Страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.25 a) $ax - \cos x;$

б) $y = 2\sin 2x - ax?$

a) Для того чтобы найти значения параметра $a$, при которых функция $y = ax - \cos x$ является монотонной на всей числовой прямой, необходимо исследовать ее производную. Функция является монотонной, если ее производная не меняет знак (т.е. всегда неотрицательна или всегда неположительна).

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (ax - \cos x)' = a - (-\sin x) = a + \sin x$.

1. Функция монотонно возрастает, если $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$a + \sin x \ge 0 \implies a \ge -\sin x$.

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только если $a$ больше или равно максимальному значению выражения $-\sin x$. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, максимальное значение $-\sin x$ равно $1$. Таким образом, для монотонного возрастания функции необходимо, чтобы $a \ge 1$.

2. Функция монотонно убывает, если $y'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$a + \sin x \le 0 \implies a \le -\sin x$.

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Это возможно только если $a$ меньше или равно минимальному значению выражения $-\sin x$. Минимальное значение $-\sin x$ равно $-1$. Таким образом, для монотонного убывания функции необходимо, чтобы $a \le -1$.

Объединяя оба случая, получаем, что функция является монотонной, если $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Ответ: функция является монотонной при $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

б) Рассмотрим функцию $y = 2\sin 2x - ax$. Аналогично предыдущему пункту, найдем значения параметра $a$, при которых функция монотонна на всей числовой прямой, исследовав ее производную.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (2\sin 2x - ax)' = 2 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' - a = 4\cos 2x - a$.

1. Функция монотонно возрастает, если $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$4\cos 2x - a \ge 0 \implies 4\cos 2x \ge a$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Следовательно, $a$ должно быть меньше или равно минимальному значению выражения $4\cos 2x$. Область значений $\cos 2x$ — это $[-1, 1]$, поэтому минимальное значение $4\cos 2x$ равно $4 \cdot (-1) = -4$. Таким образом, $a \le -4$.

2. Функция монотонно убывает, если $y'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$4\cos 2x - a \le 0 \implies 4\cos 2x \le a$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Следовательно, $a$ должно быть больше или равно максимальному значению выражения $4\cos 2x$. Максимальное значение $4\cos 2x$ равно $4 \cdot 1 = 4$. Таким образом, $a \ge 4$.

Объединяя оба случая, получаем, что функция является монотонной, если $a \le -4$ или $a \ge 4$.

Ответ: функция является монотонной при $a \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

30.29 По графику функции $y = f(x)$, изображённому на рисунке, определите точки, в которых $f'(x)$ не существует:

а) рис. 64;

б) рис. 65;

в) рис. 66;

г) рис. 67.

Рис. 64

Рис. 65

Рис. 66

Рис. 67

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, обозначаемая как $f'(x_0)$, с геометрической точки зрения представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Производная существует, если в точке $(x_0, f(x_0))$ можно провести единственную невертикальную касательную. Это означает, что график в данной точке должен быть "гладким".

Производная $f'(x)$ не существует в точках, где график функции имеет:

• Точки излома («острые углы»). В таких точках у графика нет единой касательной; касательные, проведённые с левой и с правой стороны, не совпадают (имеют разный наклон). Это означает, что левосторонняя и правосторонняя производные в этой точке не равны.
• Точки возврата (каспы). Это особый вид «заострения» графика, в котором касательные с обеих сторон стремятся к одной вертикальной прямой. Производная в таких точках также не существует.
• Вертикальную касательную. Наклон вертикальной прямой не определён, поэтому производная в такой точке не существует.

На всех представленных рисунках функции непрерывны, поэтому отсутствие производной связано именно с наличием "острых" точек на графиках.

На данном графике функция является гладкой во всех точках, кроме точки $e$. В точках $b$ и $d$ расположены локальные экстремумы (максимум и минимум), где касательная к графику горизонтальна, а производная равна нулю ($f'(b) = 0$ и $f'(d) = 0$), то есть существует. В точке $e$ график имеет заострение типа касп (точка возврата), в котором невозможно провести единственную касательную. Следовательно, в точке $e$ производная не существует.

Ответ: $e$.

График функции в точках $a$, $b$ и $c$ имеет изломы. В каждой из этих точек касательная к графику слева имеет один наклон, а справа — другой.

