Страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.40 База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идёт со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Для решения задачи по нахождению минимального времени в пути, необходимо смоделировать ситуацию и найти экстремум функции времени. Пусть прямая дорога является осью абсцисс в системе координат. Точку на дороге, ближайшую к базе, обозначим как P и поместим в начало координат (0, 0). Так как база находится в 5 км от дороги, ее координаты будут B(0, 5).

Станция S находится на дороге (на оси абсцисс) и на расстоянии 13 км от базы B. Найдем координату станции S. Рассмотрим прямоугольный треугольник BPS, где B(0, 5) — база, P(0, 0) — проекция базы на дорогу, S(x, 0) — станция. Катет BP равен 5 км, гипотенуза BS равна 13 км. По теореме Пифагора найдем катет PS:

$PS^2 + BP^2 = BS^2$

$PS^2 + 5^2 = 13^2$

$PS^2 = 169 - 25 = 144$

$PS = \sqrt{144} = 12$ км.

Таким образом, координаты станции S(12, 0). Пешеходу нужно добраться из точки B(0, 5) в точку S(12, 0).

Путь пешехода состоит из двух участков: отрезок по лесу от базы B до некоторой точки M на дороге, и отрезок по дороге от точки M до станции S. Обозначим координаты точки M как (x, 0). Чтобы путь был оптимальным, точка М должна находиться между точками P и S, то есть $0 \le x \le 12$.

Найдем общее время в пути T(x) как сумму времени движения по лесу ($t_{леc}$) и времени движения по дороге ($t_{дор}$).

1. Движение по лесу от B(0, 5) до M(x, 0).
Расстояние $d_{лес} = BM = \sqrt{(x - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{x^2 + 25}$ км.
Скорость по лесу $v_{лес} = 3$ км/ч.
Время $t_{лес} = \frac{d_{лес}}{v_{лес}} = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3}$ ч.

2. Движение по дороге от M(x, 0) до S(12, 0).
Расстояние $d_{дор} = MS = 12 - x$ км.
Скорость по дороге $v_{дор} = 5$ км/ч.
Время $t_{дор} = \frac{d_{дор}}{v_{дор}} = \frac{12 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути как функция от x:

$T(x) = t_{лес} + t_{дор} = \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5}$

Для нахождения минимального времени найдем производную функции T(x) и приравняем ее к нулю:

$T'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{x^2 + 25}}{3} + \frac{12 - x}{5} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$\frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{1}{5} = 0$

$\frac{x}{3\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{1}{5}$

$5x = 3\sqrt{x^2 + 25}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (так как $x$ должно быть неотрицательным, исходя из геометрии и уравнения):

$25x^2 = 9(x^2 + 25)$

$25x^2 = 9x^2 + 225$

$16x^2 = 225$

$x^2 = \frac{225}{16}$

$x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3.75$ км.

Это значение $x$ находится в интервале [0, 12], значит, оно является точкой возможного минимума. Вторая производная $T''(x) = \frac{25}{3(x^2+25)^{3/2}}$ всегда положительна, что подтверждает, что в этой точке достигается минимум.

Теперь вычислим минимальное время, подставив найденное значение $x = \frac{15}{4}$ в функцию времени T(x):

$T(\frac{15}{4}) = \frac{\sqrt{(\frac{15}{4})^2 + 25}}{3} + \frac{12 - \frac{15}{4}}{5}$

$T(\frac{15}{4}) = \frac{\sqrt{\frac{225}{16} + 25}}{3} + \frac{\frac{48 - 15}{4}}{5} = \frac{\sqrt{\frac{225 + 400}{16}}}{3} + \frac{\frac{33}{4}}{5}$

$T(\frac{15}{4}) = \frac{\sqrt{\frac{625}{16}}}{3} + \frac{33}{20} = \frac{\frac{25}{4}}{3} + \frac{33}{20} = \frac{25}{12} + \frac{33}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$T = \frac{25 \cdot 5}{60} + \frac{33 \cdot 3}{60} = \frac{125 + 99}{60} = \frac{224}{60} = \frac{56}{15}$ часа.

Переведем это время в часы и минуты:

$\frac{56}{15}$ ч = $3 \frac{11}{15}$ ч = 3 часа и $\frac{11}{15} \cdot 60$ минут = 3 часа и 44 минуты.

Ответ: Минимальное время, за которое пешеход может добраться от базы до станции, составляет $\frac{56}{15}$ часа, или 3 часа 44 минуты.

