Страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

31.15 При каких значениях параметра a:

а) уравнение $x^3 - 3x = a$ имеет один корень;

б) уравнение $3x - x^3 = a$ имеет два корня?

Для решения данной задачи мы воспользуемся графическим методом. Количество корней уравнения вида $f(x) = a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$.

а) уравнение $x^3 - 3x = a$ имеет один корень;

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Чтобы определить, при каких значениях $a$ уравнение $f(x)=a$ имеет один корень, нам нужно исследовать эту функцию на монотонность и экстремумы. Для этого найдем ее производную.

Производная функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -1)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(-1; 1)$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает.

В точке $x = -1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.

Найдем значения функции в этих точках экстремума:
Локальный максимум: $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
Локальный минимум: $y_{min} = f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Теперь проанализируем количество пересечений графика $y = f(x)$ с прямой $y = a$:

• Если $a > y_{max}$ (т.е. $a > 2$), прямая $y=a$ пересекает график в одной точке.
• Если $a = y_{max}$ (т.е. $a = 2$), прямая касается графика в точке максимума и пересекает его еще в одной точке, итого два корня.
• Если $y_{min} < a < y_{max}$ (т.е. $-2 < a < 2$), прямая пересекает график в трех точках.
• Если $a = y_{min}$ (т.е. $a = -2$), прямая касается графика в точке минимума и пересекает его еще в одной точке, итого два корня.
• Если $a < y_{min}$ (т.е. $a < -2$), прямая пересекает график в одной точке.

Таким образом, уравнение имеет один корень, когда прямая $y=a$ проходит выше локального максимума или ниже локального минимума.
Это соответствует условиям $a > 2$ или $a < -2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

б) уравнение $3x - x^3 = a$ имеет два корня?

Рассмотрим функцию $g(x) = 3x - x^3$. Задача состоит в том, чтобы найти значения $a$, при которых прямая $y=a$ пересекает график функции $y=g(x)$ ровно в двух точках.

Исследуем функцию $g(x)$ с помощью производной:
$g'(x) = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$.

Найдем критические точки:
$3 - 3x^2 = 0$
$3(1 - x^2) = 0$
$x^2 = 1$
Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Определим знаки производной на интервалах:

• На интервале $(-\infty; -1)$ производная $g'(x) < 0$, функция убывает.
• На интервале $(-1; 1)$ производная $g'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервале $(1; +\infty)$ производная $g'(x) < 0$, функция убывает.

Следовательно, $x=-1$ — точка локального минимума, а $x=1$ — точка локального максимума.

Найдем значения экстремумов:
Локальный минимум: $y_{min} = g(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 + 1 = -2$.
Локальный максимум: $y_{max} = g(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2$.

Уравнение будет иметь два корня, если прямая $y=a$ будет касаться графика функции в одной из точек экстремума. Это происходит, когда значение $a$ равно значению локального максимума или локального минимума.
$a = y_{max} = 2$ или $a = y_{min} = -2$.

Ответ: $a = -2, a = 2$.

31.19 Решите графически уравнение:

a) $3\sqrt{x} + 1 = -x^3 + 3x^2 + 6;$

б) $x^3 - 3x = (x + 1)^6 + 2.$

а)

Для решения уравнения $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 3\sqrt{x+1}$ и $y = -x^3 + 3x^2 + 6$. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

1. Анализ функции $y_1(x) = 3\sqrt{x+1}$

• Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+1 \geq 0$, откуда $x \geq -1$. Таким образом, $D(y_1) = [-1; +\infty)$.

• Область значений функции: поскольку $\sqrt{x+1} \geq 0$, то $y_1 \geq 0$. $E(y_1) = [0; +\infty)$.

• Функция является возрастающей на всей области определения.

• Найдем несколько точек для построения графика:
  При $x = -1$, $y_1 = 3\sqrt{-1+1} = 0$. Точка $(-1, 0)$.
  При $x = 0$, $y_1 = 3\sqrt{0+1} = 3$. Точка $(0, 3)$.
  При $x = 3$, $y_1 = 3\sqrt{3+1} = 3\sqrt{4} = 6$. Точка $(3, 6)$.
  При $x = 8$, $y_1 = 3\sqrt{8+1} = 3\sqrt{9} = 9$. Точка $(8, 9)$.

