Страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.9 Найдите значение аргумента $x$, при котором функция $y = 2^x$ принимает заданное значение:

а) 16;

б) $8\sqrt{2}$;

в) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

г) $\frac{1}{32\sqrt{2}}$.

а) 16;

Для нахождения значения аргумента $x$ необходимо решить уравнение $2^x = y$, подставив в него заданное значение $y=16$.
Получаем уравнение: $2^x = 16$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2. Поскольку $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$, уравнение принимает вид:
$2^x = 2^4$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, то и их показатели должны быть равны.
Следовательно, $x = 4$.
Ответ: $4$.

б) $8\sqrt{2}$;

Решим уравнение $2^x = 8\sqrt{2}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Для этого представим каждый множитель в правой части как степень двойки: $8 = 2^3$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Тогда уравнение примет вид:
$2^x = 2^3 \cdot 2^{1/2}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в правой части:
$2^x = 2^{3 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{7/2}$
Приравнивая показатели степеней, получаем $x = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

в) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

Решим уравнение $2^x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Сначала запишем знаменатель как степень двойки: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Уравнение примет вид:
$2^x = \frac{1}{2^{1/2}}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$2^x = 2^{-1/2}$
Приравнивая показатели степеней, находим $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $\frac{1}{32\sqrt{2}}$.

Решим уравнение $2^x = \frac{1}{32\sqrt{2}}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Для этого преобразуем знаменатель. Представим каждый множитель в знаменателе как степень двойки: $32 = 2^5$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Следовательно, знаменатель равен: $32\sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{1/2} = 2^{5+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{10}{2}+\frac{1}{2}} = 2^{11/2}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$2^x = \frac{1}{2^{11/2}}$
Используя свойство $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$2^x = 2^{-11/2}$
Отсюда следует, что $x = -\frac{11}{2}$.
Ответ: $-\frac{11}{2}$.

39.13 Схематично изобразите график показательной функции:

а) $y = (\sqrt{2})^x$;

б) $y = \left(\frac{1}{\pi}\right)^x$;

в) $y = (\sqrt{7})^x$;

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^x$.

Общий вид графика показательной функции $y=a^x$ зависит от значения основания $a$.

• Если $a > 1$, функция возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает.

Во всех случаях график проходит через точку $(0, 1)$, так как $a^0 = 1$ для любого $a > 0$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), а область значений — все положительные действительные числа ($y > 0$). Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

а) $y = (\sqrt{2})^x$

Основание степени $a = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $a > 1$.
Следовательно, функция является возрастающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Найдем еще несколько точек для большей точности:
Если $x=1$, то $y = (\sqrt{2})^1 = \sqrt{2} \approx 1.41$.
Если $x=2$, то $y = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Если $x=-2$, то $y = (\sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2} = 0.5$.
График представляет собой кривую, которая плавно возрастает, проходя через точки $(-2; 0.5)$, $(0; 1)$ и $(2; 2)$. При $x \to -\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости.

б) $y = (\frac{1}{\pi})^x$

Основание степени $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx \frac{1}{3.14} \approx 0.318$.
Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Найдем еще несколько точек:
Если $x=1$, то $y = \frac{1}{\pi} \approx 0.32$.
Если $x=-1$, то $y = (\frac{1}{\pi})^{-1} = \pi \approx 3.14$.
График представляет собой кривую, которая плавно убывает, проходя через точки $(-1; \pi)$ и $(0; 1)$. При $x \to +\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости.

в) $y = (\sqrt{7})^x$

Основание степени $a = \sqrt{7}$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. В любом случае, $a > 1$.
Следовательно, функция является возрастающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Так как основание $\sqrt{7} > \sqrt{2}$, эта функция возрастает быстрее, чем функция в пункте а).
Найдем еще несколько точек:
Если $x=1$, то $y = \sqrt{7} \approx 2.65$.
Если $x=2$, то $y = (\sqrt{7})^2 = 7$.
Если $x=-1$, то $y = (\sqrt{7})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{7}} \approx 0.38$.
График — это круто возрастающая кривая, проходящая через точки $(-1; 1/\sqrt{7})$, $(0; 1)$ и $(2; 7)$. При $x \to -\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — возрастающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости. Ее рост круче, чем у графика из пункта а).

