Страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.38 а) $ \frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t - 4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} - 2} $ при $t = 9$;

б) $ \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} - 3} $ при $y = 100$.

а) Требуется найти значение выражения $\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t-4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}-2}$ при $t=9$.

Для начала упростим данное выражение. Знаменатель первой дроби, $t-4$, можно представить в виде разности квадратов, учитывая, что $t = (t^{\frac{1}{2}})^2$ и $4 = 2^2$.

$t-4 = (t^{\frac{1}{2}})^2 - 2^2 = (t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}-2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)$:

$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} - \frac{1 \cdot (t^{\frac{1}{2}}+2)}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} = \frac{2t^{\frac{1}{2}} - (t^{\frac{1}{2}}+2)}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} - 2}{t-4} = \frac{t^{\frac{1}{2}}-2}{t-4}$

Снова разложим знаменатель и сократим дробь:

$\frac{t^{\frac{1}{2}}-2}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}+2}$

Теперь подставим значение $t=9$ в полученное упрощенное выражение:

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}+2} = \frac{1}{\sqrt{9}+2} = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Требуется найти значение выражения $\frac{2}{y^{\frac{1}{4}}+3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}}-3}$ при $y=100$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3)$. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3) = (y^{\frac{1}{4}})^2 - 3^2 = y^{\frac{2}{4}} - 9 = y^{\frac{1}{2}} - 9$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2(y^{\frac{1}{4}}-3)}{(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3)} - \frac{2(y^{\frac{1}{4}}+3)}{(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3)} = \frac{2(y^{\frac{1}{4}}-3) - 2(y^{\frac{1}{4}}+3)}{y^{\frac{1}{2}}-9}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2y^{\frac{1}{4}} - 6 - 2y^{\frac{1}{4}} - 6}{y^{\frac{1}{2}}-9} = \frac{-12}{y^{\frac{1}{2}}-9}$

Теперь подставим значение $y=100$ в упрощенное выражение:

$\frac{-12}{100^{\frac{1}{2}}-9} = \frac{-12}{\sqrt{100}-9} = \frac{-12}{10-9} = \frac{-12}{1} = -12$

Ответ: $-12$

Упростите выражение:

37.39 a) $\frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}};$

б) $\left(\frac{q^{\frac{1}{2}}}{p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}\right) \cdot \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q}.$

Рассмотрим выражение: $ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a - b}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} $.

Упростим произведение дробей. Для этого разложим на множители числители. Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Числитель первой дроби: $ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $.

Числитель второй дроби: $ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Подставим разложения в произведение:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b} $

Сократим общие множители: $ (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $ в числителе первой дроби и знаменателе второй, и $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $ в знаменателе первой дроби и числителе второй.

В результате умножения получаем: $ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$ (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2 = a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b $.

Теперь вернемся к исходному выражению и добавим оставшийся член:

$ (a - 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a + b $.

Ответ: $a+b$.

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} + \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q} $.

Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители:

$ p - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

$ q - p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} = q^{\frac{1}{2}}(q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}}) = -q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $

Подставим это в сумму дробей и приведем их к общему знаменателю $ p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}) $:

$ \frac{q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} - \frac{p^{\frac{1}{2}}}{q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q^{\frac{1}{2}} \cdot q^{\frac{1}{2}} - p^{\frac{1}{2}} \cdot p^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = \frac{q - p}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} $

Разложим числитель $ q - p = -(p-q) = -(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) $ и сократим дробь:

$ \frac{-(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} = -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} $

Теперь упростим вторую дробь $ \frac{pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q}{p - q} $. Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $ pq^{\frac{1}{2}} + p^{\frac{1}{2}}q = p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) $.

Знаменатель: $ p - q = (p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) $.

Дробь примет вид: $ \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})}{(p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}})} = \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} $.

Наконец, перемножим упрощенные части:

$ \left( -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}} \right) \cdot \left( \frac{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} \right) = -\frac{(p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}) \cdot p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} \cdot (p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}})} $

Сократив $ p^{\frac{1}{2}}q^{\frac{1}{2}} $, получим конечный результат.

Ответ: $ -\frac{p^{\frac{1}{2}} + q^{\frac{1}{2}}}{p^{\frac{1}{2}} - q^{\frac{1}{2}}} $.

37.36 a) $\left(\left(\frac{1}{25}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1}-\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3}\right): 49^{-\frac{1}{2}}$

б) $\frac{8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}}-2^{-1}}{64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}$

а)

Вычислим значение выражения по действиям. Сначала выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Преобразуем первый член в скобках, используя свойства степени с отрицательным и дробным показателем: $ (a/b)^{-n} = (b/a)^n $ и $ a^{1/2} = \sqrt{a} $.

$ (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{-1} = 25^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{7} = \sqrt{25} \cdot \frac{1}{7} = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7} $.

2. Преобразуем второй член в скобках, используя те же свойства, а также $ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $:

$ (\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} \cdot 2^{-3} = 8^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2^3} = \sqrt[3]{8} \cdot \frac{1}{8} = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $.

3. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5}{7} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4}{28} - \frac{1 \cdot 7}{28} = \frac{20 - 7}{28} = \frac{13}{28} $.

