Страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39.25 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 1, \\ -x^2 + 1, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(1)$; $f(2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции.

а) Вычислите f(-3); f(-2,5); f(0); f(1); f(2);

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу из определения функции:

$f(x) = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 1 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

• Вычисление $f(-3)$:
  Поскольку $-3 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = 4^x$.
  $f(-3) = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

• Вычисление $f(-2,5)$:
  Поскольку $-2,5 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = 4^x$.
  $f(-2,5) = 4^{-2,5} = 4^{-5/2} = \frac{1}{4^{5/2}} = \frac{1}{(\sqrt{4})^5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

• Вычисление $f(0)$:
  Поскольку $0 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = 4^x$.
  $f(0) = 4^0 = 1$.

• Вычисление $f(1)$:
  Поскольку $1 \ge 1$, используем вторую формулу: $f(x) = -x^2 + 1$.
  $f(1) = -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

• Вычисление $f(2)$:
  Поскольку $2 \ge 1$, используем вторую формулу: $f(x) = -x^2 + 1$.
  $f(2) = -(2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Ответ: $f(-3) = \frac{1}{64}$; $f(-2,5) = \frac{1}{32}$; $f(0) = 1$; $f(1) = 0$; $f(2) = -3$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.

1. При $x < 1$ функция задается формулой $y = 4^x$. Это показательная функция, основание которой $4 > 1$. График этой функции проходит через точку $(0, 1)$ и возрастает. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x=1$. Так как неравенство строгое ($x<1$), точка на графике будет выколотой.$y(1) = 4^1 = 4$. Таким образом, левая часть графика заканчивается в точке $(1, 4)$ с выколотым кружком.

2. При $x \ge 1$ функция задается формулой $y = -x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Нам нужна часть этой параболы для $x \ge 1$. Найдем значение функции в граничной точке $x=1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$), точка будет закрашенной.$y(1) = -(1)^2 + 1 = 0$. Таким образом, правая часть графика начинается в точке $(1, 0)$ с закрашенным кружком.Для более точного построения найдем еще одну точку, например, при $x=2$:$y(2) = -(2)^2 + 1 = -3$. График проходит через точку $(2, -3)$.

График функции представляет собой кривую показательной функции $y=4^x$ на интервале $(-\infty, 1)$ и часть параболы $y=-x^2+1$ на луче $[1, +\infty)$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции построен путем объединения графика функции $y = 4^x$ на интервале $(-\infty, 1)$ и графика функции $y = -x^2 + 1$ на луче $[1, +\infty)$. В точке $x=1$ происходит скачок: левый предел равен 4, а значение функции равно 0.

в) прочитайте график функции.

Перечислим основные свойства функции $y = f(x)$ на основе ее графика и определения:

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений: На интервале $(-\infty, 1)$ значения функции лежат в интервале $(0, 4)$. На луче $[1, +\infty)$ значения лежат в промежутке $(-\infty, 0]$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (-\infty, 4)$.

• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1$.

• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1, +\infty)$.

• Монотонность: Функция возрастает на интервале $(-\infty, 1)$ и убывает на луче $[1, +\infty)$.

• Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума или минимума. Наибольшего и наименьшего значений нет.

• Непрерывность: Функция непрерывна на множестве $(-\infty, 1) \cup [1, +\infty)$. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения симметрична относительно нуля, но $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$. Например, $f(2) = -3$, а $f(-2) = 4^{-2} = \frac{1}{16}$.

• Ограниченность: Функция ограничена сверху числом 4, но не ограничена снизу.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.

39.26 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-5)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(4)$; $f(1,69)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции.

а) Вычислите f(-5); f(-2,5); f(0); f(4); f(1,69);

Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо выбрать нужную формулу в зависимости от знака аргумента $x$.

При $x < 0$ используется формула $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.
При $x \ge 0$ используется формула $f(x) = \sqrt{x} + 1$.

1. Для $x = -5$: так как $-5 < 0$, используем первую формулу:
$f(-5) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32$.

2. Для $x = -2,5$: так как $-2,5 < 0$, используем первую формулу:
$f(-2,5) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2,5} = \left(2^{-1}\right)^{-2,5} = 2^{2,5} = 2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

3. Для $x = 0$: так как $0 \ge 0$, используем вторую формулу:
$f(0) = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

4. Для $x = 4$: так как $4 \ge 0$, используем вторую формулу:
$f(4) = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$.

5. Для $x = 1,69$: так как $1,69 \ge 0$, используем вторую формулу:
$f(1,69) = \sqrt{1,69} + 1 = 1,3 + 1 = 2,3$.