г) $y = (\frac{1}{\sqrt{6}})^x$

Основание степени $a = \frac{1}{\sqrt{6}}$. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{6} < 3$, значит $0 < \frac{1}{\sqrt{6}} < \frac{1}{2}$.
Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

График проходит через точку $(0, 1)$.
Сравним основания с пунктом б): $\sqrt{6} \approx 2.45$ и $\pi \approx 3.14$. Так как $\sqrt{6} < \pi$, то $\frac{1}{\sqrt{6}} > \frac{1}{\pi}$. Для убывающих функций, чем больше основание, тем медленнее убывание. Значит, эта функция убывает медленнее, чем $y = (1/\pi)^x$.
Найдем еще несколько точек:
Если $x=1$, то $y = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.41$.
Если $x=-1$, то $y = (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1} = \sqrt{6} \approx 2.45$.
Если $x=-2$, то $y = (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-2} = 6$.
График — это убывающая кривая, проходящая через точки $(-2; 6)$, $(-1; \sqrt{6})$ и $(0; 1)$. При $x \to +\infty$, график приближается к оси Ox.

Ответ: График — убывающая кривая, проходящая через точку $(0,1)$ и лежащая в верхней полуплоскости. Ее убывание более пологое, чем у графика из пункта б).

39.6 a) $(2^{\frac{1}{3}})^6$;

б) $((\frac{1}{7})^2)^{\frac{1}{2}};

в) $(3^{\frac{3}{2}})^2;

г) $((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{-1}.

а) Чтобы найти значение выражения $(2^{\frac{1}{3}})^6$, мы используем свойство возведения степени в степень, которое гласит, что $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В данном случае, основание $a=2$, а показатели степеней $m=\frac{1}{3}$ и $n=6$. Перемножив показатели, получим новый показатель: $\frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{6}{3} = 2$. Таким образом, исходное выражение равно $2^2$, что равно 4.
Ответ: 4

б) Для выражения $((\frac{1}{7})^2)^{\frac{1}{2}}$ мы применяем то же самое свойство степени. Основание здесь $a=\frac{1}{7}$, а показатели $m=2$ и $n=\frac{1}{2}$. Произведение показателей равно $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Следовательно, выражение упрощается до $(\frac{1}{7})^1$, что равно $\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$

в) В выражении $(3^{\frac{3}{2}})^2$ мы снова используем правило возведения степени в степень. Основание $a=3$, показатели $m=\frac{3}{2}$ и $n=2$. Перемножаем показатели: $\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Таким образом, мы получаем $3^3$. Вычисляем значение: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Ответ: 27

г) Рассмотрим выражение $((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{-1}$. По свойству $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ перемножаем показатели степеней $\frac{1}{3}$ и $-1$. Получаем: $\frac{1}{3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3}$. Таким образом, выражение становится равным $(\frac{3}{4})^{-\frac{1}{3}}$. Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-p} = (\frac{b}{a})^p$. Применив его, получаем: $(\frac{3}{4})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{3}}$. Это и есть окончательный ответ. Его также можно представить в виде корня: $\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$.
Ответ: $(\frac{4}{3})^{\frac{1}{3}}$

39.10 Найдите значение аргумента $x$, при котором функция $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$

принимает заданное значение:

а) $\frac{1}{25}$;

б) $125$;

в) $\frac{1}{25\sqrt{5}}$;

г) $625\sqrt{5}$.

Для решения задачи необходимо подставить заданное значение функции $y$ в уравнение $y = (\frac{1}{5})^x$ и найти соответствующее значение аргумента $x$. Для этого нужно привести обе части получаемого уравнения к одному основанию.

а)

Подставим значение $y = \frac{1}{25}$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25}$$ Представим правую часть уравнения как степень с основанием $\frac{1}{5}$. Поскольку $25 = 5^2$, то $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$. Получаем уравнение: $$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^2$$ Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $$x = 2$$

Ответ: $2$.

б)

Подставим значение $y = 125$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = 125$$ Представим обе части уравнения как степени с основанием 5. Левая часть: $(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$. Правая часть: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. Получаем уравнение: $$5^{-x} = 5^3$$ Приравниваем показатели степеней: $$-x = 3$$ $$x = -3$$

Ответ: $-3$.

в)

Подставим значение $y = \frac{1}{25\sqrt{5}}$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{25\sqrt{5}}$$ Представим обе части уравнения как степени с основанием 5. Левая часть: $(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$. Правая часть: используем свойства степеней $25 = 5^2$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. $$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$$ Следовательно, $\frac{1}{25\sqrt{5}} = \frac{1}{5^{\frac{5}{2}}} = 5^{-\frac{5}{2}}$. Получаем уравнение: $$5^{-x} = 5^{-\frac{5}{2}}$$ Приравниваем показатели степеней: $$-x = -\frac{5}{2}$$ $$x = \frac{5}{2}$$

Ответ: $\frac{5}{2}$.