2. Анализ функции $y_2(x) = -x^3 + 3x^2 + 6$

• Область определения функции: $D(y_2) = (-\infty; +\infty)$.

• Это кубическая парабола. Для исследования ее поведения найдем производную:
  $y_2'(x) = (-x^3 + 3x^2 + 6)' = -3x^2 + 6x = -3x(x-2)$.

• Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y_2'(x)=0$, $-3x(x-2)=0$. Отсюда $x=0$ и $x=2$.

• Определим промежутки монотонности:
  • при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$, $y_2'(x) < 0$, функция убывает.
  • при $x \in (0; 2)$, $y_2'(x) > 0$, функция возрастает.

• Точка $x=0$ является точкой локального минимума: $y_2(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.

• Точка $x=2$ является точкой локального максимума: $y_2(2) = -2^3 + 3 \cdot 2^2 + 6 = -8 + 12 + 6 = 10$. Точка $(2, 10)$.

• Найдем значения в некоторых других точках, чтобы уточнить график:
  При $x = -1$, $y_2 = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 6 = 1 + 3 + 6 = 10$. Точка $(-1, 10)$.
  При $x = 3$, $y_2 = -3^3 + 3 \cdot 3^2 + 6 = -27 + 27 + 6 = 6$. Точка $(3, 6)$.

3. Построение графиков и нахождение решения

Нанесем ключевые точки на координатную плоскость и построим эскизы графиков. График $y_1 = 3\sqrt{x+1}$ начинается в точке $(-1, 0)$ и плавно возрастает, проходя через точки $(0, 3)$ и $(3, 6)$. График $y_2 = -x^3 + 3x^2 + 6$ проходит через точки $(-1, 10)$, имеет минимум в $(0, 6)$, максимум в $(2, 10)$ и проходит через точку $(3, 6)$.

Сравнивая найденные точки, мы видим, что оба графика проходят через точку $(3, 6)$. Это означает, что при $x=3$ значения функций равны: $y_1(3) = y_2(3) = 6$.

На промежутке $[-1; 3]$ функция $y_1(x)$ возрастает от $0$ до $6$. Функция $y_2(x)$ на этом же промежутке сначала убывает от $10$ до $6$ (на $[-1; 0]$), а затем возрастает от $6$ до $10$ (на $[0; 2]$) и снова убывает от $10$ до $6$ (на $[2; 3]$). На промежутке $(3; +\infty)$ функция $y_1(x)$ продолжает возрастать, а функция $y_2(x)$ — убывать. Следовательно, после точки $x=3$ графики разойдутся и больше не пересекутся. Таким образом, графики имеют только одну точку пересечения.

Абсцисса этой точки пересечения $x=3$ и является единственным решением уравнения.

Ответ: $3$.

б)

Для решения уравнения $x^3 - 3x = (x + 1)^6 + 2$ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3 - 3x$ и $y = (x + 1)^6 + 2$.

1. Анализ функции $f(x) = x^3 - 3x$

• Это кубическая парабола. Область определения - все действительные числа.

• Найдем производную для определения экстремумов: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

• Критические точки: $f'(x)=0$ при $x=1$ и $x=-1$.

• При $x < -1$ и $x > 1$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).

• При $-1 < x < 1$ функция убывает ($f'(x) < 0$).

• $x = -1$ — точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Точка максимума $(-1, 2)$.

• $x = 1$ — точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Точка минимума $(1, -2)$.

2. Анализ функции $g(x) = (x + 1)^6 + 2$

• Область определения — все действительные числа.

• Выражение $(x+1)^6$ всегда неотрицательно, $(x+1)^6 \geq 0$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $x+1=0$, то есть при $x=-1$.

• Следовательно, наименьшее значение функции $g(x)$ равно $0+2=2$. Это значение достигается при $x=-1$.

