 6^{\frac{5}{2}} = 6^2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = 36\sqrt{6}$ при приближении $x$ к $6$ справа, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.
Наибольшее значение достигается в правой граничной точке $x=8$, которая включена в интервал:
$y_{наиб} = y(8) = 8^{\frac{5}{2}} = (2^3)^{\frac{5}{2}} = 2^{\frac{15}{2}} = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 128\sqrt{2}$.
Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение $128\sqrt{2}$.

38.14 a) $y = 2x^{\frac{1}{3}}$

б) $y = -x^{-\frac{3}{5}}$

В) $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$

Г) $y = -2x^{\frac{1}{4}}$

а) Для нахождения производной функции $y = 2x^{\frac{1}{3}}$ используется правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

Применяя эти правила, получаем:

$y' = (2x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot (x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Результат можно также представить в виде дроби с корнем: $y' = \frac{2}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

б) Найдём производную функции $y = -x^{\frac{3}{5}}$. В данном случае коэффициент при степенной функции равен -1.

Применяем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = (-x^{\frac{3}{5}})' = -1 \cdot (x^{\frac{3}{5}})' = -1 \cdot \left(\frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1}\right) = -\frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-\frac{5}{5}} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$.

Результат в виде дроби с корнем: $y' = -\frac{3}{5x^{\frac{2}{5}}} = -\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$.

в) Найдём производную функции $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = \left(\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\right) = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}} = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

Результат можно записать с использованием квадратного корня: $y' = \frac{3}{4}\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

г) Найдём производную функции $y = -2x^{\frac{1}{4}}$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = (-2x^{\frac{1}{4}})' = -2 \cdot (x^{\frac{1}{4}})' = -2 \cdot \left(\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}\right) = -\frac{2}{4}x^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.

Результат в виде дроби с корнем: $y' = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{4}}} = -\frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.

38.11 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$:

а) на отрезке $[1; 8];$

б) на интервале $(3; 5);$

в) на луче $[1; +\infty);$

г) на полуинтервале $(0; 1].$

Для решения задачи сначала проанализируем функцию $y = x^{-\frac{2}{3}}$.

Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Область определения функции — $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Все заданные в условии промежутки входят в область определения.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:

$y' = (x^{-\frac{2}{3}})' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.

На всех заданных промежутках $x > 0$. При $x > 0$ знаменатель $3\sqrt[3]{x^5}$ положителен, значит, производная $y' < 0$. Это означает, что на промежутке $(0; +\infty)$ функция является строго убывающей.

а) на отрезке [1; 8]

Так как функция непрерывна и убывает на отрезке $[1; 8]$, свое наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, наибольшее значение равно $1$.

б) на интервале (3; 5)

На открытом интервале $(3; 5)$ функция также убывает. Поскольку концы интервала не включены, функция не достигает своих точных границ (супремума и инфимума) на этом интервале.

Значения функции на этом интервале находятся в пределах $(\lim_{x \to 5^-} y(x); \lim_{x \to 3^+} y(x))$.

$\lim_{x \to 3^+} y(x) = y(3) = 3^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$.

$\lim_{x \to 5^-} y(x) = y(5) = 5^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$.

Так как $x$ не может быть равен $3$ или $5$, точные значения $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ и $\frac{1}{\sqrt[3]{25}}$ не достигаются. Следовательно, ни наименьшего, ни наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

в) на луче [1; +∞)

На луче $[1; +\infty)$ функция убывает. Так как левая граница $x=1$ включена, наибольшее значение функция примет в этой точке.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$.

Так как правая граница уходит в бесконечность, рассмотрим предел функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = 0$.

Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает. Следовательно, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшего значения не существует.

г) на полуинтервале (0; 1]

На полуинтервале $(0; 1]$ функция убывает. Так как правая граница $x=1$ включена, наименьшее значение функция примет в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$.

Так как левая граница $x=0$ не включена, рассмотрим предел функции при $x \to 0^+$:

$\lim_{x \to 0^+} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$.

