Страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.18 a) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$;

б) $y^{\frac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{y^2}$;

B) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$;

Г) $\sqrt[4]{c^3} \cdot c^{\frac{1}{4}}$.

a) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$

Чтобы упростить это выражение, представим корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, квадратный корень из $x$ это $x$ в степени $\frac{1}{2}$.

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Подставим это в исходное выражение:

$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} = x^1 = x$

Ответ: $x$

б) $y^{\frac{7}{3}} \cdot \sqrt[3]{y^2}$

Представим корень третьей степени из $y^2$ в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $y$:

$y^{\frac{7}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}}$

Сложим показатели степеней:

$y^{\frac{7}{3} + \frac{2}{3}} = y^{\frac{7+2}{3}} = y^{\frac{9}{3}} = y^3$

Ответ: $y^3$

в) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$

Представим корень четвертой степени из $z$ (что то же самое, что $z^1$) в виде степени с рациональным показателем.

$\sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $z$:

$z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{1}{4}}$

Сложим показатели степеней:

$z^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = z^{\frac{3+1}{4}} = z^{\frac{4}{4}} = z^1 = z$

Ответ: $z$

г) $\sqrt[4]{c^3} \cdot c^{\frac{1}{4}}$

Представим корень четвертой степени из $c^3$ в виде степени с рациональным показателем.

$\sqrt[4]{c^3} = c^{\frac{3}{4}}$

Теперь умножим степени с одинаковым основанием $c$:

$c^{\frac{3}{4}} \cdot c^{\frac{1}{4}}$

Сложим показатели степеней:

$c^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = c^{\frac{3+1}{4}} = c^{\frac{4}{4}} = c^1 = c$

Ответ: $c$

37.22 a) $ (27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}} $;

б) $ \left(\frac{1}{16} \cdot 81^{-1}\right)^{-\frac{1}{4}} $;

в) $ \left(\frac{1}{36} \cdot 0,04\right)^{-\frac{1}{2}} $;

г) $ \left(5^{-3} \cdot \frac{1}{64}\right)^{-\frac{1}{3}} $.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся свойством степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

$(27 \cdot 64)^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{1}{3}}$

Степень с показателем $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню. Нам нужно найти кубический корень из 27 и 64.

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$3 \cdot 4 = 12$.

Другой способ решения — представить числа 27 и 64 в виде степеней:

$27 = 3^3$

$64 = 4^3$

Тогда выражение примет вид:

$(3^3 \cdot 4^3)^{\frac{1}{3}} = ((3 \cdot 4)^3)^{\frac{1}{3}} = (12^3)^{\frac{1}{3}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$12^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 12^1 = 12$.

Ответ: 12

б)

Рассмотрим выражение $(\frac{1}{16} \cdot 81^{-1})^{-\frac{1}{4}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$81^{-1} = \frac{1}{81}$

Тогда выражение в скобках становится:

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{16 \cdot 81}$

Теперь исходное выражение выглядит так: $(\frac{1}{16 \cdot 81})^{-\frac{1}{4}}$.

Воспользуемся свойством отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{16 \cdot 81})^{-\frac{1}{4}} = (16 \cdot 81)^{\frac{1}{4}}$

Применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(16 \cdot 81)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot 81^{\frac{1}{4}}$

Вычислим значения:

$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

$81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Перемножим результаты:

$2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

в)

Для решения $(\frac{1}{36} \cdot 0,04)^{-\frac{1}{2}}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

Подставим это значение в исходное выражение:

$(\frac{1}{36} \cdot \frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{36 \cdot 25})^{-\frac{1}{2}}$

Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{900})^{-\frac{1}{2}} = 900^{\frac{1}{2}}$

Степень с показателем $\frac{1}{2}$ — это квадратный корень:

$900^{\frac{1}{2}} = \sqrt{900} = 30$.