• В точке $a$ (локальный минимум) наклон графика меняется с отрицательного на положительный.
• В точке $b$ (локальный максимум) наклон графика меняется с положительного на отрицательный.
• В точке $c$ (локальный минимум) наклон снова меняется с отрицательного на положительный.

Поскольку в каждой из этих точек левосторонняя и правосторонняя производные не равны, производная не существует.

Ответ: $a, b, c$.

В точках $a$ и $O$ (начало координат) находятся гладкие локальные минимумы. Касательная в этих точках горизонтальна, производная существует и равна нулю. В точках $b$ и $c$ график имеет заострения (каспы). В этих точках, как и в точке $e$ на рис. 64, производная не существует.

Ответ: $b, c$.

График этой функции представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезков прямых. Производная такой функции не существует в точках излома, где меняется наклон прямой (то есть где соединяются отрезки с разными угловыми коэффициентами).

• В точке $a$ происходит излом: наклон графика меняется (прямая становится круче).
• В точках $b$ и $d$ находятся локальные максимумы (вершины «зубцов»).
• В точках $c$ и $e$ находятся локальные минимумы (впадины).

Все эти точки — $a, b, c, d, e$ — являются точками излома графика, в которых производная не существует, так как наклон графика слева не равен наклону справа.

Ответ: $a, b, c, d, e$.

30.22 a) $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ убывает на $(-2; +\infty)$;

б) $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ убывает на $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

а) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ убывает на интервале $(-2; +\infty)$, найдем ее производную и определим ее знак на этом интервале. Функция является убывающей на некотором интервале, если ее производная на всем этом интервале отрицательна ($y' < 0$).

Область определения функции задается условием $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Таким образом, интервал $(-2; +\infty)$ полностью входит в область определения функции.

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = 3x + 7$ и $v(x) = x + 2$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = 3$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем эти значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(3x + 7)'(x + 2) - (3x + 7)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{3(x + 2) - (3x + 7) \cdot 1}{(x + 2)^2}$

Теперь упростим полученное выражение:

$y' = \frac{3x + 6 - 3x - 7}{(x + 2)^2} = \frac{-1}{(x + 2)^2}$

Проанализируем знак производной на заданном интервале $(-2; +\infty)$.

Числитель дроби равен $-1$, что является отрицательным числом.

Знаменатель дроби, $(x + 2)^2$, представляет собой квадрат выражения. Для любого значения $x$ из интервала $(-2; +\infty)$, выражение $x+2$ будет положительным, а значит, его квадрат $(x+2)^2$ будет строго положительным.

Таким образом, производная $y'$ является отношением отрицательного числа к положительному, что означает, что $y' < 0$ для всех $x \in (-2; +\infty)$.

Поскольку производная функции отрицательна на всем интервале $(-2; +\infty)$, это доказывает, что функция $y = \frac{3x + 7}{x + 2}$ убывает на этом интервале.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что функция $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ убывает на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$, мы также найдем ее производную и проанализируем ее знак на этом интервале.

Область определения функции определяется условием $2x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{1}{2}$. Интервал $(-\infty; -\frac{1}{2})$ входит в область определения функции.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u(x) = -4x + 1$ и $v(x) = 2x + 1$.

Их производные: $u'(x) = -4$ и $v'(x) = 2$.

Применяем формулу производной частного:

$y' = \frac{(-4x + 1)'(2x + 1) - (-4x + 1)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} = \frac{-4(2x + 1) - (-4x + 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$

Упрощаем выражение в числителе:

$y' = \frac{-8x - 4 - (-8x + 2)}{(2x + 1)^2} = \frac{-8x - 4 + 8x - 2}{(2x + 1)^2} = \frac{-6}{(2x + 1)^2}$

Теперь определим знак производной на интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

Числитель дроби равен $-6$, что является отрицательным числом.

Знаменатель $(2x + 1)^2$ — это квадрат выражения, который всегда неотрицателен. Поскольку на рассматриваемом интервале $x \neq -\frac{1}{2}$, знаменатель будет строго положительным.

Следовательно, производная $y'$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, а значит, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; -\frac{1}{2})$.

Так как производная функции отрицательна на всем указанном интервале, функция $y = \frac{-4x + 1}{2x + 1}$ убывает на этом интервале.

Ответ: Утверждение доказано.