• Таким образом, точка $(-1, 2)$ является точкой глобального минимума для функции $g(x)$.

• При $x < -1$ функция $g(x)$ убывает. При $x > -1$ функция $g(x)$ возрастает.

3. Сравнение функций и нахождение решения

Мы установили, что:

• Функция $f(x) = x^3 - 3x$ имеет локальный максимум в точке $(-1, 2)$. Это означает, что для любого $x \neq -1$ в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство $f(x) < f(-1) = 2$. Фактически, $f(x) \le 2$ для всех $x \le 2$ (так как $x^3-3x-2 = (x+1)^2(x-2)$), и $f(x)$ принимает значения больше 2 только при $x > 2$.

• Функция $g(x) = (x + 1)^6 + 2$ имеет глобальный минимум в точке $(-1, 2)$. Это означает, что для любого $x \neq -1$ выполняется неравенство $g(x) > g(-1) = 2$.

В точке $x=-1$ обе функции принимают одинаковое значение: $f(-1) = 2$ и $g(-1) = 2$. Значит, $x=-1$ является решением уравнения.

Для любого другого значения $x \neq -1$, мы имеем $g(x) > 2$. В то же время, $f(x)$ может быть равно 2 только в точке $x=-1$ и $x=2$. В точке $x=2$ значение $g(2) = (2+1)^6+2 = 3^6+2 = 729+2=731$, что очевидно не равно $f(2)=2$. Для всех остальных $x \neq -1$, $f(x) < g(x)$.

Следовательно, графики функций касаются друг друга в точке $(-1, 2)$, которая является точкой максимума для одного графика и точкой минимума для другого. Это единственная точка их пересечения.

Абсцисса этой точки $x=-1$ и является единственным решением уравнения.

Ответ: $-1$.

Решите уравнение с помощью исследования функций на монотонность:

31.16 a) $x^3 + 5 = 15 - x;$

б) $x^5 + 3x^3 + 7x - 11 = 0;$

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x;$

г) $x^5 + 4x^3 + 8x - 13 = 0.$

а) Перепишем исходное уравнение $x^3 + 5 = 15 - x$ в виде $x^3 + x - 10 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 10$. Нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$.
Для исследования функции на монотонность найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + x - 10)' = 3x^2 + 1$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(x) = 3x^2 + 1$ всегда будет больше нуля ($f'(x) > 0$) при любом $x$.
Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Строго монотонная функция может принимать каждое свое значение только один раз. Таким образом, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора, проверяя небольшие целые числа.
Проверим $x=1$: $f(1) = 1^3 + 1 - 10 = -8 \neq 0$.
Проверим $x=2$: $f(2) = 2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$.
Мы нашли корень $x=2$. Так как он может быть только один, это и есть решение уравнения.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 3x^3 + 7x - 11$. Уравнение имеет вид $f(x) = 0$.
Найдем производную этой функции для определения ее монотонности:
$f'(x) = (x^5 + 3x^3 + 7x - 11)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.
Слагаемые $5x^4$ и $9x^2$ неотрицательны для любых $x$ ($x^4 \ge 0, x^2 \ge 0$).
Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 7$ всегда положительна для любого $x \in \mathbb{R}$.
Это значит, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=1$: $f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1 - 11 = 1 + 3 + 7 - 11 = 0$.
Таким образом, $x=1$ является единственным решением уравнения.
Ответ: 1.

в) Перенесем все члены уравнения $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x$ в одну часть:
$2x^5 + 3x^3 + 12x - 17 = 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^5 + 3x^3 + 12x - 17$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (2x^5 + 3x^3 + 12x - 17)' = 10x^4 + 9x^2 + 12$.
Так как $10x^4 \ge 0$ и $9x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $f'(x) = 10x^4 + 9x^2 + 12 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.
Функция $f(x)$ является строго возрастающей, а значит, уравнение $f(x) = 0$ имеет не более одного решения.
Найдем решение подбором.
При $x=1$: $f(1) = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 12 \cdot 1 - 17 = 2 + 3 + 12 - 17 = 0$.
Следовательно, $x=1$ – единственный корень уравнения.
Ответ: 1.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 4x^3 + 8x - 13$. Требуется решить уравнение $f(x) = 0$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^5 + 4x^3 + 8x - 13)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.
Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для всех $x$, то $5x^4 \ge 0$ и $12x^2 \ge 0$.
Значит, производная $f'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 8$ всегда положительна.
Таким образом, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.
Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором.
При $x=1$: $f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1 - 13 = 1 + 4 + 8 - 13 = 0$.
Мы нашли корень $x=1$. В силу строгой монотонности функции он является единственным.
Ответ: 1.