г)

Подставим значение $y = 625\sqrt{5}$ в уравнение функции: $$(\frac{1}{5})^x = 625\sqrt{5}$$ Представим обе части уравнения как степени с основанием 5. Левая часть: $(\frac{1}{5})^x = 5^{-x}$. Правая часть: $625 = 5^4$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. $$625\sqrt{5} = 5^4 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{4 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{9}{2}}$$ Получаем уравнение: $$5^{-x} = 5^{\frac{9}{2}}$$ Приравниваем показатели степеней: $$-x = \frac{9}{2}$$ $$x = -\frac{9}{2}$$

Ответ: $-\frac{9}{2}$.

39.14 Сравните числа:

a) $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$;

б) $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$;

в) $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$;

г) $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$.

а) Для сравнения чисел $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$ используется свойство показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 1,3$. Так как $a > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.

Сравним показатели степеней: $34 < 40$.

Поскольку функция возрастающая, меньшему показателю степени соответствует меньшее значение числа. Таким образом, $1,3^{34} < 1,3^{40}$.

Ответ: $1,3^{34} < 1,3^{40}$.

б) Для сравнения чисел $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$ рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{7}{9})^x$.

Основание степени $a = \frac{7}{9}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

Сравним показатели степеней: $16,2 > -3$.

Поскольку функция убывающая, большему показателю степени соответствует меньшее значение числа. Таким образом, $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.

Ответ: $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.

в) Для сравнения чисел $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$ рассмотрим показательную функцию $y = 12,1^x$.

Основание степени $a = 12,1 > 1$, следовательно, функция является возрастающей. Большему показателю степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $3 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.

Следовательно, $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.

г) Для сравнения чисел $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$ рассмотрим показательную функцию $y = (0,65)^x$.

Основание степени $a = 0,65$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Большему показателю степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\frac{1}{2}$. Поскольку $-\sqrt{2}$ - отрицательное число, а $\frac{1}{2}$ - положительное, очевидно, что $-\sqrt{2} < \frac{1}{2}$.

Поскольку функция убывающая, меньшему показателю степени соответствует большее значение числа. Таким образом, $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.

39.7 а) $ (2^{-3})^2 \cdot 2^5; $

б) $ (\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1})^5 : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6}; $

В) $ (3^{2,7})^3 : 3^{5,1}; $

Г) $ (\left(\frac{2}{3}\right)^{-3})^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5. $

а)

Для решения данного примера необходимо последовательно применить свойства степеней.
1. Сначала воспользуемся правилом возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В выражении $(2^{-3})^2 \cdot 2^5$ преобразуем первый множитель:
$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.
2. Теперь выражение принимает вид: $2^{-6} \cdot 2^5$.
Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^{-6} \cdot 2^5 = 2^{-6+5} = 2^{-1}$.
3. В завершение используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
1. Вначале упростим первое выражение $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1}\right)^5$, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4,1}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{4,1 \cdot 5} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20,5}$.
2. Теперь исходное выражение имеет вид: $\left(\frac{2}{3}\right)^{20,5} : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$\left(\frac{2}{3}\right)^{20,5} : \left(\frac{2}{3}\right)^{20,6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{20,5 - 20,6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-0,1}$.
3. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, можно записать ответ в другом виде:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-0,1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{0,1}$.
Ответ: $\left(\frac{3}{2}\right)^{0,1}$

в)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к выражению $(3^{2,7})^3$.
$(3^{2,7})^3 = 3^{2,7 \cdot 3} = 3^{8,1}$.
2. Теперь исходное выражение выглядит так: $3^{8,1} : 3^{5,1}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$3^{8,1} : 3^{5,1} = 3^{8,1 - 5,1} = 3^3$.
3. Вычислим полученное значение:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Ответ: $27$

г)

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
1. Сначала упростим первый множитель $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^2$, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3 \cdot 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-6}$.
2. Теперь выражение имеет вид: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-6} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5$.
Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-6} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-6+5} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$.
3. Наконец, используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби: $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
$\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

39.11 Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:

а) $y = 4x - 1$;

б) $y = 18^x$;

в) $y = -3x^2 + 8$;

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x$.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \ge m$. Проанализируем каждую из предложенных функций.