30.26 При каких значениях параметра b функция убывает на всей области определения:

а) $y = 7 + bx - x^2 - x^3;$

б) $y = -2\sqrt{x} + 3 + bx;$

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21;$

г) $y = -2bx + \sqrt{1 - x}?$

а) $y = 7 + bx - x^2 - x^3$

Для того чтобы функция убывала на всей области определения, ее производная должна быть неположительной ($y' \le 0$) для всех $x$ из области определения.

1. Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Найдем производную функции: $y' = (7 + bx - x^2 - x^3)' = b - 2x - 3x^2$.

3. Условие убывания функции: $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. $-3x^2 - 2x + b \le 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. График функции $f(x) = -3x^2 - 2x + b$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -3, что меньше нуля). Чтобы парабола целиком находилась не выше оси абсцисс, она должна иметь не более одного корня. Это означает, что ее дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \le 0$).

4. Вычислим дискриминант квадратного трехчлена $-3x^2 - 2x + b$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot b = 4 + 12b$.

5. Решим неравенство $D \le 0$: $4 + 12b \le 0$ $12b \le -4$ $b \le -\frac{4}{12}$ $b \le -\frac{1}{3}$.

Таким образом, функция убывает на всей области определения при $b \le -1/3$.

Ответ: $b \in (-\infty; -1/3]$.

б) $y = -2\sqrt{x+3} + bx$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Область определения: $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Найдем производную функции для $x > -3$: $y' = (-2\sqrt{x+3} + bx)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + b = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

3. Функция убывает на своей области определения, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x$ из интервала $(-3; +\infty)$. $b - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \le 0$ $b \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x \in (-3; +\infty)$. Это возможно только в том случае, если $b$ меньше или равно наименьшему значению (инфимуму) функции $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ на данном интервале.

Проанализируем поведение функции $g(x)$. При $x \to +\infty$, знаменатель $\sqrt{x+3} \to +\infty$, следовательно, $g(x) \to 0$. При $x \to -3^+$, знаменатель $\sqrt{x+3} \to 0^+$, следовательно, $g(x) \to +\infty$. Функция $g(x)$ убывает на интервале $(-3; +\infty)$, и ее значения принадлежат интервалу $(0; +\infty)$. Наибольшая нижняя грань (инфимум) этой функции равна 0.

Следовательно, для выполнения условия $b \le g(x)$ для всех $x$ из области определения, необходимо, чтобы $b \le 0$. Проверим: если $b \le 0$, то $y' = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$. Так как $b \le 0$ и $\frac{1}{\sqrt{x+3}} > 0$, то $-\frac{1}{\sqrt{x+3}} < 0$. Сумма неположительного и отрицательного числа всегда отрицательна, то есть $y' < 0$. Условие выполняется.

Ответ: $b \in (-\infty; 0]$.

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Найдем производную: $y' = (x^3 + bx^2 + 3x + 21)' = 3x^2 + 2bx + 3$.

3. Условие убывания функции на всей области определения: $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. $3x^2 + 2bx + 3 \le 0$.

Выражение $f(x) = 3x^2 + 2bx + 3$ является квадратным трехчленом. Его график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля). Парабола, ветви которой направлены вверх, не может быть неположительной на всей числовой оси, так как при $x \to \pm\infty$ ее значения стремятся к $+\infty$. Она всегда будет принимать положительные значения. Следовательно, не существует такого значения параметра $b$, при котором данное неравенство выполнялось бы для всех $x$.

Ответ: Таких значений $b$ не существует.

г) $y = -2bx + \sqrt{1-x}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1]$.

2. Найдем производную функции для $x < 1$: $y' = (-2bx + \sqrt{1-x})' = -2b + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = -2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

3. Функция убывает на своей области определения, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x$ из интервала $(-\infty; 1)$. $-2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \le 0$.

Перепишем неравенство: $-2b \le \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x \in (-\infty; 1)$. Это возможно, если $-2b$ меньше или равно наименьшему значению (инфимуму) функции $g(x) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ на этом интервале.

Проанализируем поведение функции $g(x)$. При $x \to 1^-$, знаменатель $2\sqrt{1-x} \to 0^+$, следовательно, $g(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, знаменатель $2\sqrt{1-x} \to +\infty$, следовательно, $g(x) \to 0^+$. Значения функции $g(x)$ на интервале $(-\infty; 1)$ принадлежат интервалу $(0; +\infty)$. Наибольшая нижняя грань (инфимум) этой функции равна 0.

