Страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

33.17 Расположите числа в порядке убывания:

а) $-1$, $\sqrt[3]{-5}$, $\sqrt[4]{0.1}$;

б) $0$, $\sqrt[3]{-0.25}$, $\sqrt[5]{-29}$;

в) $-2$, $\sqrt[5]{-1.5}$, $\sqrt[3]{-9}$;

г) $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{-2}$.

а)

Чтобы расположить числа $-1$, $\sqrt[3]{-5}$, $\sqrt[4]{0,1}$ в порядке убывания, определим их знаки. Число $\sqrt[4]{0,1}$ положительное, так как это корень четвертой степени из положительного числа. Числа $-1$ и $\sqrt[3]{-5}$ (корень нечетной степени из отрицательного числа) — отрицательные. Следовательно, $\sqrt[4]{0,1}$ является наибольшим из данных чисел.

Теперь сравним отрицательные числа: $-1$ и $\sqrt[3]{-5}$. Для этого представим $-1$ в виде кубического корня: $-1 = \sqrt[3]{(-1)^3} = \sqrt[3]{-1}$. Сравним подкоренные выражения: $-1 > -5$. Поскольку функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, то из $-1 > -5$ следует, что $\sqrt[3]{-1} > \sqrt[3]{-5}$, то есть $-1 > \sqrt[3]{-5}$.

Таким образом, располагая числа в порядке от наибольшего к наименьшему, получаем: $\sqrt[4]{0,1}$, $-1$, $\sqrt[3]{-5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{0,1}; -1; \sqrt[3]{-5}$.

б)

Расположим в порядке убывания числа $0$, $\sqrt[3]{-0,25}$, $\sqrt[5]{-29}$. Число $0$ больше любого отрицательного числа. Числа $\sqrt[3]{-0,25}$ и $\sqrt[5]{-29}$ являются отрицательными, так как это корни нечетной степени из отрицательных чисел. Значит, $0$ — наибольшее число.

Сравним отрицательные числа $\sqrt[3]{-0,25}$ и $\sqrt[5]{-29}$. Для этого приведем их к общему показателю корня, равному НОК(3, 5) = 15. Так как 15 — нечетное число, знак неравенства при возведении в эту степень сохранится.

$(\sqrt[3]{-0,25})^{15} = (-0,25)^{15/3} = (-0,25)^5 = - (0,25)^5 = -(\frac{1}{4})^5 = -\frac{1}{1024}$.

$(\sqrt[5]{-29})^{15} = (-29)^{15/5} = (-29)^3 = -24389$.

Сравним полученные значения: $-\frac{1}{1024} > -24389$. Следовательно, $\sqrt[3]{-0,25} > \sqrt[5]{-29}$.

В порядке убывания числа располагаются так: $0$, $\sqrt[3]{-0,25}$, $\sqrt[5]{-29}$.

Ответ: $0; \sqrt[3]{-0,25}; \sqrt[5]{-29}$.

в)

Расположим в порядке убывания числа $-2$, $\sqrt[5]{-1,5}$, $\sqrt[3]{-9}$. Все три числа являются отрицательными. Чтобы их сравнить, можно возвести их в соответствующую нечетную степень или привести к корням с одинаковым показателем.

Сравним $-2$ и $\sqrt[3]{-9}$. Представим $-2$ в виде кубического корня: $-2 = \sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8}$. Так как $-8 > -9$ и функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[3]{-8} > \sqrt[3]{-9}$, то есть $-2 > \sqrt[3]{-9}$.

Сравним $\sqrt[5]{-1,5}$ и $-2$. Возведем оба числа в 5-ю степень (нечетную): $(\sqrt[5]{-1,5})^5 = -1,5$. $(-2)^5 = -32$. Поскольку $-1,5 > -32$, то $\sqrt[5]{-1,5} > -2$.

Объединяя полученные неравенства, имеем: $\sqrt[5]{-1,5} > -2 > \sqrt[3]{-9}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-1,5}; -2; \sqrt[3]{-9}$.