Функция неограниченно возрастает при приближении $x$ к нулю справа. Следовательно, наибольшего значения на этом полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $1$, наибольшего значения не существует.

38.15 Решите графически уравнение:

a) $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x;$

б) $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2};$

в) $x^{\frac{1}{4}} = x^3;$

г) $x^{\frac{2}{3}} = x - 4.$

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков являются корнями исходного уравнения.

а) $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{1}{2}}$ и $y = 6 - x$.
1. Функция $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Он начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).
2. Функция $y = 6 - x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=6$ (точка (0, 6)); если $y=0$, то $x=6$ (точка (6, 0)).
Построив графики, мы ищем их точку пересечения. Визуально можно предположить, что абсцисса точки пересечения — это $x=4$. Проверим это подстановкой:
Для левой части: $y = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Для правой части: $y = 6 - 4 = 2$.
Значения совпали, значит, графики пересекаются в точке (4, 2). Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, а функция $y = 6 - x$ — убывающей, то они могут иметь не более одной точки пересечения.
Ответ: $x=4$.

б) $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{3}{2}}$ и $y = \frac{1}{x^2}$.
Область допустимых значений для данного уравнения определяется условиями $x^{\frac{3}{2}}$ (требует $x \ge 0$) и $\frac{1}{x^2}$ (требует $x \neq 0$). Итоговая область определения: $x > 0$.
1. Функция $y = x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$. На области $x>0$ это возрастающая функция. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 8).
2. Функция $y = \frac{1}{x^2}$. На области $x>0$ это убывающая функция. График находится в первой координатной четверти и асимптотически приближается к осям координат. График проходит через точки (1, 1), (2, 1/4), (1/2, 4).
Найдем точку пересечения графиков. Из перечисления ключевых точек видно, что оба графика проходят через точку (1, 1).
Проверим: при $x=1$, $y = 1^{\frac{3}{2}} = 1$ и $y = \frac{1}{1^2} = 1$.
Поскольку на всей области определения ($x>0$) функция $y = x^{\frac{3}{2}}$ строго возрастает, а функция $y = \frac{1}{x^2}$ строго убывает, они могут пересечься только в одной точке.
Ответ: $x=1$.

в) $x^{\frac{1}{4}} = x^3$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{1}{4}}$ и $y = x^3$.
Область определения для $y = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$ есть $x \ge 0$.
1. Функция $y = \sqrt[4]{x}$. График выходит из точки (0, 0) и медленно возрастает. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (16, 2).
2. Функция $y = x^3$. График — кубическая парабола. Для $x \ge 0$ она также выходит из (0, 0) и возрастает, но гораздо быстрее. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (2, 8).
Найдем точки пересечения.
При $x=0$: $y = 0^{\frac{1}{4}} = 0$ и $y = 0^3 = 0$. Точка (0, 0) — точка пересечения.
При $x=1$: $y = 1^{\frac{1}{4}} = 1$ и $y = 1^3 = 1$. Точка (1, 1) — точка пересечения.
На интервале $(0, 1)$ график функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ лежит выше графика $y = x^3$. На интервале $(1, \infty)$ график $y = x^3$ лежит выше графика $y = x^{\frac{1}{4}}$. Таким образом, других точек пересечения нет.
Ответ: $x=0; x=1$.

г) $x^{\frac{2}{3}} = x - 4$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{2}{3}}$ и $y = x - 4$.
1. Функция $y = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$. Она определена для всех действительных $x$. Её значения всегда неотрицательны ($y \ge 0$). График симметричен относительно оси $Oy$ и имеет точку возврата ("клюв") в начале координат. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (8, 4), (-1, 1), (-8, 4).
2. Функция $y = x - 4$. График — прямая, проходящая через точки (0, -4) и (4, 0).
Так как значения функции $y=x^{\frac{2}{3}}$ неотрицательны, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной. То есть, $x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Это значит, что решения уравнения следует искать только при $x \ge 4$.
Проверим целые значения $x$, являющиеся точными кубами, начиная с $x \ge 4$.
При $x=8$:
Левая часть: $y = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
Правая часть: $y = 8 - 4 = 4$.
Значения совпали, значит, графики пересекаются в точке (8, 4).
Для $x>8$ прямая $y=x-4$ растет быстрее, чем кривая $y=x^{2/3}$ (ее наклон постоянно уменьшается), поэтому других точек пересечения нет.
Ответ: $x=8$.