31.17 a) $ \sin 5x - 2 \cos x - 8x = x^5 - 2; $

б) $ 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3. $

а)

Перепишем исходное уравнение $\sin 5x - 2\cos x - 8x = x^5 - 2$ в виде равенства двух функций. Перенесем слагаемые таким образом, чтобы сгруппировать тригонометрические и алгебраические части:

$\sin 5x - 2\cos x + 2 = x^5 + 8x$

Рассмотрим две функции: левую часть $f(x) = \sin 5x - 2\cos x + 2$ и правую часть $g(x) = x^5 + 8x$. Решения исходного уравнения — это абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

1. Анализ функции $f(x) = \sin 5x - 2\cos x + 2$

Эта функция является комбинацией тригонометрических функций. Оценим ее область значений.Поскольку $-1 \le \sin 5x \le 1$ и $-1 \le \cos x \le 1$, то $-2 \le -2\cos x \le 2$.Следовательно, для суммы $\sin 5x - 2\cos x$ имеем:- Минимальное значение: $\min(\sin 5x) + \min(-2\cos x) = -1 - 2 = -3$.- Максимальное значение: $\max(\sin 5x) + \max(-2\cos x) = 1 + 2 = 3$.Таким образом, $-3 \le \sin 5x - 2\cos x \le 3$.Тогда для функции $f(x)$ имеем:$-3 + 2 \le f(x) \le 3 + 2$, что дает $-1 \le f(x) \le 5$.Функция $f(x)$ является ограниченной.

2. Анализ функции $g(x) = x^5 + 8x$

Исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:$g'(x) = (x^5 + 8x)' = 5x^4 + 8$.Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $5x^4 \ge 0$. Следовательно, $g'(x) = 5x^4 + 8 \ge 8 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.Поскольку производная $g'(x)$ всегда положительна, функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

3. Поиск и доказательство единственности решения

Попробуем найти корень уравнения $f(x) = g(x)$ подбором. Проверим $x=0$:$f(0) = \sin(0) - 2\cos(0) + 2 = 0 - 2(1) + 2 = 0$.$g(0) = 0^5 + 8(0) = 0$.Поскольку $f(0) = g(0)$, то $x=0$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим вспомогательную функцию $h(x) = g(x) - f(x) = x^5 + 8x - \sin 5x + 2\cos x - 2$.Корни исходного уравнения — это нули функции $h(x)$. Мы уже знаем, что $h(0) = 0$.Найдем производную функции $h(x)$:$h'(x) = g'(x) - f'(x)$.$f'(x) = (\sin 5x - 2\cos x + 2)' = 5\cos 5x + 2\sin x$.$h'(x) = (5x^4 + 8) - (5\cos 5x + 2\sin x)$.Оценим значение $h'(x)$. Мы знаем, что $g'(x) = 5x^4 + 8 \ge 8$.Для производной $f'(x)$ справедлива оценка: $|f'(x)| = |5\cos 5x + 2\sin x| \le |5\cos 5x| + |2\sin x| \le 5(1) + 2(1) = 7$.Значит, $-7 \le f'(x) \le 7$.Тогда $h'(x) = g'(x) - f'(x) \ge \min(g'(x)) - \max(f'(x)) = 8 - 7 = 1$.Поскольку $h'(x) \ge 1 > 0$ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго возрастающей. Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз, в частности, значение 0.Так как $h(0) = 0$, то $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=0$.