г)

Расположим в порядке убывания числа $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{-2}$. Число $\sqrt[3]{-2}$ является отрицательным. Числа $1$ и $\sqrt[3]{2}$ — положительные. Следовательно, $\sqrt[3]{-2}$ — наименьшее из трех чисел.

Теперь сравним положительные числа $1$ и $\sqrt[3]{2}$. Представим $1$ в виде кубического корня: $1 = \sqrt[3]{1^3} = \sqrt[3]{1}$. Сравним подкоренные выражения: $2 > 1$. Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая, то из $2 > 1$ следует, что $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1}$, то есть $\sqrt[3]{2} > 1$.

Таким образом, в порядке убывания числа располагаются следующим образом: $\sqrt[3]{2}$, $1$, $\sqrt[3]{-2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}; 1; \sqrt[3]{-2}$.

33.18 Определите знак разности:

а) $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90}; $

б) $ 3 - \sqrt[7]{150}; $

в) $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50}; $

г) $ \sqrt[4]{300} - 5. $

а) Чтобы определить знак разности $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90} $, необходимо сравнить значения $ \sqrt[3]{15} $ и $ \sqrt[4]{90} $. Для этого возведем оба числа в степень, равную наименьшему общему кратному показателей корней $3$ и $4$, то есть в $12$-ю степень.
Сравниваем $ (\sqrt[3]{15})^{12} $ и $ (\sqrt[4]{90})^{12} $.
$ (\sqrt[3]{15})^{12} = 15^{\frac{12}{3}} = 15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625 $.
$ (\sqrt[4]{90})^{12} = 90^{\frac{12}{4}} = 90^3 = 729000 $.
Поскольку $ 50625 < 729000 $, то $ 15^4 < 90^3 $, и, следовательно, $ \sqrt[3]{15} < \sqrt[4]{90} $.
Значит, разность $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90} $ является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (–).

б) Чтобы определить знак разности $ 3 - \sqrt[7]{150} $, сравним числа $ 3 $ и $ \sqrt[7]{150} $. Возведем оба числа в $7$-ю степень.
$ 3^7 = 2187 $.
$ (\sqrt[7]{150})^7 = 150 $.
Поскольку $ 2187 > 150 $, то $ 3^7 > (\sqrt[7]{150})^7 $, и, следовательно, $ 3 > \sqrt[7]{150} $.
Значит, разность $ 3 - \sqrt[7]{150} $ является положительным числом.
Ответ: знак плюс (+).

в) Чтобы определить знак разности $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50} $, сравним значения $ \sqrt[5]{40} $ и $ \sqrt[3]{50} $. Для этого возведем оба числа в степень, равную наименьшему общему кратному показателей корней $5$ и $3$, то есть в $15$-ю степень.
Сравниваем $ (\sqrt[5]{40})^{15} $ и $ (\sqrt[3]{50})^{15} $.
$ (\sqrt[5]{40})^{15} = 40^{\frac{15}{5}} = 40^3 = 64000 $.
$ (\sqrt[3]{50})^{15} = 50^{\frac{15}{3}} = 50^5 = 5^5 \cdot 10^5 = 3125 \cdot 100000 = 312500000 $.
Поскольку $ 64000 < 312500000 $, то $ 40^3 < 50^5 $, и, следовательно, $ \sqrt[5]{40} < \sqrt[3]{50} $.
Значит, разность $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50} $ является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (–).

г) Чтобы определить знак разности $ \sqrt[4]{300} - 5 $, сравним числа $ \sqrt[4]{300} $ и $ 5 $. Возведем оба числа в $4$-ю степень.
$ (\sqrt[4]{300})^4 = 300 $.
$ 5^4 = 625 $.
Поскольку $ 300 < 625 $, то $ (\sqrt[4]{300})^4 < 5^4 $, и, следовательно, $ \sqrt[4]{300} < 5 $.
Значит, разность $ \sqrt[4]{300} - 5 $ является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (–).

