Страница 134, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

34.25 a) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$;б) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$.

а)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Кубический корень определён для любого действительного числа, поэтому единственное ограничение накладывается знаменателем дроби под корнем: он не должен быть равен нулю.

$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Упростим выражение под корнем. Разложим числитель $x^2 - 5x + 4$ на множители. Найдём корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Значит, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Подставим это в исходную функцию:

$y = \sqrt[3]{\frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 4}}$

3. Поскольку $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x-4)$:

$y = \sqrt[3]{x-1}$

4. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sqrt[3]{x-1}$ во всех точках, кроме точки $x=4$. В этой точке исходная функция не определена, следовательно, на её графике будет "выколотая" точка.

Найдём координаты этой выколотой точки. Абсцисса равна 4. Ординату найдём, подставив $x=4$ в упрощённую функцию:

$y = \sqrt[3]{4-1} = \sqrt[3]{3}$.

Координаты выколотой точки: $(4; \sqrt[3]{3})$.

5. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x-1}$. Это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Основные характеристики графика $y = \sqrt[3]{x-1}$:

• Пересечение с осью Ox (y=0): $\sqrt[3]{x-1} = 0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1,0)$.
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = \sqrt[3]{0-1} = -1$. Точка $(0,-1)$.
• График проходит через точку $(2,1)$, так как $y(2) = \sqrt[3]{2-1}=1$.
• График проходит через точку $(9,2)$, так как $y(9) = \sqrt[3]{9-1}=2$.

График исходной функции — это кривая $y=\sqrt[3]{x-1}$ с выколотой точкой $(4; \sqrt[3]{3})$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y = \sqrt[3]{x-1}$ (кубическая парабола, сдвинутая на 1 вправо) с выколотой точкой $(4; \sqrt[3]{3})$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$.

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Поскольку корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Получаем систему условий:

$\begin{cases} \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} \geq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$

2. Решим неравенство. Разложим числитель $x^2 - x - 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Значит, $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x-3)(x+2)}{x-3} \geq 0$

Так как $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$:

$x+2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$.

Объединяя условия $x \geq -2$ и $x \neq 3$, получаем область определения: $D(y) = [-2; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Упростим выражение для функции на её области определения:

$y = \sqrt[4]{\frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3}} = \sqrt[4]{x+2}$

4. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \sqrt[4]{x+2}$ на всей её области определения $D(y)$. На графике будет выколотая точка при $x=3$.

Найдём координаты этой выколотой точки. Абсцисса равна 3. Ординату найдём, подставив $x=3$ в упрощённую функцию:

$y = \sqrt[4]{3+2} = \sqrt[4]{5}$.

Координаты выколотой точки: $(3; \sqrt[4]{5})$.

5. Построим график функции $y = \sqrt[4]{x+2}$. Это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Основные характеристики графика $y = \sqrt[4]{x+2}$:

• Область определения этой функции $x \geq -2$. Наш график определён на $x \in [-2; 3) \cup (3; +\infty)$.
• График начинается в точке $(-2,0)$. Это точка пересечения с осью Ox.
• Пересечение с осью Oy (x=0): $y = \sqrt[4]{0+2} = \sqrt[4]{2}$. Точка $(0, \sqrt[4]{2})$.
• График проходит через точку $(-1,1)$, так как $y(-1) = \sqrt[4]{-1+2}=1$.
• График является ветвью параболы, "лежащей на боку".

График исходной функции — это кривая $y=\sqrt[4]{x+2}$ для $x \geq -2$ с выколотой точкой $(3; \sqrt[4]{5})$.

Ответ: График функции представляет собой график функции $y = \sqrt[4]{x+2}$ (ветвь параболы, выходящая из точки $(-2,0)$ и идущая вправо-вверх) с выколотой точкой $(3; \sqrt[4]{5})$.