Альтернативный путь после применения свойства отрицательной степени:

$(36 \cdot 25)^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{25} = 6 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30

г)

Рассмотрим выражение $(5^{-3} \cdot \frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}}$.

Упростим выражение в скобках, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

Подставим в исходное выражение:

$(\frac{1}{125} \cdot \frac{1}{64})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{125 \cdot 64})^{-\frac{1}{3}}$

Теперь применим свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(125 \cdot 64)^{\frac{1}{3}}$

Далее используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$125^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{1}{3}}$

Вычислим кубические корни:

$125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

$64^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Перемножим полученные значения:

$5 \cdot 4 = 20$.

Ответ: 20

Упростите выражение:

37.15 a) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}};$

б) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}};$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}};$

г) $d^{5} \cdot d^{\frac{1}{2}}.$

Для решения всех пунктов используется свойство степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а) $c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}}$

Применим свойство умножения степеней, сложив их показатели:

$c^{\frac{1}{2}} \cdot c^{\frac{1}{3}} = c^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

Таким образом, итоговое выражение равно $c^{\frac{5}{6}}$.

Ответ: $c^{\frac{5}{6}}$

б) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$

Складываем показатели степеней с основанием $b$:

$b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$

Следовательно, упрощенное выражение имеет вид $b^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}}$

Складываем показатели степеней с основанием $a$:

$a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{3} + (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6}$

Сокращаем полученную дробь: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

В результате получаем $a^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$

г) $d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}}$

Складываем показатели степеней с основанием $d$:

$d^5 \cdot d^{\frac{1}{2}} = d^{5 + \frac{1}{2}}$

Чтобы сложить целое число и дробь, представим целое число в виде дроби со знаменателем 2:

$5 + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10+1}{2} = \frac{11}{2}$

Таким образом, итоговое выражение равно $d^{\frac{11}{2}}$.

Ответ: $d^{\frac{11}{2}}$

37.19 a) $ (a^{0.4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0.8} $;

Б) $ \sqrt[10]{c} \cdot (c^{-1.2})^{\frac{3}{4}} $;

В) $ (x^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{4}} \cdot (\sqrt[4]{x})^{\frac{17}{4}} $;

Г) $ (b^{0.8})^{-\frac{3}{4}} \cdot (b^{-\frac{2}{5}})^{-1.5} $.

а)

Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1. Сначала упростим первый множитель $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}}$:

$(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot \frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot 0,5} = a^{0,2}$

2. Теперь умножим полученный результат на второй множитель $a^{0,8}$:

$a^{0,2} \cdot a^{0,8} = a^{0,2 + 0,8} = a^1 = a$

Ответ: $a$

б)

Для решения этого примера представим корень в виде степени с дробным показателем $\sqrt[n]{c} = c^{\frac{1}{n}}$ и воспользуемся свойствами степеней: $(c^m)^n = c^{m \cdot n}$ и $c^m \cdot c^n = c^{m+n}$.

1. Представим корень $\sqrt[10]{c}$ в виде степени:

$\sqrt[10]{c} = c^{\frac{1}{10}} = c^{0,1}$

2. Упростим второй множитель $(c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$. Для этого перемножим показатели:

$-1,2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{12}{10} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{18}{20} = -\frac{9}{10} = -0,9$

Таким образом, $(c^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = c^{-0,9}$.

3. Теперь перемножим полученные выражения:

$c^{0,1} \cdot c^{-0,9} = c^{0,1 + (-0,9)} = c^{0,1 - 0,9} = c^{-0,8}$

Ответ: $c^{-0,8}$

в)

Используем те же свойства степеней, что и в предыдущих примерах.