33.19 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, 2, $\sqrt[6]{70}$;

б) $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, 1, $\sqrt[5]{-\pi}$;

в) $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, 2,5;

г) $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, 0, $\sqrt[3]{200}$.

а) Для того чтобы расположить числа $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. Число $\sqrt[5]{-12}$ является единственным отрицательным числом в наборе, так как корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен. Следовательно, это наименьшее число.
2. Сравним остальные (положительные) числа: $\frac{\pi}{2}$, $2$ и $\sqrt[6]{70}$.
3. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Очевидно, что $1,57 < 2$, значит $\frac{\pi}{2} < 2$.
4. Теперь сравним $2$ и $\sqrt[6]{70}$. Для этого представим число $2$ в виде корня шестой степени: $2 = \sqrt[6]{2^6} = \sqrt[6]{64}$.
5. Так как функция $y = \sqrt[6]{x}$ является возрастающей для $x > 0$ и $70 > 64$, то $\sqrt[6]{70} > \sqrt[6]{64}$, а значит $\sqrt[6]{70} > 2$.
6. Объединив результаты, получаем следующую последовательность: $\sqrt[5]{-12} < \frac{\pi}{2} < 2 < \sqrt[6]{70}$.
Ответ: $\sqrt[5]{-12}$, $\frac{\pi}{2}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$.

б) Для того чтобы расположить числа $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, $1$, $\sqrt[5]{-\pi}$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. Число $\sqrt[5]{-\pi}$ является единственным отрицательным числом, так как $\pi > 0$. Следовательно, оно наименьшее.
2. Сравним остальные (положительные) числа: $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$ и $1$.
3. Так как $\pi \approx 3,14 > 3$, то знаменатель дроби $\frac{3}{\pi}$ больше числителя, следовательно, $\frac{3}{\pi} < 1$.
4. Сравним $\sqrt[7]{\pi}$ и $1$. Так как $\pi > 1$, то корень любой натуральной степени из $\pi$ будет больше единицы: $\sqrt[7]{\pi} > \sqrt[7]{1} = 1$.
5. Таким образом, для положительных чисел имеем: $\frac{3}{\pi} < 1 < \sqrt[7]{\pi}$.
6. Объединив все результаты, получаем итоговый порядок: $\sqrt[5]{-\pi} < \frac{3}{\pi} < 1 < \sqrt[7]{\pi}$.
Ответ: $\sqrt[5]{-\pi}$, $\frac{3}{\pi}$, $1$, $\sqrt[7]{\pi}$.

в) Для того чтобы расположить числа $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, $2,5$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. Число $\sqrt[3]{-2}$ является единственным отрицательным числом, следовательно, оно наименьшее.
2. Сравним остальные (положительные) числа: $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$ и $2,5$.
3. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$. Тогда $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,047$. Очевидно, что $\frac{\pi}{3} < 2,5$.
4. Сравним $\sqrt{2\pi}$ и $2,5$. Для этого сравним их квадраты, так как оба числа положительны.
$(\sqrt{2\pi})^2 = 2\pi$.
$(2,5)^2 = 6,25$.
5. Сравним $2\pi$ и $6,25$. Это эквивалентно сравнению $\pi$ и $\frac{6,25}{2} = 3,125$.
6. Поскольку $\pi \approx 3,14159... > 3,125$, то $2\pi > 6,25$, и, следовательно, $\sqrt{2\pi} > 2,5$.
7. Таким образом, для положительных чисел имеем: $\frac{\pi}{3} < 2,5 < \sqrt{2\pi}$.
8. Объединив все результаты, получаем итоговый порядок: $\sqrt[3]{-2} < \frac{\pi}{3} < 2,5 < \sqrt{2\pi}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-2}$, $\frac{\pi}{3}$, $2,5$, $\sqrt{2\pi}$.