Найдите область значений функции:

34.22 a) $y = \sqrt[4]{x} + 1$;

б) $y = \sqrt[5]{x} - 2$;

в) $y = \sqrt[7]{x} + 3$;

г) $y = \sqrt[6]{x} - 4$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = \sqrt[4]{x} + 1$, проанализируем ее составляющие. Выражение $\sqrt[4]{x}$ представляет собой арифметический корень четной степени. По определению, значение такого корня всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Область определения данной функции — $x \ge 0$. Так как наименьшее значение $\sqrt[4]{x}$ равно 0 (при $x=0$), то наименьшее значение всей функции будет $y = 0 + 1 = 1$. При увеличении $x$ значение $\sqrt[4]{x}$ будет неограниченно возрастать, а значит и значение $y$ тоже. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $E(y) = [1, +\infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[5]{x} - 2$. Эта функция содержит корень нечетной степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$, и его значение также может быть любым действительным числом. Область значений функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty, +\infty)$. Наша функция $y$ получается из $f(x)$ вычитанием константы 2, что соответствует сдвигу графика вдоль оси $y$ на 2 единицы вниз. Такой сдвиг не меняет множества значений, оно по-прежнему охватывает все действительные числа.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

в) Функция $y = \sqrt[7]{x + 3}$ содержит корень нечетной степени. Выражение под корнем $x+3$ может принимать любое действительное значение, так как область определения $x$ — все действительные числа. Поскольку корень нечетной степени из любого действительного числа существует и может быть любым действительным числом, то и область значений функции $y$ — это множество всех действительных чисел. Горизонтальный сдвиг графика на 3 единицы влево не влияет на область значений.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[6]{x} - 4$. По аналогии с пунктом а), здесь присутствует корень четной степени. Значение арифметического корня $\sqrt[6]{x}$ всегда неотрицательно: $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Область определения функции — $x \ge 0$. Чтобы найти область значений всей функции, вычтем 4 из обеих частей неравенства: $\sqrt[6]{x} - 4 \ge 0 - 4$, что дает $y \ge -4$. Наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $y = 0 - 4 = -4$. При увеличении $x$ значение $y$ неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные -4.
Ответ: $E(y) = [-4, +\infty)$.

34.26 a) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - 1}{x - 1}} + 1;$

б) $y = \sqrt[5]{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3}} - 2x.$

а) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 1}$

Для нахождения области определения (ОДЗ) данной функции необходимо выполнение двух условий.

1. Выражение под корнем четной степени (в данном случае, четвертой) должно быть неотрицательным:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 1 \ge 0$

2. Знаменатель дроби, входящей в подкоренное выражение, не должен равняться нулю:

$x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Теперь решим неравенство из первого условия. Упростим подкоренное выражение. Для этого разложим числитель дроби $x^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} + 1 \ge 0$

Так как мы уже установили, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 1)$:

$(x + 1) + 1 \ge 0$

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Объединим полученное решение $x \ge -2$ с ограничением $x \neq 1$. Область определения функции состоит из всех значений $x$, которые больше или равны -2, за исключением точки $x=1$.

Ответ: $D(y) = [-2; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x}$

Для нахождения области определения этой функции проанализируем ее.

1. Функция содержит корень нечетной степени (пятой). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, никаких ограничений на знак выражения $\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x$ не накладывается.

2. Единственное ограничение возникает из-за наличия дроби в подкоренном выражении: ее знаменатель не должен быть равен нулю.

$x - 3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

Это и есть единственное условие, определяющее область определения функции. Для полноты анализа упростим подкоренное выражение. Найдем корни квадратного трехчлена в числителе $3x^2 - 8x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, числитель можно разложить на множители: $3x^2 - 8x - 3 = 3(x - 3)(x + \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x + 1)$.

Подставим полученное разложение в подкоренное выражение:

$\frac{(x - 3)(3x + 1)}{x - 3} - 2x$

При условии $x \neq 3$ мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$(3x + 1) - 2x = x + 1$

Таким образом, при $x \neq 3$ исходная функция эквивалентна функции $y = \sqrt[5]{x+1}$. Область определения этой упрощенной функции — все действительные числа. Однако, из-за наличия знаменателя $(x-3)$ в исходной функции, точка $x=3$ должна быть исключена.