Ответ: $f(-5) = 32$; $f(-2,5) = 4\sqrt{2}$; $f(0) = 1$; $f(4) = 3$; $f(1,69) = 2,3$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей:
1. При $x < 0$ график совпадает с графиком показательной функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Это убывающая кривая, которая проходит через точки $(-2, 4)$, $(-1, 2)$ и слева приближается к точке $(0, 1)$.
2. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x} + 1$. Это ветвь параболы, смещенная на 1 единицу вверх. Она начинается в точке $(0, 1)$ и проходит через точки $(1, 2)$, $(4, 3)$.

Так как предел функции слева в точке $x=0$ равен $\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$ и значение функции в этой точке $f(0) = 1$, то функция является непрерывной. График представляет собой единую линию без разрывов.

Ответ: График функции построен и представлен на изображении выше.

в) прочитайте график функции.

Прочитаем график, то есть опишем основные свойства функции $y=f(x)$:
1. Область определения: График определен для любых значений $x$, от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Наименьшее значение функции достигается в точке $(0, 1)$, ордината которой равна 1. Все остальные значения функции больше 1. Следовательно, область значений $E(f) = [1; +\infty)$.
3. Нули функции: График не пересекает ось абсцисс $Ox$, так как полностью расположен выше нее. Нулей у функции нет.
4. Промежутки знакопостоянства: Так как $y \ge 1$ для всех $x$, функция принимает только положительные значения. $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.
5. Монотонность: На промежутке $(-\infty, 0)$ график идет вниз при движении слева направо, следовательно, функция убывает. На промежутке $[0, +\infty)$ график идет вверх, следовательно, функция возрастает.
6. Точки экстремума: В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием. Это точка минимума. $x_{min} = 0$, минимальное значение функции $y_{min} = f(0) = 1$.
7. Четность и нечетность: График не симметричен ни относительно оси ординат $Oy$, ни относительно начала координат. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
8. Непрерывность: График является сплошной линией, без точек разрыва. Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции: 1) область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; 2) область значений $E(f) = [1; +\infty)$; 3) нулей нет; 4) функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$; 5) точка минимума $(0, 1)$; 6) функция общего вида; 7) непрерывна на всей области определения.

39.23 Найдите область определения функции:

а) $y = 4^{x^2 - 1}$;

б) $y = 7^{\frac{1}{x}}$;

в) $y = \left(\frac{3}{8}\right)^{-x^2 + 2}$;

г) $y = 9,1^{\frac{1}{x-1}}$.

а) $y = 4^{x^2-1}$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^{f(x)}$, где основание $a=4$ и показатель степени $f(x) = x^2-1$.

Область определения показательной функции ($D(y)$) зависит от области определения ее показателя, так как основание $a=4$ является положительным числом, не равным 1. Выражение в показателе степени, $f(x) = x^2-1$, является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 7^{\frac{1}{x}}$

Это показательная функция, где основание $a=7$ и показатель степени $f(x) = \frac{1}{x}$.

Функция определена, когда определен ее показатель степени. Показатель степени $f(x) = \frac{1}{x}$ представляет собой дробь, которая определена при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому должно выполняться условие $x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) $y = \left(\frac{3}{8}\right)^{-x^2+2}$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^{f(x)}$, где основание $a=\frac{3}{8}$ и показатель степени $f(x) = -x^2+2$.

Область определения этой функции совпадает с областью определения ее показателя, так как основание $a=\frac{3}{8}$ положительно и не равно единице. Выражение в показателе степени, $f(x) = -x^2+2$, является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел $x$.

Таким образом, область определения исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = 9,1^{\frac{1}{x-1}}$

Это показательная функция, где основание $a=9,1$ и показатель степени $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Функция определена, когда определен ее показатель степени. Показатель $f(x) = \frac{1}{x-1}$ — это дробно-рациональное выражение. Оно определено для всех значений $x$, при которых его знаменатель не обращается в ноль.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x-1=0$, откуда $x=1$.

Следовательно, это значение необходимо исключить из области определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 1.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

39.27 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}\right)^x, \text{ если } x \le 0, \\ \cos x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

a) Вычислите $f(-3); f(-2); f(-1,5); f(0); f\left(\frac{\pi}{4}\right); f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции.

а) Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо определить, какому из двух промежутков, $x \le 0$ или $x > 0$, принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

При $x = -3$:
Так как $-3 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(-3) = (\frac{1}{4})^{-3} = 4^3 = 64$.

При $x = -2$:
Так как $-2 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(-2) = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^2 = 16$.

При $x = -1,5$:
Так как $-1,5 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(-1,5) = (\frac{1}{4})^{-1,5} = (\frac{1}{4})^{-3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8$.