1. Упростим первый множитель $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{4}}$:

$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{4}} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4}} = x^{\frac{15}{16}}$

2. Упростим второй множитель $(\sqrt[4]{x})^{\frac{17}{4}}$. Сначала представим корень в виде степени:

$\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$

Теперь возведем в степень:

$(x^{\frac{1}{4}})^{\frac{17}{4}} = x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{17}{4}} = x^{\frac{17}{16}}$

3. Перемножим результаты:

$x^{\frac{15}{16}} \cdot x^{\frac{17}{16}} = x^{\frac{15}{16} + \frac{17}{16}} = x^{\frac{15+17}{16}} = x^{\frac{32}{16}} = x^2$

Ответ: $x^2$

г)

Для решения представим десятичные дроби в виде обыкновенных и применим свойства степеней.

1. Упростим первый множитель $(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}}$. Представим $0,8$ как $\frac{4}{5}$:

$(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} = (b^{\frac{4}{5}})^{-\frac{3}{4}} = b^{\frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{4})} = b^{-\frac{3}{5}}$

2. Упростим второй множитель $(b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$. Представим $-1,5$ как $-\frac{3}{2}$:

$(b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5} = (b^{-\frac{2}{5}})^{-\frac{3}{2}} = b^{(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{3}{2})} = b^{\frac{6}{10}} = b^{\frac{3}{5}}$

3. Перемножим полученные выражения:

$b^{-\frac{3}{5}} \cdot b^{\frac{3}{5}} = b^{-\frac{3}{5} + \frac{3}{5}} = b^0 = 1$ (при условии, что $b \neq 0$)

Ответ: $1$

Упростите выражение:

37.23 а) $(m^{-3})^{\frac{1}{3}}$;

б) $(8x^{-1\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}};

в) $(x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{3}};

г) $(81x^{-4})^{\frac{3}{4}}.

а) Чтобы упростить выражение $(m^{-3})^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$. В этом случае показатели степеней перемножаются.

$(m^{-3})^{\frac{1}{3}} = m^{-3 \cdot \frac{1}{3}} = m^{-1}$

Выражение с отрицательным показателем можно записать в виде дроби:

$m^{-1} = \frac{1}{m}$

Ответ: $m^{-1}$

б) Чтобы упростить выражение $(8x^{-1\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$, сначала преобразуем смешанную степень $-1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь выражение выглядит так: $(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$.

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень: $(ab)^c = a^c b^c$.

$(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$

Вычислим каждую часть отдельно. Для числа 8, представим его как $2^3$:

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

Для переменной $x$ используем правило возведения степени в степень:

$(x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = x^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$

Ответ: $\frac{4}{x}$

в) Чтобы упростить выражение $(x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{3}}$, воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$.

$(x^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{3}} = x^{(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{2}{3})}$

Перемножим показатели. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:

$(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Следовательно, получаем:

$x^{\frac{1}{2}}$

Это выражение также можно записать в виде квадратного корня:

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$

г) Чтобы упростить выражение $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$, воспользуемся свойством возведения произведения в степень: $(ab)^c = a^c b^c$.

$(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = (81)^{-\frac{3}{4}} \cdot (x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$

Вычислим каждую часть отдельно. Для числа 81, представим его как $3^4$:

$(81)^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Для переменной $x$ используем правило возведения степени в степень:

$(x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = x^{-4 \cdot (-\frac{3}{4})} = x^3$

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{27} \cdot x^3 = \frac{x^3}{27}$

Ответ: $\frac{x^3}{27}$

37.16 a) $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}}$;

б) $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$;

В) $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$;

Г) $m^{\frac{1}{3}} : m^{2}$.

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством степеней, которое гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применяя это правило к заданному выражению $x^{\frac{1}{2}} : x^{\frac{3}{2}}$, получаем:
$x^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} = x^{\frac{1-3}{2}} = x^{\frac{-2}{2}} = x^{-1}$.
Ответ: $x^{-1}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем правило вычитания показателей при делении степеней с одинаковым основанием для выражения $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$.
$y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}} = y^{-\frac{5}{6} - \frac{1}{3}}$.
Чтобы выполнить вычитание в показателе степени, приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6:
$-\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{-5 - 2}{6} = -\frac{7}{6}$.
Таким образом, результат равен $y^{-\frac{7}{6}}$.
Ответ: $y^{-\frac{7}{6}}$.