38.8 Исследуйте степенную функцию на монотонность:

a) $y = x^{12}$;

б) $y = x^{-\frac{1}{6}};

в) $y = x^{-11};

г) $y = x^{\frac{1}{7}}.$

а) Рассматривается степенная функция $y = x^{12}$.

Показатель степени $p = 12$ является четным натуральным числом. Область определения этой функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для исследования на монотонность найдем производную функции:

$y' = (x^{12})' = 12x^{11}$.

Теперь определим знаки производной на различных промежутках. Производная $y'$ равна нулю при $x = 0$.

Если $x > 0$, то $x^{11} > 0$, и, следовательно, $y' = 12x^{11} > 0$. Это означает, что на промежутке $(0; +\infty)$ функция возрастает.

Если $x < 0$, то $x^{11} < 0$, и, следовательно, $y' = 12x^{11} < 0$. Это означает, что на промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, мы можем включить эту точку в оба промежутка монотонности.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

б) Рассматривается степенная функция $y = x^{-\frac{1}{6}}$.

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{1/6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$.

Показатель степени $p = -\frac{1}{6}$ является отрицательным рациональным числом. Так как в знаменателе дроби-показателя стоит четное число (6), основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Кроме того, так как показатель степени отрицательный, $x$ не может быть равен нулю. Следовательно, область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{-1/6})' = -\frac{1}{6}x^{-\frac{1}{6}-1} = -\frac{1}{6}x^{-7/6} = -\frac{1}{6\sqrt[6]{x^7}}$.

Для любого $x$ из области определения $(0; +\infty)$, значение $x^7$ положительно, и корень $\sqrt[6]{x^7}$ также положителен. Таким образом, знаменатель $6\sqrt[6]{x^7}$ всегда положителен.

Вся дробь имеет знак "минус" из-за множителя $-\frac{1}{6}$. Следовательно, $y' < 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.

Поскольку производная отрицательна на всей области определения, функция является убывающей на этом промежутке.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) Рассматривается степенная функция $y = x^{-11}$.

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{11}}$.

Показатель степени $p = -11$ является отрицательным целым числом. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{-11})' = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$.

Знаменатель $x^{12}$ является четной степенью $x$, поэтому $x^{12} > 0$ для всех $x \neq 0$. Числитель дроби — $-11$, что является отрицательным числом.

Следовательно, производная $y' = -\frac{11}{x^{12}}$ отрицательна для всех $x$ из области определения.

Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

г) Рассматривается степенная функция $y = x^{\frac{1}{7}}$.

Эту функцию можно записать в виде $y = \sqrt[7]{x}$.

Показатель степени $p = \frac{1}{7}$ является положительным рациональным числом. Так как в знаменателе дроби-показателя стоит нечетное число (7), функция определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{1/7})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-6/7} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Производная не определена при $x=0$. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^6$ положительно (четная степень). Корень седьмой степени из положительного числа также положителен, то есть $\sqrt[7]{x^6} > 0$.

Множитель $\frac{1}{7}$ также положителен. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x \neq 0$.

Поскольку производная положительна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, а сама функция $y = x^{1/7}$ непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Постройте график функции:

38.12 а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}};

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3;

в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}};

г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4.

а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$

Для построения графика данной функции, рассмотрим базовую степенную функцию $y_0 = x^{\frac{1}{2}}$, что эквивалентно $y_0 = \sqrt{x}$.

График функции $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x+2}$ получается из графика функции $y_0 = \sqrt{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы влево.

Область определения функции $y_0 = \sqrt{x}$ есть $x \ge 0$. Следовательно, для функции $y = \sqrt{x+2}$ должно выполняться условие $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Область определения: $D(y) = [-2, +\infty)$.