При $x = 0$:
Так как $0 \le 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{4})^x$.
$f(0) = (\frac{1}{4})^0 = 1$.

При $x = \frac{\pi}{4}$:
Так как $\frac{\pi}{4} > 0$ (поскольку $\pi \approx 3,14$), используем формулу $f(x) = \cos x$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $x = \frac{3\pi}{2}$:
Так как $\frac{3\pi}{2} > 0$, используем формулу $f(x) = \cos x$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Ответ: $f(-3) = 64$; $f(-2) = 16$; $f(-1,5) = 8$; $f(0) = 1$; $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $f(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

б) Для построения графика функции $y = f(x)$ мы строим его по частям для двух интервалов.

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график показательной функции $y = (\frac{1}{4})^x$. Это убывающая кривая, проходящая через точки, которые мы вычислили в пункте а): $(-2, 16)$, $(-1,5, 8)$, $(-1, 4)$, $(0, 1)$. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. Точка $(0, 1)$ принадлежит этому участку графика.

2. На промежутке $(0, \infty)$ строим график тригонометрической функции $y = \cos x$. Это известная косинусоида. Она начинается от точки $(0, 1)$ (которая не входит в этот промежуток, но совпадает с конечной точкой предыдущего участка, что делает функцию непрерывной) и колеблется между $y=1$ и $y=-1$. Ключевые точки: пересечение с осью Ох в точках $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$; точки минимума $(-1)$ в $x = \pi, 3\pi, \dots$; точки максимума $(1)$ в $x = 2\pi, 4\pi, \dots$.

Объединив эти два графика, мы получим итоговый график функции $y = f(x)$. Это непрерывная линия, которая для отрицательных $x$ является убывающей экспонентой, а для положительных $x$ — косинусоидой.

Ответ: График функции представляет собой комбинацию графика функции $y = (\frac{1}{4})^x$ на луче $(-\infty, 0]$ и графика функции $y = \cos x$ на луче $(0, \infty)$.

в) Свойства функции $y = f(x)$ на основе ее графика и определения:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: Для $x \le 0$, значения функции $y \ge 1$. Для $x > 0$, значения функции $y \in [-1, 1]$. Объединяя эти множества, получаем область значений $E(f) = [-1; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения, так как $\lim_{x\to 0^-} f(x) = 1$, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1$ и $f(0) = 1$.

4. Нули функции: $f(x) = 0$. Для $x \le 0$ нулей нет, так как $(\frac{1}{4})^x > 0$. Для $x>0$ решаем $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$).

5. Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси Оy, ни относительно начала координат. Например, $f(\pi) = -1$, а $f(-\pi) = 4^\pi \ne \pm f(\pi)$.

6. Промежутки монотонности:
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, \pi]$ и $[2\pi k, (2k+1)\pi]$ для всех $k \in \mathbb{N}$ (т.е. $k=1, 2, 3, \dots$).
- Функция возрастает на промежутках $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$ для всех $k \in \mathbb{N}$.

7. Экстремумы:
- Точки минимума: $x_{min} = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. Минимальное значение функции $y_{min} = -1$.
- Точки максимума: $x_{max} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{N}$ (т.е. $k=1, 2, 3, \dots$). Максимальное значение в этих точках $y_{max} = 1$. Точка $(0, 1)$ не является точкой экстремума.

8. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (\frac{(4k-1)\pi}{2}, \frac{(4k+1)\pi}{2})$.
- $f(x) < 0$ при $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} (\frac{(4k+1)\pi}{2}, \frac{(4k+3)\pi}{2})$.

Ответ: Перечисленные выше свойства функции.

39.24 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \ge 0, \\ 3x + 1, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3); f(-2,5); f(0); f(2); f(3,5);$

б) постройте график функции $y = f(x);$

в) прочитайте график функции.

а) Вычислите $f(-3)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(2)$; $f(3,5)$;

Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо определить, какому из двух промежутков, $x \ge 0$ или $x < 0$, принадлежит аргумент $x$.

При $x = -3$: так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
$f(-3) = 3 \cdot (-3) + 1 = -9 + 1 = -8$.

При $x = -2,5$: так как $-2,5 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
$f(-2,5) = 3 \cdot (-2,5) + 1 = -7,5 + 1 = -6,5$.

При $x = 0$: так как $0 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
$f(0) = 2^0 = 1$.

При $x = 2$: так как $2 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
$f(2) = 2^2 = 4$.

При $x = 3,5$: так как $3,5 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
$f(3,5) = 2^{3,5} = 2^{7/2} = \sqrt{2^7} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $f(-3)=-8$; $f(-2,5)=-6,5$; $f(0)=1$; $f(2)=4$; $f(3,5)=8\sqrt{2}$.