б)

Преобразуем исходное уравнение $4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3$, сгруппировав слагаемые:

$x^3 + 15x + 4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} - 4 = 0$

Рассмотрим функцию $h(x) = x^3 + 15x + 4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} - 4$. Нам нужно найти нули этой функции.

1. Поиск решения

Проверим, является ли $x=0$ корнем уравнения:$h(0) = 0^3 + 15(0) + 4\cos(0) + 5\sin(0) - 4 = 0 + 0 + 4(1) + 5(0) - 4 = 4 - 4 = 0$.Да, $x=0$ является решением.

2. Доказательство единственности решения

Для доказательства единственности корня исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью ее производной.$h'(x) = (x^3 + 15x + 4\cos 3x + 5\sin\frac{x}{2} - 4)'$$h'(x) = 3x^2 + 15 - 4\sin(3x) \cdot 3 + 5\cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2}$$h'(x) = 3x^2 + 15 - 12\sin 3x + \frac{5}{2}\cos\frac{x}{2}$Сгруппируем слагаемые: $h'(x) = (3x^2 + 15) + (\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2} - 12\sin 3x)$.

Оценим каждое слагаемое в выражении для $h'(x)$:- Алгебраическая часть: $3x^2 + 15$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $3x^2 \ge 0$, и минимальное значение этого выражения равно $15$ (достигается при $x=0$).- Тригонометрическая часть: $\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2} - 12\sin 3x$. Оценим ее минимальное значение.Поскольку $-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$ и $-1 \le \sin 3x \le 1$, то:$\min(\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2}) = -\frac{5}{2}$.$\min(-12\sin 3x) = -12$.Следовательно, минимальное значение тригонометрической части: $-\frac{5}{2} - 12 = -2.5 - 12 = -14.5$.Теперь оценим $h'(x)$:$h'(x) \ge \min(3x^2 + 15) + \min(\frac{5}{2}\cos\frac{x}{2} - 12\sin 3x)$$h'(x) \ge 15 + (-14.5) = 0.5$.Поскольку $h'(x) \ge 0.5 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза.Так как мы нашли, что $h(0) = 0$, то $x=0$ — это единственный корень данного уравнения.

Ответ: $x=0$.

31.18 a) $3 \cos \frac{\pi x}{2} + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x = 43 - x^5 - 22x^3;$

б) $\sin \frac{\pi}{2}x - 2 \cos \pi x - 8x = x^5 - 50.$

a) $3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + 18x = 43 - x^5 - 22x^3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $F(x) = 0$:

$3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + x^5 + 22x^3 + 18x - 43 = 0$

Рассмотрим функцию $F(x) = 3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + x^5 + 22x^3 + 18x - 43$. Для того чтобы найти количество корней, исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$F'(x) = \left(3 \cos\frac{\pi x}{2}\right)' + \left(5 \sin\frac{\pi x}{2}\right)' + (x^5)' + (22x^3)' + (18x)' - (43)'$

$F'(x) = -3\sin\frac{\pi x}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 5\cos\frac{\pi x}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 5x^4 + 66x^2 + 18$

$F'(x) = \frac{\pi}{2}\left(5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2}\right) + 5x^4 + 66x^2 + 18$

Оценим значение производной. Выражение $A \cos t + B \sin t$ можно представить в виде $R \cos(t+\alpha)$, где амплитуда $R = \sqrt{A^2+B^2}$. Для тригонометрической части $5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2}$ амплитуда равна $\sqrt{5^2+(-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$.

Следовательно, $-\sqrt{34} \le 5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2} \le \sqrt{34}$.

Тогда для первого слагаемого в $F'(x)$ имеем оценку:

$-\frac{\pi\sqrt{34}}{2} \le \frac{\pi}{2}\left(5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2}\right) \le \frac{\pi\sqrt{34}}{2}$

Используя приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{34} \approx 5.83$, получаем:

$\frac{\pi\sqrt{34}}{2} \approx \frac{3.14 \cdot 5.83}{2} \approx 9.16$

Второе слагаемое $5x^4 + 66x^2 + 18$ является многочленом, который всегда положителен. Его наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно 18.