в) Применим то же свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ к выражению $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$.
$z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{5} - (-\frac{1}{2})} = z^{\frac{1}{5} + \frac{1}{2}}$.
Для сложения дробей в показателе найдем общий знаменатель, который равен 10:
$\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{2+5}{10} = \frac{7}{10}$.
В результате получаем $z^{\frac{7}{10}}$.
Ответ: $z^{\frac{7}{10}}$.

г) Для выражения $m^{\frac{1}{3}} : m^{2}$ используем правило деления степеней.
$m^{\frac{1}{3}} : m^{2} = m^{\frac{1}{3} - 2}$.
Для вычитания в показателе представим число 2 в виде дроби со знаменателем 3: $2 = \frac{6}{3}$.
$\frac{1}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = \frac{1-6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Следовательно, итоговое выражение равно $m^{-\frac{5}{3}}$.
Ответ: $m^{-\frac{5}{3}}$.

Найдите значение выражения:

37.20 a) $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$;

б) $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 4^{0,7}$;

в) $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$;

г) $25^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 625^{0,25}$.

а) Чтобы найти значение выражения $10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{0,1}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого необходимо сложить показатели степеней.
Представим все показатели в виде десятичных дробей: $\frac{2}{5} = 0,4$; $\frac{1}{2} = 0,5$.
Теперь сложим показатели: $\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + 0,1 = 0,4 + 0,5 + 0,1 = 1$.
Таким образом, исходное выражение равно $10^1 = 10$.
Ответ: 10.

б) В выражении $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 4^{0,7}$ приведем все степени к одному основанию. Основание 4 можно представить как степень числа 2: $4 = 2^2$.
Тогда $4^{0,7} = (2^2)^{0,7}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $2^{2 \cdot 0,7} = 2^{1,4}$.
Теперь все выражение имеет одно основание: $2^{1,3} \cdot 2^{-0,7} \cdot 2^{1,4}$.
Складываем показатели степеней: $1,3 + (-0,7) + 1,4 = 0,6 + 1,4 = 2$.
В результате получаем $2^2 = 4$.
Ответ: 4.

в) В выражении $49^{-\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$ приведем все степени к основанию 7. Так как $49 = 7^2$, то $49^{-\frac{2}{3}} = (7^2)^{-\frac{2}{3}}$.
По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = 7^{-\frac{4}{3}}$.
Выражение принимает вид: $7^{-\frac{4}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{12}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}$.
Складываем показатели, приводя дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{4}{3} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4} = -\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} - \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{16}{12} + \frac{1}{12} - \frac{9}{12} = \frac{-16 + 1 - 9}{12} = \frac{-24}{12} = -2$.
Исходное выражение равно $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.

г) В выражении $25^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot 625^{0,25}$ приведем все степени к основанию 5.
Известно, что $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$.
Подставляем в выражение: $(5^2)^{0,3} \cdot 5^{1,4} \cdot (5^4)^{0,25}$.
Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{0,3} = 5^{2 \cdot 0,3} = 5^{0,6}$
$(5^4)^{0,25} = 5^{4 \cdot 0,25} = 5^1 = 5$.
Выражение принимает вид: $5^{0,6} \cdot 5^{1,4} \cdot 5^1$.
Складываем показатели: $0,6 + 1,4 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Исходное выражение равно $5^3 = 125$.
Ответ: 125.

37.17 а) $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$;

б) $(c^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$;

в) $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}$;

г) $(p^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{9}}$.