Следовательно, областью определения исходной функции являются все действительные числа, кроме 3.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

34.23 a) $y = 2 + \sqrt[4]{x}$;

Б) $y = \sqrt[5]{x} - 3$;

В) $y = \sqrt[6]{x} - 3$;

Г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}$.

а) $y = 2 + \sqrt[4]{x}$

Для нахождения области определения и области значений функции проанализируем ее составляющие.

Область определения (D(y)): Функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). По определению корня четной степени, выражение, стоящее под знаком корня, должно быть неотрицательным. В данном случае это $x$. Следовательно, мы должны иметь $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции — это все неотрицательные числа. $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)): Значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно. То есть, $\sqrt[4]{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Функция $y$ получается прибавлением 2 к значению $\sqrt[4]{x}$. Так как наименьшее значение $\sqrt[4]{x}$ равно 0 (при $x=0$), наименьшее значение $y$ будет: $y_{min} = 2 + 0 = 2$. При увеличении $x$, значение $\sqrt[4]{x}$ неограниченно возрастает, а значит, и $y$ тоже. Следовательно, $y \ge 2$. Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$; область значений: $[2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{x} - 3$

Область определения (D(y)): Функция содержит корень нечетной степени (корень 5-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому $x$ может быть любым действительным числом. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = R$.

Область значений (E(y)): Выражение $\sqrt[5]{x}$ может принимать любое действительное значение, когда $x$ пробегает все действительные числа. Например, если $x$ отрицательно, то и $\sqrt[5]{x}$ отрицательно. Если $x$ стремится к $+\infty$, то и $\sqrt[5]{x}$ стремится к $+\infty$. Функция $y$ получается вычитанием 3 из значения $\sqrt[5]{x}$. Так как $\sqrt[5]{x}$ может быть любым действительным числом, то и $y = \sqrt[5]{x} - 3$ также может быть любым действительным числом. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = R$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[6]{x} - 3$

Область определения (D(y)): Функция содержит корень четной степени (корень 6-й степени). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. $x \ge 0$. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)): Арифметический корень четной степени $\sqrt[6]{x}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Наименьшее значение $\sqrt[6]{x}$ равно 0 (при $x=0$). Функция $y$ получается вычитанием 3 из $\sqrt[6]{x}$. Следовательно, наименьшее значение $y$: $y_{min} = 0 - 3 = -3$. При увеличении $x$, значение $y$ неограниченно возрастает. Таким образом, $y \ge -3$. Область значений функции: $E(y) = [-3; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$; область значений: $[-3; +\infty)$.

г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}$

Область определения (D(y)): Функция содержит корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = R$.

Область значений (E(y)): Выражение $\sqrt[3]{x}$ может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль). Функция $y$ получается прибавлением 2 к значению $\sqrt[3]{x}$. Поскольку множество значений для $\sqrt[3]{x}$ — это все действительные числа, то и после прибавления 2 множество значений останется тем же. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = R$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; +\infty)$.

34.24 Найдите наименьшее значение функции:

a) $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8}$;

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$.

а) $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8}$

Для нахождения наименьшего значения данной функции необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $f(x) = x^2 - 6x + 8$, так как функция $g(t) = \sqrt[4]{t}$ является возрастающей на всей своей области определения ($t \ge 0$).

Область определения функции $y$ задается условием $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$. Это и есть область определения исходной функции.

Теперь найдем наименьшее значение выражения $f(x) = x^2 - 6x + 8$ на этой области определения. Минимум квадратичной функции $f(x)$ достигается в вершине параболы, абсцисса которой $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Однако, точка $x=3$ не принадлежит области определения функции $y$.

Значит, наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ на области определения достигается в точках, ближайших к вершине, то есть в точках $x=2$ и $x=4$.

Проверим значения $f(x)$ в этих точках:
$f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$
$f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$

Таким образом, наименьшее значение подкоренного выражения на области определения функции равно 0.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = \sqrt[4]{0} = 0$.

Ответ: 0.