Таким образом, для производной $F'(x)$ можно записать оценку снизу:

$F'(x) \ge \min\left(\frac{\pi}{2}(5\cos\frac{\pi x}{2} - 3\sin\frac{\pi x}{2})\right) + \min(5x^4 + 66x^2 + 18) = -\frac{\pi\sqrt{34}}{2} + 18 \approx -9.16 + 18 = 8.84$

Поскольку $F'(x) > 0$ для всех $x$, функция $F(x)$ является строго возрастающей. Это означает, что уравнение $F(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Попытка найти корень подбором не приводит к целому числу. При $x=1$:

$F(1) = 3\cos\frac{\pi}{2} + 5\sin\frac{\pi}{2} + 1 + 22 + 18 - 43 = 0 + 5 + 1 + 22 + 18 - 43 = 46-43 = 3 \ne 0$.

Задачи такого типа часто предполагают наличие "красивого" ответа. Вероятно, в условии допущена опечатка. Например, если бы коэффициент при $x$ был не 18, а 15, то уравнение выглядело бы так:

$3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + 15x = 43 - x^5 - 22x^3$

И соответствующая функция $G(x) = 3 \cos\frac{\pi x}{2} + 5 \sin\frac{\pi x}{2} + x^5 + 22x^3 + 15x - 43$ также была бы строго возрастающей. Проверим для нее значение $x=1$:

$G(1) = 3\cos\frac{\pi}{2} + 5\sin\frac{\pi}{2} + 1^5 + 22(1)^3 + 15(1) - 43 = 0 + 5 + 1 + 22 + 15 - 43 = 43 - 43 = 0$.

Таким образом, $x=1$ является решением исправленного уравнения. Принимая во внимание, что это единственный корень, это и есть ответ.

Ответ: $x=1$. (В предположении опечатке в условии, где $18x$ заменено на $15x$).

б) $\sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x - 8x = x^5 - 50$

Сгруппируем члены уравнения так, чтобы в одной части оказались тригонометрические функции, а в другой — многочлены:

$\sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x = x^5 + 8x - 50$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$f(x) = \sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x$

$g(x) = x^5 + 8x - 50$

Проанализируем функцию $f(x)$. Так как $-1 \le \sin\frac{\pi}{2}x \le 1$ и $-1 \le \cos\pi x \le 1$, то для $f(x)$ справедлива оценка:

$-1 - 2(1) \le f(x) \le 1 - 2(-1)$

$-3 \le f(x) \le 3$

Таким образом, значения левой части уравнения ограничены отрезком $[-3, 3]$.

Проанализируем функцию $g(x)$. Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность:

$g'(x) = (x^5 + 8x - 50)' = 5x^4 + 8$

Поскольку $x^4 \ge 0$ для всех $x$, то $g'(x) = 5x^4 + 8 \ge 8 > 0$. Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Равенство $f(x) = g(x)$ может выполняться только в том случае, если значения $g(x)$ находятся в области значений $f(x)$, то есть:

$-3 \le g(x) \le 3$

$-3 \le x^5 + 8x - 50 \le 3$

Проверим значения $g(x)$ в некоторых целочисленных точках:

$g(1) = 1^5 + 8(1) - 50 = 1 + 8 - 50 = -41$. Это значение меньше $-3$.

$g(2) = 2^5 + 8(2) - 50 = 32 + 16 - 50 = -2$. Это значение попадает в отрезок $[-3, 3]$.

$g(3) = 3^5 + 8(3) - 50 = 243 + 24 - 50 = 217$. Это значение больше $3$.

Так как $g(x)$ строго возрастает, то условие $-3 \le g(x) \le 3$ выполняется только для $x$ из некоторого интервала, содержащего точку $x=2$. Это делает $x=2$ основным кандидатом в решения.

Подставим $x=2$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно корнем.

Левая часть: $\sin(\frac{\pi}{2} \cdot 2) - 2\cos(\pi \cdot 2) - 8(2) = \sin\pi - 2\cos(2\pi) - 16 = 0 - 2(1) - 16 = -18$.