б) постройте график функции $y = f(x)$;

График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

1. При $x < 0$ функция имеет вид $y = 3x + 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как $x < 0$, мы строим часть этой прямой (луч). Для построения найдем координаты двух точек:
Если $x = -1$, то $y = 3(-1) + 1 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
Если $x = -2$, то $y = 3(-2) + 1 = -5$. Получаем точку $(-2, -5)$.
Найдём предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева: $\lim_{x \to 0^-} (3x+1) = 1$. Это означает, что луч заканчивается в точке $(0, 1)$, которая не включается в эту часть графика (на графике её обозначают выколотой точкой).

2. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 2^x$. Это показательная функция. Найдём несколько точек для построения этой части графика:
Если $x = 0$, то $y = 2^0 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
Если $x = 1$, то $y = 2^1 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.
Если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$. Получаем точку $(2, 4)$.
Точка $(0, 1)$ принадлежит этой части графика (на графике её обозначают закрашенной точкой).

3. Совмещаем обе части на одной координатной плоскости. Поскольку предел левой части в точке $x=0$ равен значению правой части в этой же точке, функция является непрерывной. График представляет собой единую линию, состоящую из луча прямой $y = 3x+1$ для $x < 0$ и кривой показательной функции $y = 2^x$ для $x \ge 0$, которые соединяются в точке $(0, 1)$.

Ответ: График функции состоит из луча прямой $y=3x+1$, расположенного в левой полуплоскости и заканчивающегося в точке $(0, 1)$, и графика показательной функции $y=2^x$, расположенного в правой полуплоскости и начинающегося из точки $(0, 1)$.

в) прочитайте график функции.

Основные свойства функции $y = f(x)$:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все действительные значения. $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: значение функции равно нулю при $3x+1=0$, откуда $x = -1/3$. Уравнение $2^x=0$ решений не имеет. Таким образом, функция имеет один нуль: $x = -1/3$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in (-1/3; +\infty)$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1/3)$.

5. Монотонность:
При $x < 0$ функция $y = 3x+1$ возрастает (так как угловой коэффициент $3 > 0$).
При $x \ge 0$ функция $y = 2^x$ возрастает (так как основание степени $2 > 1$).
Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

6. Точки экстремума: так как функция является монотонно возрастающей, точек локального максимума и минимума у нее нет.

7. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как она непрерывна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, и в точке $x=0$ выполняется условие непрерывности: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$.

8. Четность, нечетность: функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как её график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат. Например, $f(2) = 4$, а $f(-2) = -5$, при этом $f(-2) \ne f(2)$ и $f(-2) \ne -f(2)$.

9. Асимптоты: при $x \to -\infty$ график функции асимптотически приближается к прямой $y = 3x+1$, которая является наклонной асимптотой. При $x \to +\infty$ асимптот нет.

Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность, четность, асимптоты) перечислены в пунктах 1-9.

Найдите область значений функции:

39.28 a) $y = 3 \cdot 2^x$;

б) $y = 14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$;

в) $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x$;

г) $y = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

а) Рассматриваем функцию $y = 3 \cdot 2^x$. Областью значений показательной функции $f(x)=a^x$ (при $a>0, a \neq 1$) является множество всех положительных действительных чисел. Таким образом, выражение $2^x$ принимает значения из интервала $(0; +\infty)$. Поскольку $2^x$ умножается на положительное число $3$, то и значения функции $y$ будут строго положительными. Следовательно, область значений функции $y=3 \cdot 2^x$ — это интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

б) Для функции $y = 14 \cdot (\frac{1}{2})^x$ показательная часть $(\frac{1}{2})^x$ всегда больше нуля для любого действительного $x$. То есть, $(\frac{1}{2})^x \in (0; +\infty)$. Коэффициент $14$ является положительным. При умножении любого числа из интервала $(0; +\infty)$ на $14$, результат также будет принадлежать интервалу $(0; +\infty)$. Таким образом, область значений функции — это множество всех положительных чисел.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

в) В функции $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x$ выражение $7^x$ представляет собой показательную функцию с основанием $7 > 1$. Множество ее значений — это интервал $(0; +\infty)$. Умножение на положительный коэффициент $\frac{1}{2}$ не меняет знак значений, поэтому область значений исходной функции также является интервалом $(0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{2})^x$ показательное выражение $(\frac{1}{2})^x$ принимает только строго положительные значения. Так как оно умножается на положительный коэффициент $\frac{4}{3}$, итоговые значения функции $y$ также будут строго положительными. Следовательно, область значений функции — это интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.