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения наименьшего значения функции $y$ найдем наименьшее значение подкоренного выражения $f(x) = x^2 + 6x + 10$, так как функция $g(t) = \sqrt[6]{t}$ является возрастающей при $t \ge 0$.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 + 6x + 10$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, функция имеет точку минимума.

Найдем наименьшее значение этой функции. Его можно найти, определив координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Значение функции в точке минимума: $f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 10 = 9 - 18 + 10 = 1$.

Также можно выделить полный квадрат:
$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$.
Поскольку $(x+3)^2 \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение выражения $(x+3)^2 + 1$ равно 1 и достигается при $x = -3$.

Так как наименьшее значение подкоренного выражения равно 1 (что больше 0), область определения исходной функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Наименьшее значение функции $y$ будет равно корню шестой степени из наименьшего значения подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt[6]{1} = 1$.

Ответ: 1.

35.3 a) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$;

б) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$;

в) $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$;

г) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$.

а) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$

Для решения этого примера представим числа под корнем в виде произведения их простых множителей. Это поможет нам найти множители, которые можно извлечь из-под кубического корня.

Разложим число 24: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Разложим число 9: $9 = 3^2$.

Теперь перемножим эти разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^{1+2}} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}$.

Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

б) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$

Чтобы вычислить значение этого выражения, разложим подкоренные числа на простые множители. Наша цель — найти множители в пятой степени.

Разложение числа 48: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Разложение числа 162: $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.

Подставим разложения в исходное выражение и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[5]{48 \cdot 162} = \sqrt[5]{(2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^4)} = \sqrt[5]{2^{4+1} \cdot 3^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5}$.

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{3^5} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

в) $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$

Разложим числа 75 и 45 на простые множители для упрощения выражения под кубическим корнем.

Разложение числа 75: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$.

Разложение числа 45: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Перемножим множители под корнем:

$\sqrt[3]{75 \cdot 45} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \sqrt[3]{3^{1+2} \cdot 5^{2+1}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$.

Используем свойство корня из произведения, чтобы извлечь множители:

$\sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15

г) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$

Для вычисления значения корня четвертой степени, разложим подкоренные числа на простые множители.

Разложение числа 54: $54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$.

Разложение числа 24: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Подставим разложения в исходное выражение и сгруппируем множители:

$\sqrt[4]{54 \cdot 24} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^3 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^{1+3} \cdot 3^{3+1}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем конечный результат:

$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

35.4 a) $\sqrt[4]{\frac{125}{0,2}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}}$;

В) $\sqrt[3]{\frac{27}{0,125}}$;

Г) $\sqrt[6]{\frac{16}{0,25}}$.

а) Для того чтобы вычислить значение выражения $\sqrt[4]{\frac{125}{0,2}}$, сначала преобразуем десятичную дробь в знаменателе в обыкновенную дробь.

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь подставим полученную дробь в исходное выражение и упростим подкоренное выражение:

$\sqrt[4]{\frac{125}{\frac{1}{5}}} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625}$

Далее извлечем корень четвертой степени. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 625. Таким числом является 5, поскольку $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

$\sqrt[4]{625} = 5$

Ответ: 5

б) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}}$ преобразуем десятичную дробь $0,0625$ в обыкновенную.

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$

Подставим это значение в выражение:

$\sqrt[4]{\frac{16}{\frac{1}{16}}} = \sqrt[4]{16 \cdot 16} = \sqrt[4]{256}$

Теперь извлечем корень четвертой степени из 256. Найдем число, которое в четвертой степени равно 256. Таким числом является 4, так как $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$.

$\sqrt[4]{256} = 4$

Ответ: 4

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\frac{27}{0,125}}$. Преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную.

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Подставим полученную дробь в исходное выражение:

$\sqrt[3]{\frac{27}{\frac{1}{8}}} = \sqrt[3]{27 \cdot 8}$

Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{27 \cdot 8} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{8}$

Вычислим каждый корень по отдельности: $\sqrt[3]{27} = 3$ (поскольку $3^3=27$) и $\sqrt[3]{8} = 2$ (поскольку $2^3=8$).