Правая часть: $2^5 - 50 = 32 - 50 = -18$.

Левая и правая части равны, следовательно, $x=2$ является решением уравнения.

Чтобы доказать, что это решение единственное, рассмотрим функцию $H(x) = f(x) - g(x) = \sin\frac{\pi}{2}x - 2 \cos\pi x - x^5 - 8x + 50$. Найдем ее производную:

$H'(x) = \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x + 2\pi\sin\pi x - 5x^4 - 8$

Оценим значение $H'(x)$. Тригонометрическая часть ограничена:

$|\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x + 2\pi\sin\pi x| \le |\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x| + |2\pi\sin\pi x| \le \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$

$\frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \cdot 3.1416}{2} \approx 7.854$

Полиномиальная часть $-5x^4 - 8$ всегда отрицательна и ее максимальное значение равно $-8$ (при $x=0$).

Тогда $H'(x) = (\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}x + 2\pi\sin\pi x) - (5x^4 + 8) \le \frac{5\pi}{2} - 8 \approx 7.854 - 8 = -0.146 < 0$.

Поскольку $H'(x) < 0$ для всех $x$, функция $H(x)$ является строго убывающей. Следовательно, уравнение $H(x)=0$ может иметь не более одного корня. Так как мы нашли корень $x=2$, он является единственным.

Ответ: $x=2$.

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

32.1 а) $y = 3x - 6, [-1; 4];$

б) $y = -\frac{8}{x}, [\frac{1}{4}; 8];$

в) $y = -0,5x + 4, [-2; 6];$

г) $y = \frac{3}{x}, [0,3; 2].$

а) $y = 3x - 6$ на отрезке $[-1; 4]$.

Данная функция является линейной с угловым коэффициентом $k=3$. Так как $k > 0$, функция строго возрастает на всей своей области определения, в том числе и на отрезке $[-1; 4]$.

Для возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение при $x = -1$: $y_{наим} = y(-1) = 3 \cdot (-1) - 6 = -3 - 6 = -9$.
Наибольшее значение при $x = 4$: $y_{наиб} = y(4) = 3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6$.

Ответ: наименьшее значение функции -9, наибольшее значение 6.

б) $y = -\frac{8}{x}$ на отрезке $[\frac{1}{4}; 8]$.

Данная функция является обратной пропорциональностью и непрерывна на заданном отрезке, так как точка разрыва $x=0$ не принадлежит ему. Для определения характера монотонности функции найдем ее производную:
$y' = \left(-\frac{8}{x}\right)' = (-8x^{-1})' = -8 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{8}{x^2}$.

На отрезке $[\frac{1}{4}; 8]$ производная $y' = \frac{8}{x^2}$ всегда положительна ($y' > 0$). Следовательно, функция строго возрастает на этом отрезке.

Таким образом, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения:
Наименьшее значение при $x = \frac{1}{4}$: $y_{наим} = y\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{8}{1/4} = -32$.
Наибольшее значение при $x = 8$: $y_{наиб} = y(8) = -\frac{8}{8} = -1$.

Ответ: наименьшее значение функции -32, наибольшее значение -1.

в) $y = -0.5x + 4$ на отрезке $[-2; 6]$.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-0.5$. Так как $k < 0$, функция строго убывает на всей своей области определения, включая отрезок $[-2; 6]$.

Для убывающей функции на отрезке ее наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение при $x = -2$: $y_{наиб} = y(-2) = -0.5 \cdot (-2) + 4 = 1 + 4 = 5$.
Наименьшее значение при $x = 6$: $y_{наим} = y(6) = -0.5 \cdot 6 + 4 = -3 + 4 = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции 1, наибольшее значение 5.

г) $y = \frac{3}{x}$ на отрезке $[0.3; 2]$.

Функция является обратной пропорциональностью и непрерывна на заданном отрезке, так как точка разрыва $x=0$ не принадлежит ему. Найдем производную для анализа монотонности:
$y' = \left(\frac{3}{x}\right)' = (3x^{-1})' = 3 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

На отрезке $[0.3; 2]$ производная $y' = -\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$). Следовательно, функция строго убывает на этом отрезке.