г) Для того чтобы расположить числа $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. В наборе есть одно отрицательное число, ноль и два положительных числа.
2. Отрицательное число $\sqrt[5]{-0,5}$ является наименьшим.
3. Следующим по величине идет $0$.
4. Сравним положительные числа: $2\pi$ и $\sqrt[3]{200}$. Для этого сравним их кубы.
$(2\pi)^3 = 8\pi^3$.
$(\sqrt[3]{200})^3 = 200$.
5. Сравнение $8\pi^3$ и $200$ эквивалентно сравнению $\pi^3$ и $\frac{200}{8} = 25$.
6. Возьмем оценку $\pi > 3,1$. Тогда $\pi^3 > (3,1)^3 = 29,791$.
7. Поскольку $29,791 > 25$, то $\pi^3 > 25$, а значит $8\pi^3 > 200$. Следовательно, $2\pi > \sqrt[3]{200}$.
8. Таким образом, для положительных чисел имеем: $\sqrt[3]{200} < 2\pi$.
9. Объединив все результаты, получаем итоговый порядок: $\sqrt[5]{-0,5} < 0 < \sqrt[3]{200} < 2\pi$.
Ответ: $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$, $2\pi$.

Постройте график функции:

34.1 а) $y = \sqrt[3]{x}$;

б) $y = \sqrt[6]{x}$;

в) $y = \sqrt[4]{x}$;

г) $y = \sqrt[5]{x}$.

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с нечетным показателем корня $n=3$.

Проанализируем свойства функции для построения графика:
1. Область определения: корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: значения функции также могут быть любыми действительными числами, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек для построения. Удобно выбирать $x$ как кубы целых чисел:
Если $x = -8$, то $y = \sqrt[3]{-8} = -2$. Точка (-8; -2).
Если $x = -1$, то $y = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка (-1; -1).
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 8$, то $y = \sqrt[3]{8} = 2$. Точка (8; 2).

Соединив эти точки плавной линией, получим график. Он расположен в I и III координатных четвертях. График похож на график кубической параболы $y = x^3$, но отраженный относительно прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая линия, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-8; -2), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (8; 2) и монотонно возрастающая на всей числовой оси.

б) $y = \sqrt[6]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с четным показателем корня $n=6$.

Проанализируем свойства функции:
1. Область определения: корень четной степени определен только для неотрицательных чисел, поэтому $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: значение корня четной степени также неотрицательно, $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: так как область определения несимметрична относительно нуля, функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек:
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[6]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[6]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 64$, то $y = \sqrt[6]{64} = 2$. Точка (64; 2).

График функции представляет собой ветвь, расположенную в I координатной четверти. Он начинается в точке (0; 0) и плавно возрастает. Рост функции замедляется при увеличении $x$. График является верхней половиной графика функции $x = y^6$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{x}$ — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная в первой координатной четверти и проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (64; 2).

в) $y = \sqrt[4]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с четным показателем корня $n=4$. Как и в предыдущем случае, показатель четный.

Свойства функции аналогичны свойствам $y=\sqrt[6]{x}$:
1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек:
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[4]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 16$, то $y = \sqrt[4]{16} = 2$. Точка (16; 2).

График функции — это ветвь в I координатной четверти, выходящая из начала координат. При сравнении с графиком $y=\sqrt[6]{x}$ можно заметить, что при $x > 1$ график $y=\sqrt[4]{x}$ лежит выше, а при $0 < x < 1$ — ниже.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная в первой координатной четверти и проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (16; 2).

г) $y = \sqrt[5]{x}$

Это степенная функция вида $y = x^{1/n}$ с нечетным показателем корня $n=5$.

Свойства функции аналогичны свойствам $y=\sqrt[3]{x}$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность: функция нечетная, $y(-x) = \sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
4. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Найдем несколько контрольных точек:
Если $x = -32$, то $y = \sqrt[5]{-32} = -2$. Точка (-32; -2).
Если $x = -1$, то $y = \sqrt[5]{-1} = -1$. Точка (-1; -1).
Если $x = 0$, то $y = \sqrt[5]{0} = 0$. Точка (0; 0).
Если $x = 1$, то $y = \sqrt[5]{1} = 1$. Точка (1; 1).
Если $x = 32$, то $y = \sqrt[5]{32} = 2$. Точка (32; 2).