$3 \cdot 2 = 6$

Ответ: 6

г) Для решения примера $\sqrt[6]{\frac{16}{0,25}}$ преобразуем знаменатель $0,25$ в обыкновенную дробь.

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Подставим дробь в выражение и упростим его:

$\sqrt[6]{\frac{16}{\frac{1}{4}}} = \sqrt[6]{16 \cdot 4} = \sqrt[6]{64}$

Теперь необходимо извлечь корень шестой степени из 64. Найдем число, которое при возведении в шестую степень дает 64. Таким числом является 2, так как $2^6 = 64$.

$\sqrt[6]{64} = 2$

Ответ: 2

Найдите значение числового выражения:

35.1 а) $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$;

б) $\sqrt[4]{16 \cdot 0,0001}$;

в) $\sqrt[4]{625 \cdot 16}$;

г) $\sqrt[5]{0,00032 \cdot 243}$.

а) Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{8 \cdot 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}$

Найдем значения корней по отдельности:

Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$.

Кубический корень из 27 равен 3, так как $3^3 = 27$.

Теперь перемножим полученные значения:

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

б) Для выражения $\sqrt[4]{16 \cdot 0,0001}$ применим то же свойство корня из произведения.

$\sqrt[4]{16 \cdot 0,0001} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{0,0001}$

Найдем значения корней:

Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.

Корень четвертой степени из 0,0001 равен 0,1, так как $0,1^4 = 0,0001$.

Перемножим результаты:

$2 \cdot 0,1 = 0,2$

Ответ: 0,2

в) Найдем значение выражения $\sqrt[4]{625 \cdot 16}$.

$\sqrt[4]{625 \cdot 16} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{16}$

Найдем значения корней:

Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 625$.

Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.

Вычислим произведение:

$5 \cdot 2 = 10$

Ответ: 10

г) Найдем значение выражения $\sqrt[5]{0,00032 \cdot 243}$.

$\sqrt[5]{0,00032 \cdot 243} = \sqrt[5]{0,00032} \cdot \sqrt[5]{243}$

Найдем значения корней по отдельности:

Корень пятой степени из 0,00032 равен 0,2, так как $0,2^5 = 0,00032$.

Корень пятой степени из 243 равен 3, так как $3^5 = 243$.

Найдем их произведение:

$0,2 \cdot 3 = 0,6$

Ответ: 0,6

35.2 a) $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$;

в) $\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}}$;

г) $\sqrt[5]{7 \frac{19}{32}}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$

Теперь вычислим каждый корень по отдельности.

Найдём корень пятой степени из 243. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень даёт 243. Это число 3, так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$. Таким образом, $\sqrt[5]{243} = 3$.

Далее, найдём корень пятой степени из дроби $\frac{1}{32}$. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем:

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$

Корень любой натуральной степени из 1 равен 1. Корень пятой степени из 32 равен 2, так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$.

Наконец, перемножим полученные значения:

$3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}$

Найдём корень кубический (третьей степени) из числителя. Это число 2, поскольку $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Найдём корень кубический из знаменателя. Это число 5, поскольку $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Подставим найденные значения обратно в дробь:

$\frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

в)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}}$ применим свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{729}}$

Вычислим каждый множитель отдельно.

Корень шестой степени из 64 равен 2, так как $2^6 = 64$.

Для вычисления корня $\sqrt[6]{\frac{1}{729}}$ используем свойство корня из дроби:

$\sqrt[6]{\frac{1}{729}} = \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{729}}$

Корень шестой степени из 1 равен 1. Корень шестой степени из 729 равен 3, так как $3^6 = 729$.

Таким образом, $\sqrt[6]{\frac{1}{729}} = \frac{1}{3}$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

г)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$, первым шагом преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$

Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$.

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$

Как мы уже выяснили в пункте а), корень пятой степени из 243 равен 3 ($3^5 = 243$).

И корень пятой степени из 32 равен 2 ($2^5 = 32$).

Подставляем найденные значения:

$\frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$