Таким образом, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычислим значения:
Наибольшее значение при $x = 0.3$: $y_{наиб} = y(0.3) = \frac{3}{0.3} = 10$.
Наименьшее значение при $x = 2$: $y_{наим} = y(2) = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: наименьшее значение функции 1.5, наибольшее значение 10.

32.2 a) $y = 2 \sin x, [-\frac{\pi}{2}; \pi]$

б) $y = -2 \cos x, [-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$

В) $y = 6 \cos x, [-\frac{\pi}{2}; 0]$

Г) $y = -0.5 \sin x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

а)

Найдем область значений функции $y = 2 \sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$.

Для нахождения области значений функции $y$ на заданном отрезке, сначала определим область значений для функции $\sin x$ на этом же отрезке.
На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ функция $\sin x$ сначала возрастает от $x = -\frac{\pi}{2}$ до $x = \frac{\pi}{2}$, а затем убывает от $x = \frac{\pi}{2}$ до $x = \pi$.
Найдем значения на концах отрезка и в точке максимума:
$ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $
$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $
$ \sin(\pi) = 0 $
Следовательно, наименьшее значение $\sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ равно -1, а наибольшее равно 1. Таким образом, область значений $\sin x$ на данном отрезке есть $[-1; 1]$.

Так как $y = 2 \sin x$, то область значений функции $y$ получается умножением границ отрезка $[-1; 1]$ на 2:
Наименьшее значение: $y_{min} = 2 \cdot (-1) = -2$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 2 \cdot 1 = 2$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ есть $[-2; 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2; 2]$.

б)

Найдем область значений функции $y = -2 \cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$.

Сначала определим область значений для функции $\cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$.
На этом отрезке функция $\cos x$ сначала убывает от $x = -2\pi$ до $x = -\pi$, а затем возрастает от $x = -\pi$ до $x = -\frac{\pi}{2}$.
Найдем значения на концах отрезка и в точке минимума:
$ \cos(-2\pi) = 1 $
$ \cos(-\pi) = -1 $
$ \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 $
Следовательно, наименьшее значение $\cos x$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ равно -1, а наибольшее равно 1. Таким образом, область значений $\cos x$ на данном отрезке есть $[-1; 1]$.

Так как $y = -2 \cos x$, то область значений функции $y$ получается умножением границ отрезка $[-1; 1]$ на -2. При умножении на отрицательное число неравенство меняет знак, поэтому наименьшее значение становится наибольшим, и наоборот.
Наименьшее значение: $y_{min} = -2 \cdot 1 = -2$.
Наибольшее значение: $y_{max} = -2 \cdot (-1) = 2$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ есть $[-2; 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2; 2]$.

в)

Найдем область значений функции $y = 6 \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция $\cos x$ монотонно возрастает.
Следовательно, ее наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Наибольшее значение: $\cos(0) = 1$.
Область значений для $\cos x$ на данном отрезке есть $[0; 1]$.

Так как $y = 6 \cos x$, умножим границы отрезка $[0; 1]$ на 6:
Наименьшее значение: $y_{min} = 6 \cdot 0 = 0$.
Наибольшее значение: $y_{max} = 6 \cdot 1 = 6$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ есть $[0; 6]$.

Ответ: $E(y) = [0; 6]$.

г)

Найдем область значений функции $y = -0,5 \sin x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $\sin x$ монотонно возрастает.
Следовательно, ее наименьшее значение достигается в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Наибольшее значение: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Область значений для $\sin x$ на данном отрезке есть $[-1; 1]$.

Так как $y = -0,5 \sin x$, умножим границы отрезка $[-1; 1]$ на -0,5. При умножении на отрицательное число неравенство меняет знак.
Наименьшее значение: $y_{min} = -0,5 \cdot 1 = -0,5$.
Наибольшее значение: $y_{max} = -0,5 \cdot (-1) = 0,5$.
Таким образом, область значений функции $y$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ есть $[-0,5; 0,5]$.

Ответ: $E(y) = [-0,5; 0,5]$.