4. Преобразуем делитель:

$ 49^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{49^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7} $.

5. Выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$ \frac{13}{28} : \frac{1}{7} = \frac{13}{28} \cdot 7 = \frac{13 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{13}{4} $.

Ответ: $ \frac{13}{4} $.

б)

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.

1. Упростим числитель. Используем свойства степеней $ a^{-n} = 1/a^n $, $ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $ и $ a^{1/2} = \sqrt{a} $:

$ 8^{-\frac{1}{3}} \cdot 25^{-\frac{1}{2}} - 2^{-1} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $.

2. Упростим знаменатель. Представим 64 как степень 2 ($64 = 2^6$) и используем свойства степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ 64^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = (2^6)^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4 $.

3. Разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{2}{5}}{4} = -\frac{2}{5 \cdot 4} = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10} $.

Ответ: $ -\frac{1}{10} $.

37.40 a) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a + 1}{a^2 - 4a + 3}$.

а) Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:

$$ \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $$

1. Преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$$ a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $$

2. Теперь выражение имеет вид:

$$ \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $$

3. Приведем все дроби к общему знаменателю $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$, а второй дроби на $a^{\frac{1}{2}}$:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} - \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $$

4. Упростим числители. В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:

$$ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = a - b $$

В числителе второй дроби:

$$ a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a $$

5. Запишем все под общим знаменателем и выполним вычисления в числителе:

$$ \frac{(a - b) - a + b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a - b - a + b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{0}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = 0 $$

Выражение равно нулю при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть при $a > 0$, $b \ge 0$ и $a \neq b$.

Ответ: $0$

б) Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:

$$ \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a+1}{a^2 - 4a + 3} $$

1. Упростим знаменатели каждой дроби, вынеся общие множители и разложив квадратный трехчлен на множители.

Знаменатель первой дроби: $$ a^{\frac{4}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 3) = a^{\frac{1}{3}}(a-3) $$

Знаменатель второй дроби: $$ a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1) = a^{\frac{2}{3}}(a-1) $$

Знаменатель третьей дроби (решим уравнение $a^2 - 4a + 3 = 0$, корни $a_1=1$, $a_2=3$): $$ a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3) $$

2. Подставим упрощенные знаменатели в исходное выражение:

$$ \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}(a-3)} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a-1)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $$

3. Сократим первые две дроби (при условии, что $a \neq 0$):

$$ \frac{2}{a-3} - \frac{1}{a-1} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a-3)$:

$$ \frac{2(a-1)}{(a-3)(a-1)} - \frac{1(a-3)}{(a-1)(a-3)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $$

5. Запишем все под одним знаменателем и выполним действия в числителе:

$$ \frac{2(a-1) - (a-3) - (a+1)}{(a-1)(a-3)} $$

6. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a-1)(a-3)} = \frac{(2a - a - a) + (-2 + 3 - 1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)} = 0 $$

Выражение равно нулю при допустимых значениях переменной $a$ (т.е. $a \neq 0, a \neq 1, a \neq 3$).

Ответ: $0$

Найдите значение выражения:

37.37 a) $\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{1}{3}}}$ при $x = 1,44$;

б) $\frac{m^{\frac{2}{3}} - 2.25}{m^{\frac{1}{3}} + 1.5}$ при $m = 8$.

а)

Сначала упростим выражение $\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{1}{3}}}$.

Представим $x^{\frac{1}{3}}$ как $x^{\frac{2}{6}}$. Теперь можно вынести за скобки в числителе и знаменателе общий множитель $x^{\frac{2}{6}}$:

$\frac{x^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{2}{6}}}{x^{\frac{5}{6}} - x^{\frac{2}{6}}} = \frac{x^{\frac{2}{6}}(x^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} + 1)}{x^{\frac{2}{6}}(x^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} - 1)} = \frac{x^{\frac{3}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{6}} - 1}$

Поскольку $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, выражение можно записать как:

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}} - 1}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $x = 1,44$.

Найдем значение $x^{\frac{1}{2}}$:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} = \sqrt{1,44} = 1,2$

Подставим полученное значение в выражение:

$\frac{1,2 + 1}{1,2 - 1} = \frac{2,2}{0,2} = \frac{22}{2} = 11$

Ответ: 11

б)

Сначала упростим выражение $\frac{m^{\frac{2}{3}} - 2,25}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5}$.

Заметим, что числитель является разностью квадратов, так как $m^{\frac{2}{3}} = (m^{\frac{1}{3}})^2$ и $2,25 = 1,5^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:

$m^{\frac{2}{3}} - 2,25 = (m^{\frac{1}{3}})^2 - (1,5)^2 = (m^{\frac{1}{3}} - 1,5)(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{(m^{\frac{1}{3}} - 1,5)(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)}{m^{\frac{1}{3}} + 1,5}$

Сократим дробь на $(m^{\frac{1}{3}} + 1,5)$:

$m^{\frac{1}{3}} - 1,5$

Теперь подставим значение $m = 8$ в упрощенное выражение.

Найдем значение $m^{\frac{1}{3}}$:

$m^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{m} = \sqrt[3]{8} = 2$

Подставим полученное значение в выражение:

$2 - 1,5 = 0,5$

Ответ: 0,5