Построим график по точкам. Сначала определим ключевые точки для базовой функции $y_0 = \sqrt{x}$: (0, 0), (1, 1), (4, 2). Затем сдвинем их на 2 единицы влево:

• Точка (0, 0) переходит в точку (0-2, 0) = (-2, 0).
• Точка (1, 1) переходит в точку (1-2, 1) = (-1, 1).
• Точка (4, 2) переходит в точку (4-2, 2) = (2, 2).

Соединив эти точки плавной кривой, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$ является графиком функции $y=\sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат в первой четверти), сдвинутым на 2 единицы влево вдоль оси Ox. График начинается в точке (-2, 0) и проходит через точки (-1, 1) и (2, 2).

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$

Для построения графика данной функции, рассмотрим базовую степенную функцию $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$.

График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ получается из графика функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

Область определения функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}} = (\sqrt{x})^7$ есть $x \ge 0$. Эта область определения сохраняется и для сдвинутой функции. Область определения: $D(y) = [0, +\infty)$.

Построим график по точкам. Ключевые точки для базовой функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$: (0, 0), (1, 1). (Значения для других целых $x$ быстро растут, например, для $x=4$, $y=4^{7/2} = 128$). Сдвинем эти точки на 3 единицы вниз:

• Точка (0, 0) переходит в точку (0, 0-3) = (0, -3).
• Точка (1, 1) переходит в точку (1, 1-3) = (1, -2).

График начинается в точке (0, -3) и очень быстро возрастает при увеличении $x$.

Ответ: График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ является графиком функции $y=x^{\frac{7}{2}}$, сдвинутым на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. График начинается в точке (0, -3), проходит через точку (1, -2) и далее круто поднимается вверх.

в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем функцию: $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$.

Базовой функцией является $y_0 = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

График функции $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Область определения базовой функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$: $x \ne 0$. Для нашей функции: $x-1 \ne 0$, т.е. $x \ne 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Рассмотрим базовую функцию $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$. Она четная, так как $y_0(-x) = (-x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(-x)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = y_0(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. При $x \to 0$, $y \to +\infty$, поэтому $x=0$ — вертикальная асимптота. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$, поэтому $y=0$ — горизонтальная асимптота. Ключевые точки: (1, 1), (-1, 1), (8, $1/4$), (-8, $1/4$).

Сдвигаем график $y_0$ на 1 вправо:

• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается в $x=1$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.
• Ключевые точки: (1+1, 1) = (2, 1); (-1+1, 1) = (0, 1); (8+1, 1/4) = (9, 1/4).

График симметричен относительно прямой $x=1$ и расположен полностью в верхней полуплоскости ($y > 0$).

Ответ: График функции $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$ получается сдвигом графика $y = x^{-\frac{2}{3}}$ на 1 единицу вправо. Он имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=1$ и проходит через точки (0, 1) и (2, 1).

г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$

Преобразуем функцию: $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 4$.

Базовой функцией является $y_0 = x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$ путем сдвига на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Область определения базовой функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$: $x \ne 0$. Область определения сохраняется: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Рассмотрим базовую функцию $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$. Она нечетная, так как $y_0(-x) = (-x)^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -y_0(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. $x=0$ — вертикальная асимптота. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. $y=0$ — горизонтальная асимптота. Ключевые точки: (1, 1), (-1, -1), (8, 1/2), (-8, -1/2).

Сдвигаем график $y_0$ на 4 единицы вверх:

• Вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=4$.
• Центр симметрии (0,0) смещается в (0,4).
• Ключевые точки: (1, 1+4) = (1, 5); (-1, -1+4) = (-1, 3); (8, 1/2+4) = (8, 4.5).

График состоит из двух ветвей, расположенных во второй и первой четвертях относительно системы координат с началом в точке (0,4).

Ответ: График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ получается сдвигом графика $y = x^{-\frac{1}{3}}$ на 4 единицы вверх. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=4$. График симметричен относительно точки (0, 4) и проходит через точки (1, 5) и (-1, 3).