а) $y = 4x - 1$

Это линейная функция. Её графиком является прямая линия с угловым коэффициентом $k=4$. Область значений данной функции — множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Так как функция может принимать сколь угодно малые отрицательные значения, она не ограничена снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

б) $y = 18^x$

Это показательная функция с основанием $a = 18$, где $a > 1$. По свойству показательной функции, её область значений — множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(y) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого $x$ значение $y$ всегда будет больше нуля ($y > 0$). Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.

в) $y = -3x^2 + 8$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение функция достигает в своей вершине. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-3)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = -3(0)^2 + 8 = 8$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; 8]$. Функция ограничена сверху числом 8, но не ограничена снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{4}{11}$, где $0 < a < 1$. Аналогично функции из пункта б), область значений любой показательной функции с положительным основанием, не равным единице, есть множество всех положительных чисел: $E(y) = (0; +\infty)$. Это значит, что $y > 0$ при любом значении $x$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.

39.8 Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:

а) $y = 3^x$;

б) $y = x^3$;

в) $y = x^{\frac{5}{3}}$;

г) $y = (\sqrt{3})^x$.

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является положительным постоянным числом, не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а показатель степени $x$ является переменной. Проанализируем каждую из предложенных функций:

а) Функция $y = 3^x$.
В данной функции основание $a = 3$ является постоянным числом. Оно удовлетворяет условиям показательной функции: $3 > 0$ и $3 \neq 1$. Показатель степени является переменной $x$. Следовательно, эта функция является показательной.
Ответ: является показательной.

б) Функция $y = x^3$.
В этой функции основание степени — это переменная $x$, а показатель степени — постоянное число $3$. Такая функция называется степенной. Она не является показательной, так как в показательной функции основание должно быть постоянным, а показатель — переменным.
Ответ: не является показательной.

в) Функция $y = x^{\frac{5}{3}}$.
Аналогично предыдущему пункту, эта функция является степенной, так как основание $x$ — переменная, а показатель $\frac{5}{3}$ — постоянное число.
Ответ: не является показательной.

г) Функция $y = (\sqrt{3})^x$.
Здесь основание $a = \sqrt{3}$ является постоянным числом. Условия для основания показательной функции выполнены: $\sqrt{3} > 0$ и $\sqrt{3} \neq 1$. Показателем степени является переменная $x$. Таким образом, эта функция является показательной.
Ответ: является показательной.

39.12 Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху:

а) $y = -3x^2 + 1$;

б) $y = (0,6)^x$;

в) $y = (7,2)^x$;

г) $y = \cos x$.

Функция называется неограниченной сверху, если множество её значений не ограничено сверху. Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, существует такое значение аргумента $x_0$, для которого выполняется неравенство $f(x_0) > M$. Проанализируем каждую из заданных функций на предмет ограниченности сверху.

а) $y = -3x^2 + 1$
Данная функция является квадратичной. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$). Это означает, что функция имеет глобальный максимум в вершине параболы. Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-3)} = 0$. Максимальное значение функции: $y_{max} = y(0) = -3(0)^2 + 1 = 1$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $y(x) \le 1$.
Ответ: функция ограничена сверху.

б) $y = (0,6)^x$
Это показательная функция с основанием $a = 0,6$. Поскольку основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Область значений данной функции — $(0; +\infty)$. При устремлении аргумента $x$ к минус бесконечности ($x \to -\infty$), значения функции неограниченно возрастают: $\lim_{x \to -\infty} (0,6)^x = +\infty$. Это означает, что для любого числа $M$ можно найти такое $x$, что $(0,6)^x > M$.
Ответ: функция не ограничена сверху.

в) $y = (7,2)^x$
Это показательная функция с основанием $a = 7,2$. Поскольку основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Область значений данной функции — $(0; +\infty)$. При устремлении аргумента $x$ к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), значения функции неограниченно возрастают: $\lim_{x \to +\infty} (7,2)^x = +\infty$. Это означает, что для любого числа $M$ можно найти такое $x$, что $(7,2)^x > M$.
Ответ: функция не ограничена сверху.

г) $y = \cos x$
Это тригонометрическая функция косинус. Множество значений этой функции — отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Максимальное значение функции равно 1.
Ответ: функция ограничена сверху.

Таким образом, из заданных функций не ограничены сверху функции б) $y = (0,6)^x$ и в) $y = (7,2)^x$.