Следовательно, должно выполняться условие $-2b \le 0$. Разделив обе части на -2 и изменив знак неравенства, получим: $b \ge 0$.

Ответ: $b \in [0; +\infty)$.

30.30 Сколько точек минимума имеет функция $y = f(x)$, график которой изображён на рисунке:

а) рис. 64;

Рис. 64

б) рис. 65;

Рис. 65

в) рис. 66;

Рис. 66

г) рис. 67.

Рис. 67

Точка минимума функции – это точка, в которой значение функции меньше, чем в любых соседних точках. На графике точка минимума выглядит как "впадина" или "долина", где функция переходит от убывания к возрастанию.

а) рис. 64

На данном графике функция имеет одну "впадину". Она расположена в точке с абсциссой $x=d$. В этой точке убывание функции сменяется возрастанием. Точки $x=b$ и $x=e$ являются точками максимума ("пиками"). Следовательно, на графике изображена одна точка минимума.

Ответ: 1.

б) рис. 65

На графике, представленном на рисунке 65, можно выделить две "впадины". Первая точка минимума находится при $x=a$ (острый минимум). Вторая точка минимума находится при $x=c$ (гладкий минимум). В обеих этих точках функция переходит от убывания к возрастанию. Таким образом, функция имеет две точки минимума.

Ответ: 2.

в) рис. 66

Анализируя график на рисунке 66, мы видим две "впадины". Первая точка минимума находится в точке $x=a$. Вторая точка минимума расположена на графике вблизи начала координат, где $x$ близко к нулю. В этих точках убывание функции сменяется возрастанием. Точки $x=b$ и $x=c$ являются точками максимума. Всего на графике две точки минимума.

Ответ: 2.

г) рис. 67

На графике, изображенном на рисунке 67, есть две точки, в которых убывание функции сменяется возрастанием. Это точки $x=c$ и $x=e$. Они являются точками минимума. Точки $x=b$ и $x=d$ — это точки максимума. В точке $x=a$ функция возрастает как слева, так и справа от нее, поэтому она не является точкой экстремума. Следовательно, на данном графике две точки минимума.

Ответ: 2.

30.23 a) $y = 7 \cos x - 5 \sin 3x - 22x$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 3 \cos 7x - 8 \sin \frac{x}{2} - 25x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty)$.

Для доказательства того, что функция убывает на указанном промежутке, необходимо найти ее производную и показать, что она неположительна ($y' \le 0$) для всех значений $x$ из этого промежутка, причем равенство нулю достигается лишь в отдельных точках, а не на каком-либо интервале.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (7\cos x - 5\sin 3x - 22x)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$y' = 7 \cdot (-\sin x) - 5 \cdot (\cos 3x) \cdot (3x)' - 22$

$y' = -7\sin x - 15\cos 3x - 22$

2. Оценим знак производной. Область значений синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$. То есть:

$-1 \le \sin x \le 1$

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Используем эти неравенства для оценки выражения $-7\sin x - 15\cos 3x$. Максимальное значение этого выражения достигается, когда $\sin x$ и $\cos 3x$ принимают значения, делающие слагаемые $-7\sin x$ и $-15\cos 3x$ максимальными. Максимальное значение $-7\sin x$ равно $7$ (при $\sin x = -1$), а максимальное значение $-15\cos 3x$ равно $15$ (при $\cos 3x = -1$).

Таким образом, для любого $x$ справедливо неравенство:

$-7\sin x - 15\cos 3x \le |-7\sin x| + |-15\cos 3x| \le 7|\sin x| + 15|\cos 3x| \le 7 \cdot 1 + 15 \cdot 1 = 22$

3. Подставим эту оценку в выражение для производной:

$y' = (-7\sin x - 15\cos 3x) - 22 \le 22 - 22 = 0$

Мы получили, что $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

4. Проверим, может ли производная равняться нулю. Равенство $y' = 0$ возможно только в случае, когда выражение $-7\sin x - 15\cos 3x$ достигает своего максимума, равного 22. Это происходит только при одновременном выполнении условий:

$\begin{cases} -7\sin x = 7 \\ -15\cos 3x = 15 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos 3x = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения $\sin x = -1$ следует, что $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, выполняется ли второе условие для этих значений $x$:

$\cos(3x) = \cos(3(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi k) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Поскольку $0 \ne -1$, второе условие не выполняется. Следовательно, система не имеет решений, и производная $y'$ никогда не равна нулю.

Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, что доказывает, что функция строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (3\cos 7x - 8\sin\frac{x}{2} - 25x + 1)'$

Применяя правила дифференцирования:

$y' = 3(-\sin 7x) \cdot (7x)' - 8(\cos\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' - 25 + 0$

$y' = -21\sin 7x - 8 \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - 25$

$y' = -21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2} - 25$

2. Оценим знак производной, используя ограниченность синуса и косинуса:

$-1 \le \sin 7x \le 1$

$-1 \le \cos\frac{x}{2} \le 1$

Оценим максимальное значение выражения $-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2}$:

$-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2} \le |-21\sin 7x| + |-4\cos\frac{x}{2}| \le 21|\sin 7x| + 4|\cos\frac{x}{2}| \le 21 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 25$

3. Подставим эту оценку в выражение для производной:

$y' = (-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2}) - 25 \le 25 - 25 = 0$

Итак, $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

4. Проверим, при каких условиях $y' = 0$. Это возможно, только если выражение $-21\sin 7x - 4\cos\frac{x}{2}$ равно 25. Это требует одновременного выполнения условий:

$\begin{cases} -21\sin 7x = 21 \\ -4\cos\frac{x}{2} = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin 7x = -1 \\ \cos\frac{x}{2} = -1 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $\cos\frac{x}{2} = -1$.

$\frac{x}{2} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = 2\pi + 4\pi n = 2\pi(1 + 2n)$.

Теперь подставим эти значения $x$ в первое уравнение:

$\sin(7x) = \sin(7 \cdot 2\pi(1+2n)) = \sin(14\pi(1+2n))$.

Поскольку $14\pi(1+2n)$ является целым кратным $2\pi$, значение синуса равно нулю: $\sin(7x) = 0$.

Но для выполнения условия нам нужно $\sin 7x = -1$. Так как $0 \ne -1$, система не имеет решений.

Следовательно, производная $y'$ никогда не обращается в ноль. Мы имеем $y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, а это значит, что функция строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

30.27 a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастает в интервале $(a - 1; a + 1)$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает в интервале $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$?

а)

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастает, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная неотрицательна.

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:
$y' = (2x^3 - 3x^2 + 7)' = 6x^2 - 6x$

2. Функция возрастает на интервале, где ее производная $y' \ge 0$. Решим это неравенство:
$6x^2 - 6x \ge 0$
$6x(x - 1) \ge 0$

Корнями уравнения $6x(x - 1) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; \infty)$.

3. Согласно условию задачи, функция должна возрастать в интервале $(a - 1; a + 1)$. Это означает, что данный интервал должен полностью входить в один из найденных промежутков возрастания.

Рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: Интервал $(a - 1; a + 1)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; 0]$.
Это будет так, если правая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ меньше или равна 0:
$a + 1 \le 0$
$a \le -1$

Случай 2: Интервал $(a - 1; a + 1)$ полностью содержится в промежутке $[1; \infty)$.
Это будет так, если левая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ больше или равна 1:
$a - 1 \ge 1$
$a \ge 2$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что требуемые значения параметра $a$ принадлежат объединению множеств $(-\infty; -1] \cup [2; \infty)$.

Ответ: $a \le -1$ или $a \ge 2$.

б)

Чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная неположительна.

1. Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:
$y' = (-x^3 + 3x + 5)' = -3x^2 + 3$

2. Функция убывает на интервале, где ее производная $y' \le 0$. Решим это неравенство:
$-3x^2 + 3 \le 0$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 1 \ge 0$
$(x - 1)(x + 1) \ge 0$

Корнями уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; \infty)$.

3. По условию, функция должна убывать в интервале $(a; a + \frac{1}{2})$. Это означает, что данный интервал должен полностью входить в один из найденных промежутков убывания.

Рассмотрим два возможных случая:
Случай 1: Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ полностью содержится в промежутке $(-\infty; -1]$.
Это будет так, если правая граница интервала, $a + \frac{1}{2}$, меньше или равна -1:
$a + \frac{1}{2} \le -1$
$a \le -1 - \frac{1}{2}$
$a \le -\frac{3}{2}$

Случай 2: Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ полностью содержится в промежутке $[1; \infty)$.
Это будет так, если левая граница интервала, $a$, больше или равна 1:
$a \ge 1$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что требуемые значения параметра $a$ принадлежат объединению множеств $(-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [1; \infty)$.