График функции — это кривая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III четвертях. При сравнении с графиком $y=\sqrt[3]{x}$ можно заметить, что при $x > 1$ график $y=\sqrt[5]{x}$ лежит ниже, а при $0 < x < 1$ — выше.

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — это кривая линия, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки (-32; -2), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (32; 2) и монотонно возрастающая на всей числовой оси.

34.5 a) $y = \sqrt{x+2}-3;$

б) $y = \sqrt[3]{x-1}+2;$

В) $y = \sqrt[4]{x-1}+3;$

Г) $y = \sqrt[5]{x+4}-4.$

а) $y = \sqrt{x+2} - 3$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит квадратный корень (корень четной степени), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решаем неравенство: $x+2 \geq 0$, что дает $x \geq -2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Область значений функции ($E(y)$): Арифметический квадратный корень $\sqrt{x+2}$ по определению принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x+2} \geq 0$. Если из обеих частей этого неравенства вычесть 3, получим: $\sqrt{x+2} - 3 \geq -3$. Так как левая часть — это $y$, то $y \geq -3$. Таким образом, область значений функции: $E(y) = [-3; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; +\infty)$; область значений $E(y) = [-3; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x-1} + 2$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит кубический корень (корень нечетной степени), который определен для любого действительного числа. Следовательно, подкоренное выражение $x-1$ может быть любым действительным числом. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции ($E(y)$): Выражение $\sqrt[3]{x-1}$ может принимать любое действительное значение. Прибавление константы 2 сдвигает график функции вверх, но не влияет на множество значений, которое охватывает все действительные числа. Область значений — все действительные числа: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{x-1} + 3$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит корень четвертой степени (корень четной степени), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решаем неравенство: $x-1 \geq 0$, что дает $x \geq 1$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [1; +\infty)$.

Область значений функции ($E(y)$): Корень четвертой степени $\sqrt[4]{x-1}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt[4]{x-1} \geq 0$. Если к обеим частям этого неравенства прибавить 3, получим: $\sqrt[4]{x-1} + 3 \geq 3$. Так как левая часть — это $y$, то $y \geq 3$. Таким образом, область значений функции: $E(y) = [3; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = [1; +\infty)$; область значений $E(y) = [3; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{x+4} - 4$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит корень пятой степени (корень нечетной степени), который определен для любого действительного числа. Следовательно, подкоренное выражение $x+4$ может быть любым действительным числом. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции ($E(y)$): Выражение $\sqrt[5]{x+4}$ может принимать любое действительное значение. Вычитание константы 4 сдвигает график функции вниз, но не влияет на множество значений, которое охватывает все действительные числа. Область значений — все действительные числа: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

34.2 a) $y = 2\sqrt[3]{x}$;

б) $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x}$;

В) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$;

Г) $y = 3\sqrt[4]{x}$.

а)

Дана функция $y = 2\sqrt[3]{x}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

Для нахождения производной представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Тогда функция примет вид: $y = 2x^{\frac{1}{3}}$.

Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования функции с константой $(cf(x))' = c f'(x)$.

Находим производную $y'$, которая определена для всех $x \neq 0$:

$y' = (2x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot (x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{\frac{1-3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Представим результат снова в виде корня:

$y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

б)

Дана функция $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$, так как корень четной степени.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$.

Функция примет вид: $y = -\frac{1}{3}x^{\frac{1}{6}}$.

Находим производную. Производная определена для $x > 0$.

$y' = (-\frac{1}{3}x^{\frac{1}{6}})' = -\frac{1}{3} \cdot (x^{\frac{1}{6}})' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = -\frac{1}{18}x^{\frac{1-6}{6}} = -\frac{1}{18}x^{-\frac{5}{6}}$.

Представим результат в виде корня:

$y' = -\frac{1}{18}x^{-\frac{5}{6}} = -\frac{1}{18x^{\frac{5}{6}}} = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

в)

Дана функция $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как корень нечетной степени.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$.