а) Для упрощения выражения $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ используется свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В данном случае основание $x=b$, а показатели степеней $m = \frac{1}{2}$ и $n = \frac{1}{3}$. Необходимо перемножить показатели степеней: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. Таким образом, итоговое выражение равно $b^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

б) Аналогично предыдущему пункту, для выражения $(c^{-\frac{1}{2}})^2$ применяется свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Здесь основание $x=c$, а показатели $m=-\frac{1}{2}$ и $n=2$. Перемножая показатели, получаем: $-\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. Следовательно, результат равен $c^{-1}$.
Ответ: $c^{-1}$

в) Применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к выражению $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}$. Основание $x=a$, показатели $m=\frac{3}{2}$ и $n=\frac{4}{3}$. Вычислим произведение показателей: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$. В результате упрощения получаем $a^2$.
Ответ: $a^2$

г) Для выражения $(p^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{2}{9}}$ снова воспользуемся правилом $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В этом случае основание $x=p$, а показатели $m=-\frac{3}{4}$ и $n=-\frac{2}{9}$. Перемножим показатели. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{2}{9}) = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Таким образом, итоговое выражение равно $p^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $p^{\frac{1}{6}}$

37.21 a) $4^{0,6} \cdot 2^{0,2} : 2^{-0,6}$;

В) $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}}$;

Б) $3 \cdot 9^{0,4} : \sqrt[5]{3^{-1}}$;

Г) $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2}$.

а) Чтобы упростить выражение $4^{0,6} \cdot 2^{0,2} : 2^{-0,6}$, приведем все степени к одному основанию $2$. Поскольку $4 = 2^2$, мы можем переписать $4^{0,6}$ как $(2^2)^{0,6}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $2^{2 \cdot 0,6} = 2^{1,2}$. Теперь исходное выражение выглядит так: $2^{1,2} \cdot 2^{0,2} : 2^{-0,6}$. Применяя правила действий со степенями ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$), объединяем показатели: $2^{1,2 + 0,2 - (-0,6)} = 2^{1,4 + 0,6} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б) Рассмотрим выражение $3 \cdot 9^{0,4} : \sqrt[5]{3^{-1}}$. Приведем все множители к степеням с основанием $3$. Мы знаем, что $3 = 3^1$ и $9 = 3^2$. Корень можно представить в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[5]{3^{-1}} = (3^{-1})^{\frac{1}{5}} = 3^{-\frac{1}{5}} = 3^{-0,2}$. Подставим эти значения в выражение: $3^1 \cdot (3^2)^{0,4} : 3^{-0,2}$. Упростим второй множитель: $(3^2)^{0,4} = 3^{2 \cdot 0,4} = 3^{0,8}$. Теперь выражение имеет вид: $3^1 \cdot 3^{0,8} : 3^{-0,2}$. Выполним действия с показателями: $3^{1 + 0,8 - (-0,2)} = 3^{1,8 + 0,2} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

в) Дано выражение $4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{1\frac{2}{3}} : 4^{-\frac{1}{3}}$. Для упрощения приведем все степени к основанию $2$. Заменим $4$ на $2^2$. Также преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Выражение примет вид: $(2^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : (2^2)^{-\frac{1}{3}}$. Упростим степени с основанием $2^2$: $2^{2 \cdot \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : 2^{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} : 2^{-\frac{2}{3}}$. Теперь объединим показатели степеней с одинаковым основанием: $2^{\frac{2}{3} + \frac{5}{3} - (-\frac{2}{3})} = 2^{\frac{2+5+2}{3}} = 2^{\frac{9}{3}} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

г) Упростим выражение $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{3}} : \sqrt[3]{2}$. Приведем все числа к степеням с основанием $2$. Мы знаем, что $8 = 2^3$, $16 = 2^4$ и $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$. Подставляем в выражение: $(2^3)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{3}} : 2^{\frac{1}{3}}$. Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} \cdot 2^{4 \cdot \frac{1}{3}} : 2^{\frac{1}{3}} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{4}{3}} : 2^{\frac{1}{3}}$. Выполняем действия с показателями: $2^{-1 + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = 2^{-1 + \frac{4-1}{3}} = 2^{-1 + \frac{3}{3}} = 2^{-1+1} = 2^0 = 1$.
Ответ: 1