32.39 Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $a$ м, а верхняя точка постамента — на $b$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Для решения этой задачи введем систему координат. Пусть глаз человека находится в точке $O$ — начале координат $(0,0)$. Памятник расположен на вертикальной оси. Расстояние от человека до памятника — это координата $x$ точки, где он стоит на горизонтальной оси. То есть, позиция глаза человека — точка $E(x, 0)$.

Из условия задачи, верхняя точка постамента (нижняя точка статуи) $B$ находится на высоте $b$ метров над уровнем глаз человека. Ее координаты — $(0, b)$. Верхняя точка памятника (верхняя точка статуи) $T$ находится на высоте $a$ метров над уровнем глаз. Ее координаты — $(0, a)$.

Человек видит статую под углом $\gamma = \angle BET$. Наша задача — найти такое значение $x > 0$, при котором угол $\gamma$ будет наибольшим.

Рассмотрим два способа решения.

Угол $\gamma$ можно представить как разность двух углов: $\gamma = \alpha - \beta$, где:

• $\alpha = \angle TEO$ — угол, под которым видна вся часть памятника от уровня глаз до его вершины.
• $\beta = \angle BEO$ — угол, под которым виден постамент от уровня глаз до его вершины.

В прямоугольных треугольниках $\triangle TEO$ и $\triangle BEO$ имеем:

$\tan \alpha = \frac{TO}{EO} = \frac{a}{x}$

$\tan \beta = \frac{BO}{EO} = \frac{b}{x}$

Мы хотим максимизировать угол $\gamma = \alpha - \beta$. Поскольку угол $\gamma$ находится в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, его значение будет максимальным тогда, когда будет максимальным его тангенс.

Используем формулу тангенса разности:

$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

Подставим наши значения:

$\tan \gamma = \frac{\frac{a}{x} - \frac{b}{x}}{1 + \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{x}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{1 + \frac{ab}{x^2}} = \frac{\frac{a-b}{x}}{\frac{x^2+ab}{x^2}} = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$

Теперь нам нужно найти максимум функции $f(x) = \frac{(a-b)x}{x^2+ab}$ при $x > 0$. Для этого найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$u(x) = (a-b)x \implies u'(x) = a-b$

$v(x) = x^2+ab \implies v'(x) = 2x$

$f'(x) = \frac{(a-b)(x^2+ab) - (a-b)x \cdot (2x)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(x^2+ab - 2x^2)}{(x^2+ab)^2} = \frac{(a-b)(ab - x^2)}{(x^2+ab)^2}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы. Знаменатель всегда положителен, поэтому достаточно приравнять к нулю числитель:

$(a-b)(ab - x^2) = 0$

Поскольку верхняя точка памятника выше верхней точки постамента, $a > b$, и, следовательно, $a-b \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части на $(a-b)$:

$ab - x^2 = 0$

$x^2 = ab$

Так как расстояние $x$ должно быть положительным, получаем:

$x = \sqrt{ab}$

Можно убедиться, что это точка максимума. Если $x < \sqrt{ab}$, то $x^2 < ab$, и $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Если $x > \sqrt{ab}$, то $x^2 > ab$, и $f'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x = \sqrt{ab}$ достигается максимум.

Рассмотрим окружность, проходящую через три точки: $B(0, b)$, $T(0, a)$ и $E(x, 0)$. Угол $\gamma = \angle BET$ является вписанным углом, опирающимся на хорду $BT$. Для фиксированной хорды $BT$ вписанный угол будет максимальным, когда радиус описанной окружности минимален. Это произойдет, когда окружность будет касаться прямой, на которой находится наблюдатель (ось $Ox$).

Итак, мы ищем такую точку $E(x, 0)$, что окружность, проходящая через $B$, $T$ и $E$, касается оси $Ox$ в точке $E$.

Воспользуемся теоремой о касательной и секущей (или о степени точки). Степень начала координат $O(0,0)$ относительно этой окружности можно вычислить двумя способами:

1. Как произведение отрезков секущей, проведенной из точки $O$ вдоль оси $Oy$. Секущая пересекает окружность в точках $B$ и $T$. Степень точки $O$ равна $OB \cdot OT = b \cdot a$.

2. Как квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки $O$ к окружности. Поскольку окружность касается оси $Ox$ в точке $E(x,0)$, то отрезок $OE$ является касательной (если начало координат не лежит на окружности). Длина этого отрезка равна $x$. Таким образом, степень точки $O$ равна $OE^2 = x^2$.

Приравнивая два выражения для степени точки $O$, получаем:

$x^2 = ab$

Откуда, так как $x>0$,

$x = \sqrt{ab}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: человек должен стать на расстоянии $\sqrt{ab}$ метров от памятника.