Функция примет вид: $y = -\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}$.

Находим производную (определена для $x \neq 0$):

$y' = (-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{2} \cdot (x^{\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{6}x^{\frac{1-3}{3}} = -\frac{1}{6}x^{-\frac{2}{3}}$.

Представим результат в виде корня:

$y' = -\frac{1}{6}x^{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{6x^{\frac{2}{3}}} = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

г)

Дана функция $y = 3\sqrt[4]{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$, так как корень четной степени.

Представим корень в виде степени: $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.

Функция примет вид: $y = 3x^{\frac{1}{4}}$.

Находим производную (определена для $x > 0$):

$y' = (3x^{\frac{1}{4}})' = 3 \cdot (x^{\frac{1}{4}})' = 3 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{\frac{1-4}{4}} = \frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.

Представим результат в виде корня:

$y' = \frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{3}{4x^{\frac{3}{4}}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

34.3 a) $y = \sqrt[4]{x+1}$;

б) $y = \sqrt[5]{x-2}$;

В) $y = \sqrt[7]{x+3}$;

Г) $y = \sqrt[6]{x-4}$.

а) Областью определения функции вида $y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — четное натуральное число, является множество всех значений $x$, для которых подкоренное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \ge 0$.

Для функции $y = \sqrt[4]{x + 1}$ показатель корня $n=4$ является четным. Поэтому ее область определения задается неравенством:

$x + 1 \ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x \ge -1$

Это можно записать в виде числового промежутка: $[-1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [-1; +\infty)$.

б) Областью определения функции вида $y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — нечетное натуральное число ($n > 1$), является множество всех значений $x$, для которых определено подкоренное выражение $f(x)$.

Для функции $y = \sqrt[5]{x - 2}$ показатель корня $n=5$ является нечетным. Подкоренное выражение $x-2$ определено для любых действительных значений $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Для функции $y = \sqrt[7]{x + 3}$ показатель корня $n=7$ является нечетным. Как и в предыдущем случае, корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Подкоренное выражение $x+3$ определено для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Для функции $y = \sqrt[6]{x - 4}$ показатель корня $n=6$ является четным. Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$x - 4 \ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x \ge 4$

Это можно записать в виде числового промежутка: $[4; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [4; +\infty)$.

34.4 a) $y = \sqrt{x} + 2;$

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4;$

В) $y = \sqrt[5]{x} + 1;$

Г) $y = \sqrt[4]{x} - \frac{1}{2}.$

Задачей является нахождение области определения для каждой из предложенных функций.

а) $y = \sqrt{x} + 2$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция содержит квадратный корень $\sqrt{x}$. Выражение под знаком квадратного корня (или любого корня четной степени) должно быть неотрицательным.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x \ge 0$

Это и есть область определения функции. В виде промежутка это записывается как $[0; +\infty)$. Слагаемое `+ 2` не влияет на область определения.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4$

Функция содержит кубический корень $\sqrt[3]{x}$. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени (кубический, пятой степени и т.д.) определен для любого действительного числа $x$, как положительного, так и отрицательного, а также для нуля.

Поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Слагаемое `- 4` также не влияет на область определения. Область определения функции — все действительные числа. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

в) $y = \sqrt[5]{x} + 1$

Функция содержит корень пятой степени $\sqrt[5]{x}$. Корень нечетной степени, как и в предыдущем пункте, определен для любого действительного значения аргумента $x$.

Следовательно, область определения этой функции — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Слагаемое `+ 1` не влияет на область определения. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

г) $y = \sqrt[4]{x} - \frac{1}{2}$

Данная функция содержит корень четвертой степени $\sqrt[4]{x}$. Корень четной степени, как и квадратный корень, определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

Таким образом, для нахождения области определения необходимо решить неравенство:

$x \ge 0$

Область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел. Вычитаемое $-\frac{1}{2}$ не влияет на область определения. В виде промежутка это записывается как $[0; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$