Ответ: $a \le -\frac{3}{2}$ или $a \ge 1$.

При каких значениях параметра a функция возрастает на всей числовой прямой:

30.24 a) $y = x^3 + ax$;

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3?$;

Условие возрастания дифференцируемой функции на всей числовой прямой — это неотрицательность ее производной для всех действительных значений аргумента. То есть, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

а) $y = x^3 + ax$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + ax)' = 3x^2 + a$.

2. Производная должна быть неотрицательной для всех $x$:

$3x^2 + a \ge 0$

Это квадратичная функция относительно $x$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0). Парабола будет лежать не ниже оси абсцисс, если она имеет не более одной точки пересечения с ней. Это условие выполняется, если дискриминант соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 0 \cdot x + a = 0$ меньше или равен нулю.

3. Вычислим дискриминант $D$:

$D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = -12a$.

4. Решим неравенство $D \le 0$:

$-12a \le 0$

Разделив обе части на -12 (и изменив знак неравенства), получим:

$a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$, или $a \in [0; +\infty)$.

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3$

1. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - a \cdot 2x + 5 = x^2 - 2ax + 5$.

2. Производная должна быть неотрицательной для всех $x$:

$x^2 - 2ax + 5 \ge 0$

Выражение слева является квадратным трехчленом. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола должна располагаться не ниже оси абсцисс, то есть иметь не более одной общей точки с ней. Это означает, что дискриминант квадратного уравнения $x^2 - 2ax + 5 = 0$ должен быть меньше или равен нулю.

3. Вычислим дискриминант. Удобно использовать "приведенный" дискриминант $D/4$ (или $D_1$):

$D/4 = (-a)^2 - 1 \cdot 5 = a^2 - 5$.

4. Решим неравенство $D/4 \le 0$:

$a^2 - 5 \le 0$

$a^2 \le 5$

Это неравенство эквивалентно системе:

$|a| \le \sqrt{5}$

что дает

$-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$.

Ответ: $a \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

30.28 По графику функции $y = f(x)$, изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых её производная обращается в ноль:

а) рис. 64;

б) рис. 65;

в) рис. 66;

г) рис. 67.

Производная функции $y = f(x)$ в некоторой точке равна нулю, если касательная к графику функции в этой точке горизонтальна. Геометрически это соответствует точкам локального максимума или минимума (точкам экстремума), в которых график функции является гладким, то есть не имеет изломов или острых пиков. В точках излома графика (острых вершинах) производная не существует, а значит, не может быть равна нулю.

а) рис. 64;
На графике точки $b$ и $d$ являются точками локального экстремума (максимума и минимума соответственно). В этих точках кривая гладкая, что означает, что касательная к графику в этих точках горизонтальна. Угловой коэффициент горизонтальной касательной равен нулю, поэтому производная в этих точках равна нулю: $f'(b)=0$ и $f'(d)=0$.
Точка $e$ является точкой излома (острый пик). В таких точках функция недифференцируема, поэтому производная в ней не существует.
В точках $a$ и $c$ касательная имеет ненулевой наклон, следовательно, производная в них не равна нулю.
Ответ: $b, d$.

б) рис. 65;
На данном графике в точке $c$ находится локальный минимум. Кривая в этой точке гладкая, поэтому касательная к графику в ней горизонтальна, а производная равна нулю: $f'(c)=0$.
В точках $a$ и $b$ график имеет изломы (острые вершины). В этих точках функция не является дифференцируемой, и ее производная не существует.
Ответ: $c$.

в) рис. 66;
На этом графике в точке $a$ расположен локальный минимум с гладким изгибом. Касательная в этой точке горизонтальна, значит, производная равна нулю: $f'(a)=0$.
Точки $b$ и $c$ являются острыми пиками (точками излома), где производная не существует.
Ответ: $a$.

г) рис. 67;
График функции на этом рисунке представляет собой ломаную линию. Все точки экстремума ($b, c, d, e$) являются точками излома. В этих точках функция недифференцируема, и производная не существует.
В точке $a$ график представляет собой отрезок прямой с постоянным отрицательным наклоном, поэтому производная в этой точке отрицательна и не равна нулю.
На данном графике нет ни одной точки, в которой касательная была бы горизонтальной.
Ответ: таких точек нет.